Agrégations multiples différentiées dans les bases de données multidimensionnelles

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1 Agrégatons multples dfférentées dans les bases de données multdmensonnelles Al assan*, Franc Ravat*, Olver Teste**, Ronan Tourne*, Glles Zurfluh* * Unversté Toulouse 1 Captole IRIT (UMR 5505) ** Unversté Toulouse 3 Paul Sabater IRIT (UMR 5505) 118, Route de Narbonne Toulouse cedex 9 {hassan, ravat, teste, tourner, zurfluh}@ rt.fr RÉSUMÉ. e nombreux modèles ont été proposés pour la modélsaton de données multdmensonnelles dans les entrepôts. Ces propostons consdèrent une même foncton d agrégaton pour détermner les valeurs d une mesure aux dfférents nveaux de granularté de l espace multdmensonnel. Nous proposons un nouveau modèle conceptuel plus flexble supportant des agrégatons multples dfférentées. L agrégaton multple permet d assocer à une même mesure, une foncton d agrégaton dfférente pour chaque axe d analyse. L agrégaton dfférentée autorse des agrégatons spécfques à chaque nveau de granularté. Le modèle proposé repose sur des formalsmes graphques suffsamment expressfs pour contrôler la valdté des fonctons d agrégaton qu peuvent être dstrbutves, algébrques ou holstques. Nous montrons également comment la modélsaton conceptuelle peut être explotée au nveau logque R-OLAP pour construre effcacement des trells de pré-agrégats. ABSTRACT. Many models have been proposed for multdmensonal data warehouses modelng. These propostons consder the same aggregate functon to determne the values of a measure wth dfferent levels of granularty of the multdmensonal space. We propose a new conceptual model for multdmensonal representaton of data supportng multple dfferentated aggregatons. Multple aggregaton allows to assocate to the same measure, a dfferent aggregaton functon for each axs of analyss. fferentated aggregaton allows specfc aggregatons at each level of granularty. The proposed model s based on graphcal formalsms expressve enough to control the valdty of aggregate functons that can be dstrbutve, algebrac and holstc. We also show how conceptual modelng can be exploted n logc R-OLAP to buld effectvely lattces of pre-aggregates. MOTS-CLÉS : système décsonnels, base de données multdmensonnelles, modélsaton conceptuelle d'entrepôt de données, mécansmes d'agrégatons multples dans les trells multdmensonnels. KEYWORS: decson-mang system, multdmensonal database, conceptual modelng of data warehouse, mechansms of multple aggregatons n multdmensonal lattces.

2 1. Introducton Les systèmes d'nformaton d ade à la prse de décson ont montré leur capacté à ntégrer de larges volumes de données tout en supportant effcacement des analyses sur les données entreposées. Ces systèmes décsonnels sont élaborés à partr de sources de données, généralement provenant du système opératonnel d une organsaton ; les données dentfées pertnentes dans les sources sont extrates, transformées, pus chargées (Vasslads et al., 2002) dans un espace de stocage appelé entrepôt de données («data warehouse»). Afn de rendre effcace l nterrogaton et l analyse de ces données entreposées, des technques d organsaton des données spécfques ont été développées (Kmball, 1996) reposant sur des bases de données multdmensonnelles (BM). Ce type de modélsaton consdère la donnée à analyser comme un pont dans un espace à pluseurs dmensons, formant ans un cube de données (Gray et al., 1996). Les décdeurs vsualsent un extrat des cubes de données, généralement une tranche à deux dmensons (Gyssens et al., 1997). A partr de cette structure, appelée table multdmensonnelle (TM), le décdeur peut nteragr au travers d opératons de manpulaton (Ravat et al., 2007). Les opératons les plus emblématques sont les forages qu consstent à modfer le nveau de granularté des données observées et les opératons de rotaton qu consstent à changer de tranche du cube manpulé. On parle d analyse en lgne ou encore de processus OLAP («On-Lne Analytc Processng»). MAGASINS SUM SUM(VENTES.Montant) ATES Année MAGASINS Vlle Toulouse Bordeaux Barcelone ATES PROUITS SUM SUM(VENTES.Montant) ATES Année MAGASINS Pays France Espagne Fgure 1. Agrégaton unforme dans les tranches de cube. Cet envronnement offre un cadre adéquat aux analyses des décdeurs, cependant les structures de données mposées peuvent s avérer mparfates. En partculer, lors d'une analyse, une BM classque supporte des calculs d'agrégaton unforme réalsés à partr de la même foncton d'agrégaton dans les dfférentes tranches de cube. Par exemple, s l'on consdère des montants de ventes, ces derners peuvent être calculés en effectuant la somme des produts vendus en foncton des vlles et des années. Le calcul de ces mêmes montants de vente en foncton des pays est généralement réalsé avec la même foncton d'agrégaton (la somme SUM) comme

3 l'llustre la fgure 1. ès lors que l'utlsateur souhate changer les fonctons d'agrégaton entre deux tranches de cube manpulées, les BM classques ne garantssent plus la valdté des données calculées, vore ne supportent pas ce type de manpulaton. L obectf de cette recherche est de rendre possble des agrégatons non unformes lors de la manpulaton et de garantr leur valdté en proposant un modèle multdmensonnel permettant de supporter des agrégatons qualfées de multples dfférentées. Notre proposton vse à développer un modèle multdmensonnel suffsamment flexble pour autorser la concepton des cubes ntégrant dfférentes fonctons d agrégaton suvant les nveaux d agrégaton Illustraton du problème Pour llustrer nos propos, nous utlserons le cas d'un ury de délbératon des dplômes. ans cet exemple smple, les décdeurs (ensegnants membres du ury) délvrent les dplômes en analysant les moyennes des étudants. Nous consdérons que l année unverstare se compose de deux semestres. Chaque semestre comprend des untés d ensegnement (UE). Chaque UE se compose de matères. Chaque matère est assocée à un coeffcent qu représente l mportance de la matère dans l UE, qu elle-même est lée à une valeur de crédt (ECTS). Chaque semestre accumule le même total d'ects. Les étudants sont organsés dans des groupes. Une BM est mse en place par des processus d'extracton, de transformaton et de chargement des données ssues du système opératonnel que nous ne détallerons pas dans cet artcle. La fgure suvante décrt conceptuellement le schéma en étole de cette BM (Ravat et al., 2008). ALL NomG ALL Semestre N\UE N\M lt b a Matères Lbellé ECTS Inttulé Coeff Notaton NoteM Nom N\G e u p ro G N\E Etudants Fgure 2. La BM de l'exemple du ury des dplômes. Cette BM vse à analyser les notes (mesure) en foncton de chaque matère et de chaque étudant (dmensons). Une matère est caractérsée par un numéro de

4 matère (N M), un numéro d'unté d'ensegnement (N UE) et un Semestre. Chaque étudant est caractérsé par un numéro (N E), un Nom et un groupe (N G et NomG). Ce schéma de BM permet par exemple d'obtenr drectement la moyenne d'un étudant par matère. AVG(NOTATION.NoteM) MATIERES Semetsre S1 N\ UE U1 U2 N\ M M1 M2 M3 ETUIANTS N\E (Nom) E1 (Martn) E2 (uval) Fgure 3. TM vsualsant la moyenne des étudants par matère. Pour obtenr la moyenne par UE dans cet envronnement multdmensonnel classque, l sufft d'agréger les moyennes par matères conformément à la foncton d'agrégaton assocée à la mesure NoteM (AVG). Or une telle opératon donne un résultat ncorrect compte tenu des modaltés d'examens. En effet, la moyenne par UE est calculée à partr des notes des matères en tenant compte du coeffcent de chaque matère (1). e manère analogue, pour obtenr la moyenne par semestre, l'applcaton de la foncton d'agrégaton prévue est napproprée pusque cette moyenne est calculée en prenant en compte les crédts (ECTS) de chaque UE (2). Moyenne_ UE = Moyenne _ Semestre = Note * Coeff Coeff Moyenne _ UE * ECTS = ECTS Note (1) * Coeff * ECTS Coeff (2) ECTS Les approches classques qu consdèrent une foncton d'agrégaton unque pour tous les nveaux d'agrégaton modélsés dans le schéma en étole souffrent donc de pluseurs lmtes : la varablté de la foncton d agrégaton. Le modèle tradtonnel ne donne pas la possblté d utlser des fonctons d agrégaton évoluant avec les nveaux des hérarches ou avec les dmensons. ans l exemple du ury de dplômes, la foncton d agrégaton des moyennes change avec les nveaux de hérarche entre N M, N UE et Semestre. les lacunes des fonctons de base. Nous remarquons que, pour agréger les données entre les nveaux de hérarche, nous utlsons des fonctons d agrégaton non-standards qu utlsent des données autres que les valeurs de la mesure (coeffcents Coeff, pods ECTS).

5 les contrantes des agrégatons. ans la lttérature (Gray et al., 1996), les fonctons d agrégaton appartennent à tros catégores dfférentes. La premère correspond aux fonctons dstrbutves qu calculent les valeurs agrégées à un nveau de granularté à partr des valeurs déà agrégées au nveau de granularté drectement nféreur (par exemple, la somme - SUM - d'un montant par année peut se calculer à partr de la somme des montants par semestre). La deuxème correspond aux fonctons algébrques qu calculent les valeurs agrégées à partr de résultats ntermédares stocés (par exemple, la moyenne - AVG - d'un montant par année peut se calculer à partr de la somme - SUM - des montants et du nombre - COUNT - des occurrences). Enfn, la trosème correspond aux fonctons holstques qu ne peuvent pas être calculées à partr de résultats ntermédares. ans ce cas, l faut calculer les valeurs agrégées à partr des valeurs élémentares correspondant au nveau de granularté le plus bas (par exemple, RANK). Outre ces catégores de fonctons, des contrantes sur la manère d'opérer le calcul de l'agrégaton dstrbutve ou algébrque peuvent exster. ans notre exemple, la moyenne par semestre est nécessarement calculée à partr du calcul de la moyenne par UE comme l'llustre la premère expresson de la formule (2). Notre obectf est donc de proposer un modèle multdmensonnel suffsamment expressf pour supporter ce type d'agrégatons Postonnement et contrbutons des travaux Il exste classquement deux approches pour la modélsaton des BM : une approche reposant sur la métaphore du cube de données suvant laquelle la BM est représentée par des cubes, et une approche dte de modélsaton multdmensonnelle où la BM est décrte par un schéma en étole ou en constellaton (Kmball, 1996). Nos travaux s'nscrvent dans cette seconde approche. En effet, la métaphore du cube repose sur une séparaton équvoque entre les éléments de structure et les valeurs (Torlone, 2003) : modélsaton des axes de l analyse peu expressve notamment en rason de la dffculté à représenter l organsaton hérarchque des données. Elle s avère également lmtée lorsqu l s agt de représenter des constellatons de fats et de dmensons partagées. Pluseurs synthèses du domane (Chaudhur et al., 1997), (Vasslads et al., 1999), (Mazón et al., 2009) et d'études comparatves (Pedersen et al., 2001), (Abelló et al., 2006), (Luàn-Mora et al., 2006), (Ravat et al., 2008), (Olvera et al., 2011), (Jaecsch et al., 2011) sont dsponbles dans la lttérature scentfque. La plupart des propostons exstantes consdèrent qu'une mesure est assocée à une foncton d'agrégaton qu sera utlsée à tous les nveaux d'agrégaton. Cette foncton calcule la même agrégaton pour toutes les combnasons de tous les paramètres modélsés. Parm les modèles exstants, le modèle YAM2 (Abelló et al., 2006) est le seul modèle qu permet d utlser une foncton d agrégaton dfférente pour chaque dmenson. Néanmons ce modèle ne donne pas la possblté de fare évoluer la

6 foncton avec les nveaux de hérarches. ans les travaux de (Pedersen et al., 2001), on peut ler à une seule mesure pluseurs fonctons d agrégaton mas chaque foncton est utlsée pour toutes les dmensons et tous les nveaux des hérarches. En ce qu concerne les outls commercaux, «Busness Obects» utlse une seule foncton d agrégaton pour une mesure. En revanche, l outl «Analyss Servces de Mcrosoft» offre la possblté d applquer un «forage personnalsé» à une hérarche de pluseurs façons (arnath et al., 2009) : par l utlsaton des opérateurs unares qu sont utlsés pour résoudre le problème de l agrégaton sur un type partculer de hérarche (une hérarche d'attrbut parent-enfant). Les hérarches parent-enfant sont construtes à partr d'un seul attrbut parent. Un attrbut parent décrt une relaton de onture réflexve dans une table de dmenson prncpale. par l utlsaton de scrpts MX. par l utlsaton d'une proprété CustomRollupColumn qu ndque à une colonne où sont stocés les scrpts MX. Les tros façons représentent des fonctons d agrégaton mas elles ne sont lées n à une dmenson n à un nveau d agrégaton. Elles sont lées à un membre (une nstance) d un nveau d agrégaton d une hérarche, c est-à-dre, à une lgne dans la table de la dmenson. onc, pour applquer ce «forage personnalsé» à un seul nveau d agrégaton l faut le répéter pour toutes les nstances de ce nveau. Cela pose un problème de stocage et dmnue la performance (arnath et al., 2009). un autre coté, la lason de «forage personnalsé» avec une nstance spécfque peut entraîner des dffcultés en ce qu concerne la mse-à-our des données. Notre obectf est de lever ces lmtes en développant un modèle conceptuel de représentaton des agrégatons multdmensonnelles multples dfférentées. Par multples nous sgnfons qu'une même mesure peut être agrégée selon pluseurs fonctons d'agrégaton et par dfférentées nous ndquons que ces agrégatons peuvent varer en foncton du nveau d'agrégaton chos. En plus de la classfcaton des fonctons d agrégaton (Gray et al., 1996) dstrbutves, algébrques et holstques, l exste d autres classfcatons : du pont de vue de la «Summarzablty», les fonctons d agrégaton sont classfées selon deux groupes (Abelló et al., 2006), (1) «Transtve» qu garantt la «Summarzablty», (2) «Non-Transtve» qu mplque que l agrégaton dot touours se calculer à partr du nveau de base. du pont de vue de la mesure (données), les fonctons d agrégaton sont de tros types (Pedersen et al., 2001) : (1) applcables aux données addtves, (2) applcables aux données qu peuvent être utlsées pour les calculs de moyenne, (3) applcables aux données constantes, c'est-à-dre qu'elles ne peuvent être que dénombrées. Toutes ces propostons et les classfcatons des fonctons d agrégaton exstantes estment que l on peut calculer l agrégaton d une mesure à partr du

7 nveau de base. Notre but est d aouter le moyen de trater le cas contrare, quand on ne peut pas agréger la mesure à partr du nveau de base, en utlsant des contrantes d agrégaton Organsaton de l artcle La secton 2 présente le modèle conceptuel multdmensonnel classque avant de présenter nos extensons pour les agrégatons multples dfférentées. Ensute nous présentons le formalsme graphque de ces extensons. La secton 3 décrt le modèle logque en étole R-OLAP avec ses relatons d optmsaton. Nous présentons nos expérmentatons dans la secton Modèle conceptuel de données 2.1. Concepts classques Soent N = {n 1, n 2,...} un ensemble fn de noms non redondants, F = {F 1,..., F n } un ensemble fn de fats, n 1, = { 1,..., m } un ensemble fn de dmensons, m 2. EFINITION 1. Un fat, noté F, [1..n], est défn par (n F, M F ). n F N est le nom dentfant le fat, M F = {m 1,..., m p } est un ensemble de mesures. On pose M = U n M F =1 EFINITION 2. Une dmenson, notée, [1..m], est défne par (n, A, ). n N est le nom dentfant la dmenson, r s A = { a 1,..., a } est l'ensemble des attrbuts de la dmenson, = { 1,..., } est un ensemble de hérarches. Les hérarches organsent les attrbuts d une dmenson, appelés paramètres, de la graduaton la plus fne usqu à la graduaton la plus générale. Ans une hérarche défnt les chemns de navgaton valdes sur un axe d analyse. On pose A U m A =1 = et = U m =1 EFINITION 3. Une hérarche, notée (notaton abusve de, [1..m], [1..s ]), est défne par (n, P,, Wea ). n N est le nom dentfant la hérarche,

8 P = { p 1,..., p paramètres, P A, q } est un ensemble d'attrbuts de la dmenson appelés = {(p x, p y) p x P p y P } est une relaton bnare antsymétrque et transtve. Rappelons que l'antsymétre sgnfe que (p 1 p 2) (p 2 p 1) p 1 = p 2 tands que la transtvté sgnfe que (p 1 p 2) (p 2 p 3) p 1 p 3. A \ P Wea : P 2 est une applcaton qu assoce à chaque paramètre un ensemble d'attrbuts de dmenson, appelés attrbuts fables. On pose P U S m m S = P et P = =1 U P = =1 U = 1U = 1 LEMME 1. Pour chaque dmenson, un paramètre racne, noté Id P, exste. Il est défn comme sut. [1..s ], p P, Id P p Id p. LEMME 2. Pour chaque dmenson, un paramètre extrémté, noté All P, exstes. Il est défn comme sut. [1..s ], p P, All p p All. etw On pose W = U Wea [1.. s ], [1.. q ] = U m = 1 W = m U U = 1 [1.. s ], [1.. q ] ( p Wea LEMME 3. Pour chaque dmenson, ses attrbuts de dmenson sont de manère exclusve sot des paramètres, sot des attrbuts fables, P W = et P W = A. ) ( p ) 2.2. Extensons pour les agrégatons multples dfférentées Afn que le modèle multdmensonnel réponde à notre problématque, nous l'enrchssons par les mécansmes suvants : Agrégaton dfférentée (A A g ) : c est la foncton que l on utlse pour agréger les valeurs d une mesure entre deux paramètres (nveaux d'agrégaton) d une hérarche. Elle est assocée à une mesure et à un paramètre. Cette foncton est celle qu donne l autorsaton des agrégatons spécfques à chaque nveau de granularté. Agrégaton multple (A A g M ) : c est la foncton que l on utlse pour agréger les valeurs d une mesure entre les paramètres des hérarches d une même dmenson. On l utlse pour smplfer la représentaton graphque au leu d'un usage répété d une foncton dfférentée pour pluseurs nveaux de granularté. Cette foncton est

9 assocée à une mesure et à une dmenson. onc, l est possble d assocer à une même mesure, pluseurs fonctons d agrégaton, une pour chaque dmenson. Agrégaton générale (A A g G ) : c est la foncton que l on utlse pour agréger les valeurs d une mesure entre n'mporte quel paramètre. Cette foncton n est assocée qu à la mesure sans prendre en compte n le paramètre, n les dmensons. On l utlse pour smplfer la représentaton graphque au leu d'un usage répété d une foncton multple pour pluseurs dmensons. Cette foncton représente la foncton d agrégaton dans le modèle classque. Sot F = {f 1, f 2,...} un ensemble fn de fonctons d'agrégaton. EFINITION 4. Un schéma multdmensonnel, noté S, est défn par (F,, Star, A g G, A g M, A g ). F = {F 1,..., F n } est l'ensemble des fats, s F =1 alors le schéma multdmensonnel est appelé schéma en étole alors que s F >1 alors le schéma est appelé schéma en constellaton, = { 1,..., m } est l'ensemble des dmensons, Star : F 2 x N * est une foncton qu assoce chaque fat à un ensemble de dmensons en foncton desquelles l peut être analysé. Chaque dmenson est étquetée par un ordre de prorté d'exécuton N*. A g G : M F x N - assoce chaque mesure à une foncton d'agrégaton et à un nveau précs d agrégaton. A g M : M x F x N - assoce chaque mesure et dmenson à une foncton d'agrégaton et à un nveau précs d agrégaton. A g : M x x P F x N - assoce chaque mesure et paramètre d une hérarche à une foncton d'agrégaton et à un nveau précs d agrégaton. N* sert à détermner l'ordre des dmensons utlsées pour les calculs d'agrégaton. En effet, l est possble d avor deux fonctons d agrégaton dfférentes pour chaque dmenson consdérée. Ces fonctons sont généralement non commutatves. Pour contrôler la valdté des résultats obtenus, l faut prévor un ordre d exécuton. Nous étquetons chaque dmenson par un numéro d'ordre qu représente la prorté dans l exécuton : la foncton d agrégaton de la dmenson ayant l ordre le plus pett est consdérée comme prortare. S les fonctons d agrégaton des deux dmensons sont commutatves, les deux dmensons sont étquetées avec le même numéro d'ordre. N - sert à contrandre une agrégaton en ndquant un nveau d'agrégaton spécfque à partr duquel l'agrégaton consdérée dot se calculer. Une agrégaton non contrante sera assocée à 0 tands qu'une agrégaton contrante sera assocée à une valeur négatve pour forcer le calcul à partr d'un nveau nféreur chos par rapport au nveau consdéré. LEMME 4. Les fonctons d'agrégaton assurent la couverture du schéma multdmensonnel, c est-à-dre qu l ne dot pas exster de paramètre (nveaux

10 d'agrégaton) pour lequel nous ne connassons pas la foncton d'agrégaton à applquer. [1.. n], m M F, p Star( F ), f Ag, p f Ag q P \ G ( m ) { Id }, M ( m ) f Ag e manère mons formelle, la couverture du schéma est réalsée de pluseurs façons : par l utlsaton d une foncton d agrégaton générale, par l utlsaton d une foncton d agrégaton multple pour chaque dmenson, par l utlsaton d une foncton d agrégaton dfférentée pour chaque nveau d agrégaton, par combnason de fonctons d agrégaton multple et dfférentée où la dmenson, qu n a pas de foncton multple dot avor une foncton dfférentée pour chaque nveau d agrégaton. ( m ) 2.3. Formalsmes graphques où L'exemple de la fgure 4 se défnt formellement par (F,, Star, A g G, A g M, A g ) F = {F Notaton } = { Matères, Etudants } Star : F 2 x N * Star(F Notaton ) = {( Matères, 1), ( Etudants, 2)} A g G : M F x N - est ndéfne sur cet exemple A g M : M x F x N - A g M (m NoteM, Etudants ) = (AVG (m NoteM ), 0) 1 A g : M x x P F x N - A g (m NoteM, A g (m NoteM, A g (m NoteM, Matères ablt, Matères ablt, Matères ablt, p ) = (Moyenne (m NoteM,Coeff), -1) 2, N UE p Semectre) = (Moyenne (m NoteM, ECTS), -1) 2, p ALL ) = (AVG (m NoteM ), -1) 2. 1 Il n y a pas de contrante sur l agrégaton 2 Les valeurs sont agrégées à partr des valeurs agrégées au nveau drectement nféreur de celu consdéré.

11 Le fat est défn par F Notaton = ('Notaton', {m NoteM }). Les dmensons sont défnes par Matères = ('Matères', {a N M, a Coeff, a Inttulé, a N UE, a ECTS, a Lbellé, a Semestre, ALL Matères }, { ablt }) avec ablt = ('ablt', {a N M, a N UE, a Semestre, ALL Matères }, {(a N M, a N UE ), (a N UE, a Semestre ), (a Semestre, ALL Matères )}, {(a N M, {a Coeff, a Inttulé }), (a N UE, {a ECTS, a Lbellé })}), et Etudants = ('Etudants', {a N E, a Nom, a N G, a NomG, ALL Etudants }, { Groupe }) avec Groupe = ('Groupe', {a N E, a N G, ALL Etudants }, {(a N E, a N G ), (a N G, ALL Etudants )}, {(a N E, {a Nom }), (a N G, {a NomG })}). ALL AVG(m NoteM ) -1 Semestre Moyenne(m NoteM,ECTS) -1 N\UE Moyenne(m NoteM,Coeff) -1 n F m 1 m p Id N\M légende : P J 1 a b lt Matères fat mesures (M F ) P J 2 Lbellé ECTS Inttulé Coeff a x a y 1 n x f() C Notaton NoteM dmenson NomG Nom ALL N\G u p e ro G N\E Etudants AVG(m NoteM ) 0 foncton d agrégaton Agrégaton contrante attrbuts fables (Wea (P )) All 2 ordre d exécuton J paramètre hérarche Fgure 4. Extensons des notatons graphques. Le formalsme graphque que nous utlsons repose sur les propostons de (Golfarell et al., 1998) et (Ravat et al., 2008). Comme le montre la fgure précédente, l ordre d exécuton est symbolsé par des chffres cerclés sur les arcs relant le fat aux dmensons tands que les fonctons d'agrégaton sont modélsées par des losanges. Nous utlsons le même symbole (losange) pour toutes les fonctons pour ne pas surcharger le schéma. Les postons de ces losanges dépendent du type de foncton : la foncton générale est représentée par un losange sur le bord du fat (ce cas n'est pas utlsé dans notre exemple fgure 4),

12 la foncton d'agrégaton multple est localsée sur l'arc relant le fat à la dmenson, la foncton d'agrégaton dfférentée étquette l'arc relant deux paramètres. 3. Modèle logque R-OLAP L'mplantaton courante consste à utlser l'approche relatonnelle pour mplanter les schémas multdmensonnels (Kmball, 1996). Cette approche procure de nombreux avantages : réutlsaton des mécansmes de geston des données éprouvés et capacté à gérer des volumes de données très mportants Etole R-OLAP ans le contexte relatonnel, la BM est tradute par des relatons (Kmball, 1996). Applqué à notre exemple, le schéma R-OLAP en étole est le suvant : MATIERES (N M, Coeff, Inttulé, N UE, ECTS, Lbellé, Semestre) ETUIANTS (N E, Nom, N G, NomG) NOTATION (N M#, N E#, NoteM) Les fonctons d agrégaton sont stocées dans la BM. Nous utlsons un métaschéma que nous ne présentons pas dans cet artcle en rason du manque de place. Ce méta-schéma décrt le schéma multdmensonnel (fats, dmensons, hérarches) correspondant aux relatons ROLAP stocant les données à analyser. Il décrt également les dfférentes fonctons d'agrégaton et les éventuelles contrantes de calcul Etole optmsée La modélsaton conceptuelle permet de structurer hérarchquement les graduatons (paramètres) des axes d'analyses (dmensons). Ces hérarches sont explotées de manère à pré-calculer les agrégatons nécessares aux décdeurs lors de leurs navgatons et analyses OLAP au sen de l'espace multdmensonnel. Classquement, les pré-agrégatons sont modélsées par un trells de pré-agrégats (Gray, et al., 1996) (Chaudhur et al., 1997) où chaque nœud représente un préagrégat et chaque arc représente le chemn des calculs d'agrégaton. Lorsque la foncton d'agrégaton utlsée est dstrbutve ou algébrque, un agrégat est calculable drectement à partr de l'agrégat nféreur drect, tands que dans le cas d'une agrégaton holstque, l'agrégat se calcule en chemnant usqu'aux relatons de base.

13 La flexblté que nous avons ntrodute dans le modèle conceptuel mpacte ce trells. Comme l'llustre la fgure 5, les fonctons d'agrégaton multples et dfférentées mplquent l'utlsaton d'agrégatons dfférentes sur chaque arc du trells, contrarement à l'approche classque qu consdère une foncton d'agrégaton unque, le plus souvent dstrbutve. Lorsque pluseurs chemns sont possbles, le chemn le mons coûteux est préféré. La foncton de coût, que nous ne détallons pas, prvlége les temps de calcul les plus effcaces (Kotds et al., 1999). Nous pouvons néanmons remarquer que l'utlsaton de fonctons d'agrégaton dfférentes sur chaque arc rend l'estmaton du coût plus complexe que dans les trells habtuels. En outre, certans chemns ou arcs sont nvaldes et peuvent donc être élmnés pour rédure le trells. Cet élagage est rendu possble par l utlsaton de l ordre d exécuton. ans notre exemple, on ne peut pas applquer la foncton (Moyenne (m NoteM, Coeff)) après la foncton (AVG (m NoteM )) sur la dmenson Etudants. Ans, pour obtenr la moyenne de notes des UE par groupes (N UE_N G), on ne peut pas la calculer à partr de la moyenne de notes de matère par groupes (N M_N G). onc, l arc entre N M_N G et N UE_N G peut être supprmé. e plus, les contrantes (nveau d'agrégaton spécfque à partr duquel l'agrégaton consdérée dot se calculer) assocées aux fonctons d agrégaton ont des répercutons sur le trells. Les arcs apparassant en rouge sont obtenus à partr de ces contrantes qu mposent de calculer un nœud à partr d un nœud précs. Il est alors nterdt de calculer un nœud supéreur par transtvté des nœuds nféreurs comme cela est classquement possble. Ans les chemns de calcul sont bloqués dès qu un arc rouge ntervent. Par exemple, le nœud Semestre_ALL Etudants est calculable à partr du nœud nféreur drect Semestre_N G, par transtvté, l est également calculable à partr du nœud nféreur Semestre_N E. Par contre, l arc rouge ssu de la contrante de la foncton Moyenne_Semestre qu opère sur l arc (Semestre_N E, N UE_N E) bloque la transtvté des calculs. ALL Matères _ALL Etudants ALL Matères _N\G Semestre_ALL Etudants ALL Matères _N\E Semestre_N\G N\UE_ALL Etudants étole Semestre_N\E N\UE_N\G N\M_ALL Etudants N\ UE_N\E N\ M_N\G N\ M_N\E légende : Mo yenne _ UE* ECTS Moyenne_ Semestre = ECTS = Note * Coeff Moyenne_ UE Coeff ET Avg(Note) Contrante Matères Notaton Etudants Fgure 5. Trells d'optmsaton.

14 4. Expérmentatons Afn de montrer la fasablté de notre approche, nous avons réalsé un prototype avec le SGB Oracle 12g. Nous avons développé les fonctons d'agrégaton (1) et (2) décrtes dans cet artcle. Pour cela, nous avons mplanté une foncton d'agrégaton générque. Nous avons créé un type obet (classe) qu mplémente les 4 méthodes de l nterface OCIAggregate. Ces méthodes correspondent aux opératons nternes que chaque foncton d agrégaton accomplt (Intalze, Iterate, Merge, Termnate). Nous avons ensute créé notre foncton d'agrégaton AVG_W calculant une moyenne pondérée. Cette foncton reçot un paramètre (TYPE ty_donnee_ponderee AS OBJECT (valeur NUMBER, pods NUMBER)) composé de la donnée à agréger et de sa pondératon. Le code c-dessous présente l utlsaton de notre propre foncton d'agrégaton au sen d une sére de tros requêtes SQL smulant une navgaton dans l'espace multdmensonnel. le décdeur vsualse la moyenne semestrelle des étudants. Requête SQL sur le schéma en étole de base (le schéma R-OLAP) : SELECT Semestre, N E, AVG_W(ty_donnee_ponderee (Note_EU, ECTS)) as NoteM FROM (SELECT Semestre, ECTS, N UE, 1.N E, AVG_W(ty_donnee_ponderee (NoteM, Coeff)) AS Note_EU FROM Notaton F, Etudants 1, Matères 2 WERE F.N E = 1.N E AN F.N M = 2.N M GROUP BY Semestre, ECTS, N UE, 1.N E) GROUP BY Semestre, I_Etudant; afn de vsualser le détal des notes des étudants élmnés, le décdeur effectue un forage sur les données de sorte à obtenr la moyenne de l'étudant par UE. SELECT N UE, N E, NoteM FROM (SELECT N UE, N E, AVG_W(ty_donnee_ponderee(NoteM, Coeff)) as NoteM FROM Notaton F, Etudants 1, Matères 2 WERE F.N E = 1.N E AN F.N M = 2.N M GROUP BY N UE, N E) WERE NoteM<10; enfn, pour connaître les matères que les étudants devront présenter en sesson de rattrapage, un nouveau forage est opéré pour vsualser les moyennes par matères. SELECT N M, N E, NoteM FROM Notaton F, Etudants 1, Matères 2 WERE NoteM <10 AN F.N E = 1.N E AN F.N M = 2.N M;

15 Le graphque suvant montre les temps d exécuton (ms) de chaque requête. Le temps des deux premères requêtes augmente régulèrement en foncton du nombre de tuples. La trosème requête est quas-stable car le nombre de tuples état fable et relatvement constant dans nos expérmentatons. Ces premers résultats ont pour obet de montrer la fasablté de notre approche. Ils sont encourageants pusque nous n'observons pas de changement notable dans le comportement des requêtes dans un entrepôt de données construt classquement ou sur la base de nos propostons d'agrégatons multples dfférentées. Il nous reste cependant à développer nos expérmentatons afn de défnr les contours de notre approche. Egalement, nous devons adapter les algorthmes de calcul des trells ; cec est prometteur pusque notre modèle permet d'envsager des élagages comme nous l'avons évoqué à la secton précédente. 120 s) (m 100 B 80 e d s 60 p m40 T e Nombre de tuples d'étudants X 100 Requête sur le nveau de Semestre Requête sur le nveau d'ue Requête sur le nveau de Matère Fgure 6. Résultats d'exécuton des requêtes. 5. Concluson Cet artcle défnt un modèle conceptuel de données multdmensonnelles suffsamment expressf pour autorser le concepteur à spécfer des agrégatons multples et dfférentées. Ce modèle permet ans la combnason d'une mesure avec dfférentes fonctons d'agrégaton suvant les paramètres utlsés. En outre, le modèle est suffsamment expressf pour contrôler la valdté des calculs des fonctons. Au nveau relatonnel le schéma R-OLAP peut être optmsé par un trells de préagrégat contrôlé, c'est-à-dre dans lequel les arcs nvaldes peuvent être élagués. Nous devons poursuvre nos expérmentatons en utlsant des eux de tests plus complexes afn de dresser les contours de notre approche en termes de performances, de volumes de stocage, de complextés du modèle, etc. Nous envsageons également de poursuvre ces travaux par l'étude des opérateurs de manpulaton OLAP applqués à notre modèle de données. 6. Bblographe Abelló A., Samos J., Saltor F., «YAM2: A multdmensonal conceptual model extendng UML.», Informaton Systems, vol. 31, n 6, 2006, p

16 Chaudhur S., ayal U., «An Overvew of ata Warehousng and OLAP Technology.», SIGMO Record, vol. 26, n 1, 1997, p Golfarell M., Mao., Rzz S., «Conceptual esgn of ata Warehouses from E/R Schemes.», Intl. Conf. ICSS, Vol. 7, 1998, p Gray J., Bosworth A., Layman A., Prahesh., «ata Cube: A Relatonal Aggregaton Operator Generalzng Group-By, Cross-Tab, and Sub-Total.», Intl. Conf. ICE, 1996, p Gyssens M., Lashmanan L. V. S., «A Foundaton for Mult-mensonal atabases.», Intl. Conf. VLB, 1997, p arnath S., Zare R., Meenashsundaram S., Carroll M., Guang-Yeu Lee., Professonal Mcrosoft SQL Server Analyss Servces 2008 wth MX, Kmball R., The ata Warehouse Toolt: Practcal Technques for Buldng mensonal ata Warehouses, John Wley & Sons, USA, Kotds Y., Roussopoulos N., «ynamat: A ynamc Vew Management System for ata Warehouses.», Intl. Conf. SIGMO, 1999, p Jaecsch B., Lehner W., «The Plannng OLAP Model - A Multdmensonal Model wth Plannng Support.», Intl. Conf awak, 2011, p Luàn-Mora S., Trullo J., Song I. Y., «A UML profle for multdmensonal modelng n data warehouses.», ata & nowledge Engneerng 59, 2006, p Mazón J. N., Lechtenbörger J., Trullo J., «A survey on summarzablty ssues n multdmensonal modellng.», ata & Knowledge Engneerng 68, 2009, p Olvera R., Rodrgues F., Martns P., Moura J. P., «Extendng the mensonal Templates Approach to Integrate Complex Multdmensonal esgn Concepts.», Intl. Conf awak, LNCS 6862, 2011, p Pedersen T., Jensen C., yreson C., «A foundaton for capturng and queryng complex multdmensonal data», Informaton Systems,vol. 26, n 5, 2001, p Ravat F., Teste O., Tourner R., Zurfluh G., «Graphcal Queryng of Multdmensonal atabases», 11th East-European Conference on Advances n atabases and Informaton Systems (ABIS'07), 2007, p do: / _22 Ravat F., Teste O., Tourner, R., Zurfluh G., «Algebrac and graphc languages for OLAP manpulatons», Internatonal Journal of ata Warehousng and Mnng, IGI Publshng,. Tanar, vol. 4, N 1, 2008, p do: /dwm Torlone R., Conceptual Multdmensonal Models, Chaptre 3 dans Multdmensonal atabases: Problems and Solutons, 2003, p , IGI Publshng Group. Vasslads P., Sells T. K., «A Survey of Logcal Models for OLAP atabases.», SIGMO Record, vol. 28, n 4, 1999, p Vasslads P., Smtss A., Sadopoulos S., «Modelng ETL actvtes as graphs.», Intl. Conf. MW, 2002, p