) ) ) n. Lois discretes. Quelques formules classiques, très utiles : ( + = ; 6 ²( + S en fonction de 1

Transcription

1 L.Glli age sr Lois discrètes Lois discretes Qelqes formles classiqes, très tiles : ; Remarqe : Il existe des formles de récrrece doat e foctio de, Ce sot les formles de Newto, Exercice calcl de? Doc E sommat de à il viet, arès simlificatio : Doc [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] Coclsio : Exercice : Démotrer qe Cas articlier : Corrigé : o a La coefficiet de das est or obteir le coefficiet de das Je fais la somme des rodits des coefficiets de das ar les coeficiets de das E osat Ce rodit est Cas articlier : o a La coefficiet de das est

2 or obteir le coefficiet de das das Je fais la somme des rodits des coefficiets de ar les coefficiets de Or doc Doc das or. doc Exercice : loi iformetirages éqibrobables! doc déombremets Calcler l esérace et la variace d e loi iforme sr [ ;] : E V E [ E ] V V Exercice 5 feille L.Glli age sr Lois discrètes

3 L.Glli age sr Lois discrètes Corrigé :? Ω La ème bole oire et être tirée ax ème, ème,..ième tirage { } ;...; ; Ω?, la ème bole blache est tirée a dexième tirage doc la remière blache est tirée a er tirage? la ème bole oire est tirée a ème tirage doc la ère bole oire a été tirée a er et e bole blache est tirée ème tirage o e BB est tirée a er tirage et e BN est tirée a ème tirage? la ème bole oire est tirée a ème tirage doc la ère bole oire a été tirée a er o a ème o a ème tirage les atres boles tirées état blaches Vérificatio E Or doc E

4 L.Glli age sr Lois discrètes E E V V V V Or doc [ ] V V Exercice feille d exercices O cosidère lot de chassres comortat 5 aires de chassres oires, aires de chassres roges et aires de chassres vertes. E dehors de la coler, totes les chassres sot idetiqes. O red dex chassres a hasard. est la variable de Berolli défiie ar si les dex chassres choisies formet e aire véritable, et sio. Doer la loi, l'esérace et la variace de. Corrigé : les dex chassres ot la même coler et l e est droite l atre est gache or qe soit réalisé Je choisis la coler :

5 i la coler est oire : e choisis la remière chassre armi les 5 Gaches oires 5choix is la ème chassre armi les 5 droites oires a total 5 choix ossibles i la coler est roge : e choisis la remière chassre armi les Gaches roges choix is la ème chassre armi les droites roges a total 9 choix ossibles i la coler est verte : e choisis la remière chassre armi les Gaches vertes choix is la ème chassre armi les droites vertes a total choix ossibles A total 59 5 cas favorables! Nombre de cas ossibles 7 *!! ; 7 5 5* E ; V L.Glli age 5 sr Lois discrètes

6 Exercice feille d exercices A et B sot dex avios ayat resectivemet et moters. Chaqe moter a la robabilité de tomber e ae et les moters sot idéedats les s des atres.chaqe avio arrive à destiatio si mois de la moitié de ses moters tombet e ae. Qel avio choisissez vos? Corrigé : L avio A arrive à destiatio si o moters tombet e ae L avio B arrive à destiatio si moter tombet e ae Exercice feille Corrigé : sit e loi B ;.. E, ;V*.*.7, 7.. 7,, voir table 9 < F , > I 5 5 F 5 F F > / 5, 5 5 F 5 F 5 Exercice feille : L.Glli age sr Lois discrètes

7 Corrigé : O étdie les variatios de la site!!!!!!! [ ]!!! [ ]!! est d sige de [ ] Etde d sige de [ ] a i < alors or tot, < doc est maximm or b alors or >, < et or <, > Dex cas evet avoir lie : Cas A : est etier oté o a alors doc Et alors or >, < et or <, > est maximm or et Cas B : est as etier Notos alors Et < > < or, > doc < <... < < et or, doc > >... > est maximm or Et Et et L.Glli age 7 sr Lois discrètes

8 Exercice slémetaire : Dex oers lacet e ièce de moaie éqilibrée fois chac. Calcler la robabilité q ils obtieet le même ombre de fois ile. Corrigé : Notos et les VAR égales a ombre de iles obtes ar chac des oers. et sivet des lois biômiales B,/ L évéemet se décomose e... à disoits et idéedats doc [ ] [ ] [ ] Or doc doc L.Glli age sr Lois discrètes

9 Exercice : L oral d cocors comorte a total sets ; les cadidats tiret a sort trois sets et choisisset alors le set traité armi ces trois sets. U cadidat se résete e ayat révisé sets sr les.. Qelle est la robabilité or qe le cadidat ait révisé : a les trois sets tirés ; b exactemet dex sets sr les trois sets ; c ac des trois sets.. Défiir e variable aléatoire associée à ce roblème et doer sa loi de robabilité, so esérace. La variable aléatoire associée à ce roblème est «ombre de sets révisés armi les» ; red ses valers das l esemble {; ; ; }. La loi de est e loi hyergéométriqe isqe l évéemet [ ], or comris etre et, se rodit si le cadidat tire sets armi les révisés, et sets armi les o révisés. Alors :. Les trois sets tirés ot été révisés : [ ]. Dex des trois sets tirés ot été révisés : [ ]. Ac des trois sets : [ ] [ ] M Esérace : E, N Exercice : Das e boîte, il y a boles roges et boles aes. O tire a hasard boles de la boîte, sas remise. oit resectivemet le ombre de boles roges resectivemet aes tirées armi les. / Exliciter la loi de. / Calcler : L.Glli age 9 sr Lois discrètes

10 a E []. b E []. c Var. / Les variables et sot-elles idéedates? Corrigé / Loi de. O choisit a hasard l'e des combiaisos éqirobables de boles armi les. armi ces combiaisos, il y e a comortat boles roges choisies armi les, et boles aes choisies armi les,. La robabilité qe, égale à la robabilité qe, est doc doée ar la loi hyergéométriqe : [ ] ; / Eséraces et variace. E [] 5,. E [] E [ ] E [],7. Var Var Var E [ ] E [] E [ ] 5 Var,. / Idéedace. L'évéemet { } est le même qe l'évéemet { }, doc { } I { } { } et l'o a : [{ } I { }] [{ }] [{ }] [{ }] [{ }] La relatio [{ } I { }] [{ }] [{ }] motre qe les variables et e sot as idéedates. L.Glli age sr Lois discrètes

11 L.Glli age sr Lois discrètes Corrigé : * 95,! e * 99 9,!! e e e e e 595,,, / > > > > ,, F F / > < < > > < > < F F F

12 Exercice Calcl de l esérace et de la variace d e loi de oisso de aramètre α Corrigé : α e α α α E!!! V E α α α α α e α e α e α e α E α α e α e α α α!!! α α α α e α e e E α Doc α Et V E α α α α α Exercice : α α α e osos a O a ; a a a a... ar rodit o obtiet a a! a a Et doc a doc a! Doc a e! EERCICE : doc e! e loi de oisso de aramètre! e Corrigé : L.Glli age sr Lois discrètes

13 osos a a a e a!, o étdie cette site e a a a a! a a < a < i a < alors or tot N a a le mode est a i a le mode est a a i a > or tot tel qe Eta o a a < a Le mode est a Et a EERCICE : Corrigé : O tire le remier roi a ième tirage si : O a as tiré de roi as - remiers tirages et o tire roi a ième tirage. 7 Z E Z Z Or 7 x x doc x 7 x x 7 Doc 7 doc E Z V Z E Z E Z Z Z Z Z Z Or 7 x x x Doc 7 7 E Z doc E Z Z Z E Z 7 L.Glli age sr Lois discrètes

14 roblème EDHEC L.Glli age sr Lois discrètes

15 Corrigé : artie Vérifier qe Ω { } ; is doer la loi de Le rotocole d délacemet d mobile dit qe : a L'abscisse d mobile à l'istat t est { ; Ω { } b A l istat sivat t le mobile e et avoir qe ositios ossibles soit l abscisse, soit reveir à l origie { L'abscisse d mobile à l'istat t est o doc Ω { ; }. Motrer ar récrrece qe N : Ω ; ;...; Iitialisatio : Le rotocole d délacemet dit qe Ω { } doc est vraie. Hérédité : soit N tel qe soit vraie. ;;...; Le rotocole dit qe le mobile e et qe soit avacer d e abscisse, soit reveir à ar coséqet la ositio d mobile à l istat t est soit soit élémet de { ; ;...; } doc élémet de { ; ; ;...; } Ω ; ; ;...;, doc est vraie. { } état vraie, la ositio d mobile à l istat t est alors élémet de { } Coclsio : { } a Motrer qe N * U i i système comlet d ' évéemets { ; ;...;} L évéemet { L.Glli age 5 sr Lois discrètes

16 L.Glli age sr Lois discrètes Doc { [ ] i i i i i i Or, doc or tot i i Doc { Or doc b e dédire qe N { } ;...; ; ; or, si { } ;...; ; ; alors doc, ar défiitio de or * N d arès a o a { } ;...; ; Doc Doc... Doc or * N { } ;...; ; Il reste à étdier le cas * N et alors défiitio de ar E résmé o a N { } ;...; ; ; c E remarqat qe N { } ;...; ; ; motrer qe N isqe alors faisos le chagemet d idice o a bie N d retrover les valers de ; is détermier ; N doc or o a c est à dire

17 or o obtiet doc doc Doc 5 or o obtiet facilemet et or a Motrer qe N * E E D arès a N * { ; ;...;} Qi et s écrire O ecore Doc E ar coséqet o a bie b E E E E E E.. E E E E E sommat membre à membre les égalités ci-desss O obtiet E E ar chgt idice E or E d où E c or tot N * doer la valer de D arès c o a or tot N et vérifier qe Doc or tot N *, e reat N o obtiet De ls N Dédire des dex résltats récédets qe or tot N *, isqe et Alors d Motrer qe or tot N *, D arès la qestio récédete o a or tot N *. Détermier lim E, L.Glli age 7 sr Lois discrètes

18 Or doc doc et Doc < doc Et doc Doc doc et doc Or est divergete Riema α doc lim E artie : a T sigifie qe le mobile reviet or la remière fois e O à l istat doc or T sigifie qe le mobile reviet or la remière fois e O à l istat Doc ax istats récédets, il était as e T... C est à dire bdoc T [... ] E aliqat la formle des robabilités comosées gééralisées T... I i i i i i i I i Remarqe : car la ositio d mobile à l istat i Ne déed qe de sa ositio à l istat récédet i- doc T... Or Or i i i i i doc i c facile T T T... T lim T lim lim lim Doc T T E T T série divergete ET existe as. L.Glli age sr Lois discrètes