Induction magnétique (2) : circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire (CORRIGES)

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1 Inducton magnétque (2) : crcut moble dans un champ magnétque statonnare (CORRIGES) 1. Cadre carré en chute dans un champ magnétque : 1. Le champ magnétque est unforme. Le flux est =.=.() en orentant le contour de façon à détermner un sesn postf du flux dans le sens postf de (Oy). Q P e = -dφ/dt = -B o a.dz/dt. x 2. Attenton au sens d orentaton du cadre qu algébrse le flux. Sur le côté MN, Force de Laplace frenant le mouvement : = ce qu amène une force d expresson : B a z/r ; cette force est ben drgée dans le sens opposé de la chute. 3. En écrvant la R.F.D. sur (Oz): = B a z/r dont la résoluton donne : M z N z(t)= mgr B a 1 exp t τ avec τ = B o ²a²/(mR) constante de temps du mouvement pour 0 < t < t a où t a est tel que z(t a )= a ; à z > a, le flux ne vare plus avec le mouvement, le cadre est alors soums seulement à son pods (s on néglge tout frottement). Donc = s t > t a et l on aura v(t > t a ) = v(t a ) + g.(t t a ). 2. Mouvement d une barre roulant sur des rals, frenage nductf. 1. La barre se déplace en translaton sur les deux rals avec une vtesse =() ; le crcut qu elle ferme a une surface S(t) varant du fat même du mouvement de la barre, sot S(t) = S(0) + L.x(t). y z α x Le flux magnétque est, pour un champ magnétque unforme : =.=.(). Il y a donc une f.é.m. ndute sur le crcut e = -dφ/dt = B.L.cosα.dx/dt Cette f.é.m. ndute produt un courant d ntensté (t) = B.L.cosα./R La barre subt donc une force de Laplace : = que l on exprme sur la base cartésenne lée aux rals (vor schéma) : = ( ) sot = ² (. ) En écrvant la R.F.D. pour la barre et en projetant sur (Ox): 1

2 sot : +.= + =. L nconnue étant v(t) = La soluton est de forme : v(t) = v lm.(1 exp(-t/τ)) avec τ = mr/(bl².cos²α) et v lm = mg.r.snα/(bl².cos²α). AN : Pour B = 0,10 T ; L = 0,1O m ; g = 10 m.s -2 ; R = 1,0 Ω ; α = 30 et m = 15 g on tre v lm = 1,0.10² m.s -1 et τ = 20 s. Quand v attent v lm, on aurat I = I max = B.L.v lm.cosα/r = 0,87 A. Expérence pratquement mpossble à mettre en oeuvre, car l faudrat un dspostf dont la longueur serat de l ordre de v lm.τ = 2 km, en mposant B= 0,10 T tout au long. Dans un champ de 10 T, les valeurs sont modfées selon : v lm = 1,0 m.s -1 et τ = 0,20 s, ce qu permet une expérence rasonnable sur quelques dzanes de centmètre à l ntéreur d une machne d IRM Spre en rotaton, «dynamo» d une lampe de poche : 1. Le flux magnétque est, pour un champ magnétque unforme : =.=.(). d où un flux magnétque ϕ = Bπρ².cos(ωt). Par la lo de Faraday e = -dϕ/dt donne e(t) = -ωbπρ².sn(ωt). D où la tenson effcace (ampltude sur 2) : E = Bωπρ²/ M=Sn avec = e/r = -ω(b/r).πρ².sn(ωt) 3. Le couple des actons de Laplace exercées sur la spre va s opposer au mouvement de rotaton (lo de Lenz). Γ=M B= B R ωπρ²sn²(ωt) u Dans un mouvement de rotaton d un solde soums à un couple de moment Γ porté par (Oz), anmé d une vtesse angulare de valeur ω sur un axe (Oz), la pussance est P = Γ.ω. Donc : = B² R ω²πρ²sn²(ωt) Pour N spres, en moyennant sur le temps, avec sn²(ωt) =1/2 : 4. Spre dans un champ magnétque unforme : P =N B 2R ω²(πρ )² 1. Analyse du problème : l acton mécanque exercée sur la spre résultera de l nteracton du champ magnétque avec un courant crculant dans la spre, par des forces de Laplace. Ce courant sera lu-même dû à un phénomène d nducton, lé au déplacement de la spre dans le champ magnétque unforme. L expresson de la f.é.m. d nducton par la lo de Faraday suppose d exprmer préalablement le flux magnétque à travers la spre de secton S = πa². f.é.m. d nducton : e = -dφ/dt avec =.=.. Moment magnétque de la spre : Le courant ndut dans la spre sera donc Donc =... 2

3 d où un moment magnétque : = e/r=... =.S =... L acton des forces de Laplace sur cette spre se tradut par un moment résultant, la résultante des forces étant nulle : = =... En écrvant le T.M.C. pour la spre, en projecton sur l axe (Oz) vertcal : avec J = ma²/2 (fourn). 2. On lnéarse : sn²α = (1 cos2α)/2, sot donc : J =... = En ntégrant par rapport au temps entre (t = 0, (0)=) et (t, ) : = L arrêt de la spre est obtenu pour : =0 donc pour : 3. α f est donc la soluton de l équaton : = = 4 +2 ²² Cec se vsualse graphquement par l ntersecton d une snusoïde et d une drote de pente +2et d ordonnée à l orgne. On constate que l ntersecton est unque... ²² 5. Haut-parleur électrodynamque : 1. Vor cours La mse en équaton a été ntégralement tratée en cours. 4. L étude en régme snusoïdal permanent va fare apparaître une mpédance complexe motonnelle Z m venant s ajouter en sére avec l mpédance Z o = R o + jl o ω de la bobne. Les grandeurs électrques et mécanques sont couplées par les équatons électrque (EE) et mécanque (EM). On peut établr un équvalent électrque du haut-parleur. En R.S.F., on ntrodut les grandeurs complexes assocées aux varables E(t), (t) et v(t), ces grandeurs électrques et mécanque étant toute snusoïdales, de même pulsaton ω mposée par le générateur E(t), car le système est décrt par des équatons dfférentelles lnéares. (EE) s écrt : E- Ba.v = R o. + jl o ω (EM) s écrt : avec ()= () qu donne = 1 3

4 =. Pour aboutr à un modèle électrocnétque du haut-parleur, l faut élmner la vtesse des équatons. En explotant (EM) : sot : d où l équaton électrque : ++ =. = = ²² ++. La quantté : = ²² ++ est nommée mpédance motonnelle du haut-parleur. Elle permet une modélsaton électrocnétque de celu-c. En envsageant l admttance motonnelle Y m = 1/Z m = 1 = ²² + ²² + 1 Cec permet d dentfer le haut-parleur à une assocaton en dérvaton de tros dpôles, respectvement résstf, capactf et nductf. = ²² E R o L o R C L m avec par dentfcaton : = ²² ; = ²² ; 1/ = ²² 5. La parte réelle de Z m est : ²² = ²+ ² 4

5 La pussance acoustque moyenne sera donc : = ² tands que la pussance totale consommée par le haut-parleur (en y ntégrant la pussance dsspée par effet Joule dans le crcut) sera : =( + ) ² Le rendement en pussance est donc : = = ² ( + ) ² = ( + ) L étude fréquentelle sur R ac montre que cette grandeur devent très fable pour / comme pour /. Seules les fréquences menant à une pulsaton / conduront à une valeur conséquente de R ac et donc de η. Cec sgnfe que la producton de son par le haut-parleur ne sera effcace que dans une bande passante défne par ses caractérstques. En pratque, les encentes sont consttuées d une assocaton de pluseurs haut-parleurs de caractérstques varées dont les bandes passantes sont complémentares afn de couvrr l ensemble du spectre audtf. 6. Frenage électromagnétque : 1. On peut consdérer la stuaton comme consttuée de la superposton de deux crcuts dont la parte commune est le damètre CD, qu sera parcouru par une ntensté, chaque demcrconférence étant parcourue par /2. z x ω D y Consdérons la surface délmtée par le secteur stué dans la zone où règne B pour chacun de ces deux crcuts. Notons l angle θ = (Oy, OC). C Le flux magnétque vaudra φ 1 = B.(θ/2π)πa² pour l un des crcuts et vaudra pour l autre φ 2 =B.((π-θ)/2π)πa². Pour ω > 0, φ 1 augmente et φ 2 dmnue. Le calcul de la f.é.m. par applcaton de la lo de Faraday peut donc se ramener à une stuaton équvalente, où le crcut serat consttué du damètre CD et d une dem-crconférence correspondant à l assocaton en dérvaton des résstances R de chaque dem crconférence. Il vent alors e = -dφ/dt = (-Ba²/2). On peut auss envsager le flux à travers la surface délmtée entre les demdrotes (Oy) et (OC), le segment [OC] étant la seule parte de conducteur plongée dans le champ magnétque et coupant des lgnes de champ dans son déplacement. Le flux à travers cette dernère surface est alors drectement : e R R D R φ = B.(θ/2π)πa² et sa varaton par rapport au temps détermne le courant électrque passant dans cette parte du crcut (et se répartssant ensute dans les deux dem-crconférences). C D où la f.é.m. : e = -dφ/dt = (-Ba²/2) Le courant électrque qu crcule dans le damètre CD correspond à un schéma électrque équvalent amenant après assocaton équvalente des résstances R éq = R + (R//R) = 3R/2 sot = 2e/3R. Sot fnalement : 5

6 = ² 3 2. Les actons mécanques exercées sur le système correspondent au moment des forces de Laplace par rapport à (Oz). Ces forces de Laplace sont répartes sur l ensemble de la porton de crcut plongé dans le champ magnétque. Pour la crconférence, les termes de force sont radaux et n apportent pas de contrbuton. Pour le segment [OC] l faut envsager des forces élémentares sur chaque élément de longueur dr, stué à la dstance r de O (r varant de 0 à a). Chaque tronçon élémentare subt donc une force : = ( ) = ²² 3 Ce tronçon stué à dstance r de O apporte alors une contrbuton élémentare au moment mécanque d expresson : = = ²² 3 Par ntégraton entre O et C l vent fnalement : = ²² 3 Le TMC écrt en projecton sur(oz) amène : = ² 6 = ² 6 La soluton ω(t) est alors : ω(t)= ω o.exp(-t/τ) où ω o = ω(t = 0) et τ = 6RJ/(B²a 4 ) Oscllateur à couplage électromagnétque : 1. Attenton à l algébrsaton des grandeurs. Intensté ndute : Le flux magnétque à travers la surface délmtée par les deux barres vaut ϕ=b.s=b.a.(x x ) Attenton au sens d orentaton chos pour l ntensté, qu détermne l orentaton du crcut et donc le sgne du flux. x 1 x 2 x La f.é.m. due au phénomène d nducton est lée c à la varaton de la surface S = a.(x x ) du fat du mouvement relatf des deux barres. La lo de Faraday donne : e= -dφ/dt Sot avec la relaton électrocnétque e = R sur le crcut de résstance globale R : Système d équatons mécanques : = B a R (x x ) Le mouvement de la barre (1) est décrt en applquant la R.F.D. dans un référentel lé aux rals : Cette barre est soumse à son pods, compensé par la réacton des rals ; on néglge les frottements soldes qu exsteraent au contact avec les rals. La barre (1) est auss soumse à une force de Laplace d expresson : = = d où en projecton sur (Ox): x = k.x +B a sot en posant ω o ² = k/m : x +ω ²x =B a/m 6

7 De même, la barre (2) est soumse à une force de Laplace d expresson : = = d où l équaton x +ω ²x = B a/m En ntrodusant l expresson de l ntensté obtenue précédemment, on obtent le système de deux équatons dfférentelles couplées, sur x 1 et x 2 : x +ω ²x = B a mr (x x ) (é1) x +ω ²x =+ B ²a² mr (x x ) (é2) 2. En combnant ces deux équatons selon une addton ou selon une soustracton membre à membre, on obtent formellement deux équatons dfférentelles relatves à des oscllateurs harmonques portant sur la somme S = x 1 + x 2 et la dfférence D = x 1 x 2 (non amort pour S et amort pour D) : équaton sur S : S +ω ²S=0 ; équaton sur D : D +(2B ²a²)/(mR))D+ ω ²D=0 sot D +2λ D+ ω ² D=0 Les solutons S(t) et D(t) sont de formes respectves : S(t) = S o.cos(ω o t +ϕ) sot en fasant jouer les condtons ntales { x 1 (0) = a, x 2 (0)= 0, = =0 } S(t) = a.cos(ω o t) D(t) = exp(-λω o t)(α.cos(ωt) + β.sn(ωt)) en posant la pseudo-pulsaton ω telle que : = 1 ² avec, du fat des condtons ntales et après calculs : α = a et = 1 ² On peut ensute remonter aux solutons x 1 (t) et x 2 (t) par x 1 = (S + D)/2 et x 2 = (S - D)/2. Le terme D(t) étant amené à décroître pour pratquement s annuler, tands que le terme S(t) conserve une ampltude nvarante. Cec sgnfe que les deux barres vont progressvement évoluer vers une oscllaton dentque où elles resteront à même dstance a l une de l autre. L ampltude des oscllatons de chaque barre sera alors de a /2, avec x 1 (t) = x 2 (t) pour t suffsant (t >> 1/(λω o )). Le couplage nductf aura donc fnalement ms en oscllaton la barre (2) du fat de celles ntées sur la barre (1). L ntensté () va donc décroître pour pratquement s annuler pour t >> 1/(λω o ) Il y a une déperdton énergétque par l effet Joule lors de la crculaton du courant dans le crcut de résstance totale R. Le modèle consstant à néglger les frottements mécanques est assez peu vrasemblable et la stuaton présentée n est pas réalsable expérmentalement dans les condtons présentées. 3. Blan énergétque : Par l équaton électrque : e = R, on obtent l équaton de pussance : e = R² 7

8 Par les équatons mécanques, en multplant par les vtesses de chacune des barres, on obtent une équaton en pussance où sont mses en jeu les pussances des forces de Laplace applquées à chaque barre : x +k x = B a x +k x =+ B a mr (x x ) = mr (x x ) = Sot en fasant apparaître les énerges cnétques et énerges potentelles élastques : 1 2 ² k x ²+ 1 2 ² k x ²= + sot : + = + En sommant l ensemble des termes ms en jeu : + +R²= + + e est la pussance développée par les effets nductfs, et l on sat que + + = + =0 donc + = R² L énerge mécanque du système va subr une perte par effet Joule. Le champ magnétque ne produt aucune énerge, l assure smplement un couplage par converson électromagnétque. 8

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