Q U A N T I F I C A T I O N DE L E N E R G I E D A N S L A T O M E D H Y D R O G E N E

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1 ARCHITECTURE DE LA MATIERE : Lycée F.BUISSON PTSI De la classification péiodique à la stuctue électonique de l atome Q U A N T I F I C A T I O N DE L E N E R G I E D A N S L A T O M E D H Y D R O G E N E I LE RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE 1. DESCRIPTION La lumièe est une infime patie de l ensemble du ayonnement électomagnétique. Ce denie est!"!" constitué du champ électique E et du champ magnétique B ( voi cous de physique de PT ). Le champ électomagnétique tanspote de l énegie, c est une onde, c'est-à-die un phénomène ondulatoie, caactéisée pa : Une vitesse de popagation c. Une féquence! = 1 T (nombe d oscillations pa seconde), c est une péiodicité tempoelle. Une longueu d onde! (distance pacouue pendant le temps d une oscillation), c est une péiodicité spatiale. Comme la féquence est aussi le nombe de longueus d onde pacouues pendant une seconde, ces tois gandeus sont liées pa la elation :! = ct = c " La vitesse de popagation des ondes électomagnétiques dans le vide est toujous la même. C est une constante univeselle qui a été déteminée avec une gande pécision et vaut!"!" c = 2, m.s -1. Le champ électomagnétique (E,B) pemet d intepéte un gand nombe de phénomènes, notamment en optique (éflexion, éfaction, inteféence, diffaction). La desciption de ces phénomènes électomagnétiques epose su les équations de Maxwell (qui seont étudiées en PT) telles qu elles ont été établies à la fin du 19 ème siècle. Mais la desciption continue des ondes électomagnétiques a été incapable d intepéte cetains phénomènes mis en évidence au début du 20 ème siècle. Il fallut alos faie appel à une desciption discontinue, copusculaie du ayonnement : c est la théoie des quanta, mise au point pa Planck (1900). Dans cette théoie, l énegie tanspotée pa le ayonnement est quantifiée, chaque «gain» de ayonnement ou photon possédant le quantum d énegie! = h ",! étant la féquence du ayonnement et h une constante fondamentale, appelée constante de Planck qui vaut : h = 6, !34 J.s. Le photon est une paticule de masse nulle. L énegie! de chaque photon de féquence! vaut : ( ) = h " ( aspect ondulatoie )! aspect copusculaie 1

2 Dans cette desciption du ayonnement, les échanges d énegie ente matièe et ayonnement se faisant de façon discontinue, l énegie échangée ne peut ête inféieue à! = h ".! = h " appaaît comme la plus petite énegie pouvant ête échangée ente matièe et ayonnement, toute énegie échangée étant un multiple de! = h ". Ces deux aspects du ayonnement (aspects ondulatoies et quantique ou copusculaie) sont complémentaies et sont décits de façon cohéente dans le cade de la physique quantique élaboée dans les années LE SPECTRE ELECTROMAGNETIQUE Le ayonnement électomagnétique compend toutes les longueus d onde épaties de façon continue, mais l œil humain n est sensible qu à un infime domaine de l ensemble du specte électomagnétique: ce domaine est compis ente! = 400 nm (couleu violette) et! = 800 nm (couleu ouge). La figue ci-dessous epésente l ensemble du specte (en longueu d onde, wavelength en anglais, en féquence et en énegie), la sépaation ente les domaines est indicative et n a ien de physique puisque! vaie de façon continue. II RAIES SPECTRALES DE L ATOME D HYDROGENE 1. DESCRIPTION DU SPECTRE Dans son état nomal, la matièe n émet aucun ayonnement. Mais losqu elle est «excitée» c està-die losqu on lui founit de l énegie, elle peut «estitue» cette énegie sous fome lumineuse (ou plus généalement sous fome de ayonnement électomagnétique). L énegie founie peut l ête sous fome themique ou électomagnétique. Losque l on excite un gaz de dihydogène (pa exemple pa déchage électique), on obseve l émission de lumièe visible dont l étude est faite, pa exemple, avec un spectoscope à pisme (voi TP d optique). L étude expéimentale du specte est tès simple ca il est composé d un petit nombe de aies dans le visible (4) (voi figue ci-dessous). 2

3 2. CONSTANTE DE RYDBERG Le pemie tavail des checheus, apès l obsevation et l étude expéimentale du specte, fut de echeche une elation empiique ente les caactéistiques des difféentes aies spectales. Cette elation pend une fome paticulièement simple si la aie spectale est caactéisée pa son nombe d onde! = 1/ ". C est Balme qui établit cette elation en 1885 : # 1! = R H 2 " 1 & % $ m 2 ( R H = ,6 cm -1 ' m est un entie pouvant pende les valeus 3,4,5, et R H la constante de Rydbeg déteminée de façon expéimentale. Suivant les valeus de m, on etouve les 4 adiations du specte visible : m = 3! " = 656 nm m = 4! " = 486 nm m = 5! " = 434 nm m = 6! " = 410 nm Au-delà de m = 6, on a! < 400 nm, on se touve dans l ultaviolet. On constate que les aies sont de plus en plus appochées au fu et à mesue que l entie m devient plus gand. 3. FORMULE DE RITZ Ritz a généalisé la elation de Balme aux autes séies de l atome d hydogène : # 1! = R H n " 1 & % $ 2 m 2 ( ' m et n deux enties avec m > n Séie de n = 1 Lyman (1916) n = 2 Balme (1885) n = 3 Paschen n = 4 Backett (1908) (1922) Domaine UV lointain Visible et poche UV Infaouge n = 5 Pfund (1924) 3

4 III INTERPRETATION DE BOHR A la fin du 19 ème siècle la physique du «continu» était incapable de donne une intepétation théoique de ce specte. Nous allons étudie la pemièe intepétation théoique, celle poposée pa le physicien Danois Niels Boh (1913). Ce denie joua un ôle de pemie plan dans l élaboation de la physique quantique. Les hypothèses «ad hoc» fomulées pa Boh en 1913, qui mélangent physique classique et quantification, sont en contadiction avec la théoie quantique actuelle. Mais à cause de l impotance histoique de cette théoie (qui fut le pemie jalon ves une théoie quantique complète), de sa simplicité et de l excellent ésultat qu elle founit pou l atome d hydogène, nous allons développe l intepétation de Boh qui doit ête considéé comme une application du cous de physique. 1. UN MODELE EN SCIENCES PHYSIQUES Toute théoie, dans le domaine des sciences expéimentales, ne peut s élaboe que si l on fait le choix d un modèle, c est-à-die si l on epésente le phénomène étudié pa une image, cette image pemettant une mathématisation du poblème étudié. Autement dit à pati d un modèle censé epésente le phénomène étudié, on peut développe toute une séie de calculs aboutissant à des ésultats que l on confonte avec l expéience. Si cette véification est bonne, le modèle a été coectement choisi pou la desciption du phénomène étudié. Dans le cas contaie, il faut affine le modèle, c est-à-die modifie cetains paamètes qui le décivent jusqu à concodance ente les calculs théoiques et les éalités expéimentales. Mais, toute théoie, eposant su le choix d un modèle, peut ête limitée, c est-à-die qu elle pemet d intepéte seulement un cetain nombe de faits ; alos cette théoie est emplacée pa une théoie plus généale pa le choix d un modèle plus appopié. N oublions pas également que, si une théoie doit intepéte les faits expéimentaux connus, elle doit également pemette de découvi de nouveaux phénomènes. 2. L ATOME D HYDROGENE SELON BOHR (1913) système physique étudié : un poton et un électon. Pa analogie avec le système solaie, on suppose que l électon décit une tajectoie ciculaie de ayon (cette hypothèse est eonée à l heue actuelle) autou du poton supposé fixe. Application du pincipe fondamental de la dynamique à l électon : L électon est soumis à la foce électostatique de la pat du poton ; de plus en utilisant l expession de l accéléation pou un mouvement ciculaie, on obtient :! f! = ma =!m v 2 "!" u = (!e)e "!" 4"# 0 u 2 ce qui donne : v 2 ( ) = e 2 4!" 0 m. "!" avec u vecteu unitaie dans la diection poton-électon, 4

5 Expession des énegies : Enegie cinétique : E c ( ) = 1 2 mv 2 = e2 8!" 0 Enegie potentielle d inteaction électostatique : E p ( ) =!e2 4"# 0 Enegie totale : E( ) = E c ( ) + E p ( ) =!e2 8"# 0 Conditions de quantification :! "!! Moment cinétique de l électon : L = mv! soit L = mv Boh a intoduit une hypothèse «ad hoc» en quantifiant le moment cinétique de l électon tel que : L = mv = n! avec n entie natuel et! = h /2!. Cette hypothèse, eonée de nos jous, a pemis de touvé néanmoins les expessions littéales exactes des énegies et ayons quantifiés de l atome d hydogène. Cette condition donne : v 2 = n 2 h 2 Résultats : 4! 2 m 2 2. On obtient ainsi l expession de l énegie et du ayon de l électon E n =! E 1 n 2 avec E 1 = m e4 8" 2 0 h = 13.6 ev et = 2 n n2 a 0 avec a 0 = " h 2 0 = 52,9 pm 2 #m e 3. DISCUSSION ET CONSEQUENCES DU MODELE DE BOHR A chaque valeu du nombe entie n coespond une valeu de l énegie de l électon ainsi qu une valeu possible du ayon de la tajectoie ciculaie stable ou obitale. Ainsi l état physique de l électon est caactéisé pa un nombe entie n, appelé nombe quantique pincipal, et non plus comme en mécanique newtonienne pa son vecteu position et son vecteu vitesse. Quand l électon passe d une obitale d énegie E n à une obitale d énegie E m > E n, il absobe un photon de féquence! n,m tel que E m! E n = h" n,m. De même, quand l électon passe d une obitale d énegie E m à une obitale d énegie E n < E m, il émet un photon de féquence! n,m. Ce pocessus est schématisé su la figue ci-dessous Niels Boh ( ), physicien Danois, pix Nobel de physique en Il fut l un des pincipaux atisans de l édification de la physique quantique. 5

6 Si on emplace E n et E m pa leu expession déduite du modèle de Boh, on a :! = 1 " = # c = E m $ E n hc = m e4 & 1 8% 2 0 h 3 c n $ 1 ) ( ' 2 m 2 + *. Cette expession est identique à celle de Ritz en posant : R H = me4 8! 0 2 h 3 c On touve en faisant l application numéique R H = ,8 cm -1 ce qui est en excellent accod avec la valeu de la mesue expéimentale. Le modèle de Boh pemet de etouve avec succès le specte d émission de l atome d hydogène obsevé expéimentalement. La figue ci-dessous donne le diagamme énegétique de l atome d hydogène L hydogène, dans son état fondamental ou non excité, occupe le niveau de plus basse énegie, c est-à-die n = 1, E 1 =!13,6 ev. 6

7 4. CAS DES AUTRES ATOMES Pou les autes atomes, les diagammes d énegie obsevés expéimentalement sont beaucoup plus complexes. Le modèle de Boh à un seul nombe quantique ne pemet absolument pas de les intepéte théoiquement. Il faut alos faie appel à la physique quantique. Dans ce cas, les niveaux d énegie des dives électons de l atome sont décits cette fois pa plusieus nombes quantiques, comme nous le veons dans le chapite suivant. 7