b-on a: Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1)

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1 Exercices d arithmétiques corrigés Exercice N 1 : 1-Etablir que pour tout (a,b,q) 3,pgcd(a,b) = pgcd(b,a-bq) 2-Motrer que pour tout, pgcd(5 3 -,+2) = pgcd(+2,38) 3-Détermier l esemble des etiers relatifs tels que (+2) divise (5 3 -) 4-Quelles sot les valeurs possible de pgcd(5 3 -,+2)? Détermier l esemble des etiers tel que pgcd(5 3 -,+2) Correctio : 1-Posos d = pgcd(a,b) O a si d divise a et d divise b alors d divise b et d divise (a-bq) Réciproquemet : si d divise b et d divise (a-bq) alors d divise ( a bq ) +bq = a 2- c est la relatio précédete avec a = et et b = +2 ; q = ( +2) divise (5 3 -) équivaux (+2) divise 38 équivaux {-40, -21, -4, -3, -1, 0, 17 ; 36} 4- Les valeurs possibles du pgcd(5 3 -,+2) sot les diviseurs possible de 38 Doc pgcd(5 3 -,+2)= = 19k avec k = 2p +1 doc = 38p +17 p Si k = 2p alors pgcd(5 3 -,+2) = 38 Exercice N 2 : Soit u etier premier différet de 2.O cosidère les etiers aturels et a = (+1) 2 et b = 3 +1 et o désige par d le pgcd (a,b) 1-a-Motrer que: 2, b = ( + 1) ( 2) + 3( + 1) b-démotrer que d=+1 ou d= 3(+1) 2-a-Trouver ue coditio écessaire et suffisate pour qu o ait 70a-13b=8 b-motrer alors que la seule valeurs possible de est 7 Correctio : est u etier aturel premier différet de 1.posos d= pgcd (a,b) 1-a-o a : = ( + 1)( + 1) 2 = ( + 1)( 2 + 3) = ( + 1)(( + 1)( 2) + 3)) 2 = ( + 1) ( 2) + 3( + 1) b-o a: d= pgcd( ( + 1), + 1)) = pgcd(( + 1),3( + 1)) = ( + 1) pgcd(( + 1),3) Or le pgcd(+1,3)=1 ou pgcd(+1,3)=3 Doc d=+1 ou d=3(+1)

2 2-si d=+1 alors +1/a et +1/b doc +1/8 et par suite +1 1,2,4,8 d où =3 ou =7 or 70x16-13x28 8 doc 3 e coviet pas ; D autre part { } (7 + 1) 13 (7 + 1) = 8 Doc 7 coviet si d=3(+1) alors 3(+1)/a 3(+1)/b doc 3(+1)/8 ceci est impossible car pdcd(3,8)=1 aisi la seule valeur de est 7 Exercice N 3 : 1-a-Pour 1 6, calculer les restes de la divisios euclidiee de 3 par 7. b-démotrer que pour tout est divisible par 7.E déduire que 3 +6 et 3 ot le même reste das la divisio euclidiee par 7 c-a l aide des résultats précédets, calculer le reste de la divisio euclidiee de par 7 d-de maière géérale, commet peut o calculer le reste de la divisio euclidiee de 3 par 7,pour quelcoque? e-e déduire que, pour tout etier aturel, 3 est premier avec 7 2-Soit u = a-motrer que u = 1 2 (3-1) b-détermier les valeurs de telles que u soit divisible par 7 c-détermier tous les diviseurs de u 6 Correctio : 1-a-3 0 = 1 1 (mod7) 3 1 = 3 3 (mod7) 3 2 =9 2 (mod7) 3 3 = 3x2 6 (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) b = 3 (3 6-1) or (mod7) doc 3 6 1est divisible par 7 doc est divisible par 7 et par suite o (mod7) doc 3 +6 et 3 ot le même reste das la divisio euclidiee par 7 c-o a 1000 = 6x166+4 doc = (3 6 ) 166 x3 4 : comme (mod7) et (mod7) o aura alors (mod7) d-e divisat par 6 o a ue partie qui sera cogrue à 1 et l autre partie tombera das les restes calculer au 1-a

3 e-e aucu cas o e peut trouver u reste ul de 3 par 7 c est à,dire 7 e divise pas 3 et 7 est premier doc 3 et 7 sot premier etre eux 2-a-u est la somme des premiers termes d ue suite géométrique de raiso 3 doc u = 1 2 (3-1) b- u est divisible par 7 lorsque (3-1) 0(mod7) c-à-d 3 1 (mod7) soit lorsque est u multiple de 6 doc =6k ; k * c-u 6 = 1 2 (36-1) = 1 2 (33-1) (3 3 +1)=2 2 x7x13 tous les diviseurs de u 6 sot : 2, 4,7, 13 14, 26, 28, 52, 91, Exercice N 4 : 1-Résoudre das 2 l équatio 3u-8v=6 2-E déduire l esemble des solutios das du système [ ] [ ] x 13 x 78 Correctio : 1-3u-8v=6 (1) et posos d =pgcd(3,8) O a d=1 doc l esemble des solutios de (1) est pas vide et o a 3(-6) -8(-3)=6 (2) doc le couple (-6,-3) est ue solutio particulière de (1) D où e faisat la différece membre à membre etre (1) et (2) o obtiet 3(u+6)=8(v+3) Et o a 3/8(v+3) et d= 1 doc 3/v+3;d où il existe k tel que v+3=3k et par suite u+6 = 8k Les solutios { de (1) sot les couples (u,v) (8 6,3 3); } k k k 2- x 1 3 x = 3u + ; 1; u x 7 8 x = 8v+ 1; v D où 3u+1=8v+7 ce qui sigifie 3u-8v=6 CONCLUSION: E remplaçat u ou v par sa valeur das l expressio de x o obtiet x=24k-17 k, Exercice N 5 : O pose a = 1234 et b = a: Détermiez le PGCD d et le PPCM m de a et b.

4 b: (E) est l'équatio das Z² : ax + by = 2d.m Doez ue solutio évidete de cette équatio. Détermiez l'esemble des solutios de (E). Correctio : a = 1234 et b = a: PGCD et PPCM Pour détermier le PGCD de a et b, o peut tout aussi bie décomposer ces deux etiers e facteurs premiers ou utiliser l'algorithme d'euclide = 2x617 (617 est premier) 1200 = 2 4 x3x5 2. Doc PGCD(1234, 1200) = 2 et PPCM(1234, 1200) = 2 4 x3x5 2 x617 = Avec l'algorithme d'euclide, o a: 1234 = 1200x = 35x = 3x = 2x = 2x2. Derier reste o-ul, R = 2. Doc PGCD(1234, 1200) = 2. De plus, o sait que PGCD(a, b).ppcm(a, b) = ab. O a doc : PGCD(1234, 1200) = (1234x1200)/2 = b: (E) : ax + by = 2dm O sait que dm = ab. Doc o a ue solutio évidete de (E), à savoir le couple (a, b). Comme a = Ad et b = Bd avec A et B premiers etre eux, l'équatio (E) peut s'écrire: (E) : Ax + By = 2m Comme (a, b) est ue solutio particulière, o e déduit que l'esemble des solutios de (E) est formé des couples (a + Bk, b - Ak ) où k Z. Das le cas de a = 1234 et b = 1200, o a A = 617 et B = 600. L'esemble des solutios de (E) s'écrit alors : ( k, k), k Z. Exercice 6 :Bac Tuisie O cosidère das 2 l équatio : ( ) : E1 11x + 8y = 79 a Motrer que si ( x, y ) est solutio de ( E 1 ) alors y 3 [ 11 ] b Résoudre alors l équatio ( E 1 ) 2 Soit das 2 l équatio : ( ) : E2 3y + 11z = 372. a Motrer que si ( y, z ) est solutio de ( E 2 ) alorsz 0 [ 3 ] b Résoudre alors l équatio ( E 2 ). 3 Résoudre das 2, l équatio : ( ) : E3 3x 8z = Le prix total de 41 pièces détachées, réparties e trois lots, est de 480 diars.

5 Le prix d ue pièce du premier lot est de 48 diars. Le prix d ue pièce du deuxième lot est de 36 diars. Le prix d ue pièce du troisième lot est de 4 diars. Détermier le ombre de pièces de chaque lot. Correctio : O a 11x + 8y = 79 8y 79= 11x doc 11 / 8 y 79 doc : 8y 79 0[ 11 ] sig 8y 79[ 11] 8y 211 [ ] b y 311 [ ] y= k, k 56y 14 [ 11] 11x + 8. ( k ) = x 8k x 8k 55 0 x 5 8k,k doc S 2 5 8k,3 11k, k y 311 [ ] 2 a E 2 : 3y 11z z 3y y 3 11z ; 3 et 11 sot premier etre eux doc 3 z et par suite z 0 mod3 b z 0 mod3 z 3k, k ; 3y 3.11k y 11k 372 y 11k 124 y k, k S k,3k, k 3 ) 3x 8z = 249 3x = 8z 3( x + 8z ) = 8 z 8/ 3( x + 8 z ) 8/ x + 8z x + 8z = 8 k '' 3. ( 8b " 8z ) 8z = ( 3k '' z ) = = 0 z = 3 k ''

6 S 2 = {( 8k '' 8 z, k ''), k '' Z} 4 ) Soit x le ombre de pièces du lot 1 Soit y le ombre de pièces du lot 2 Soit z le ombre de pièces du lot 3 O a x + y + z = 41 (1) et 48x + 36y + 4z = 480 soit 12x + 9y + z = 120 (2) E remplaçat z par 41 x y das (2) o obtiet. 11x + 8 = 79 c est l équatio (E 1 ). Remarque : e remplaçat x e foctio de y et z das (2) o obtiet l équatio (E 2 ) et e remplaçat y e foctio de x et z tire de (1) das (2) o obtiet l équatio (E 3 ) d où x = 5 8 k, y=3+11k et puisque x est le ombre de pièce doc * x N doc 5 8k > 0 k = 0 Pour k = 0o obtiet x = 5 et y = 3et par suite z = 41 ( x + y ) = 41 8 = 33. Exercice 7 Bac Tuisie 1993 Soit p u etier relatif différet de 1et u etier aturel o ul. O pose S = 1 + p + p p a Ecrire S sous la forme d u quotiet. b Calculer l expressio p + ( 1 p ) S et e déduire que p et ( 1 p ) sot premiers etre eux. 2 a Résoudre, das 2 l équatio : p x ( 1 p ) y = p. b E déduire das 2, les solutios de l équatio : y = 0 Correctio : p u etier relatif différet de 1 et u etier aturel o ul. S = 1 + p + p p 2 1

7 1 ) a o a S est la somme des premiers termes d ue suite géométrique de raiso q = p doc : S = 1 1 p p b Calculos l expressio p + ( 1 p ) S 1 p p + ( 1 p ) S = p + ( 1 p ) = p + p = p o a p + ( 1 ps ) = 1, d après Bizout pour le couple (, 1 S ) o a 1. p + ( 1 p) S = 1doc p et ( p ) 1 sot premiers etre eux. 2 ) a soit ( E) : p x ( 1 p ) y = p (1) o a : p + ( 1 ps ) = 1 pp. + ( 1 p) ps = p (2) le couple ( p, ps ) est ue solutio particulière de ( E ). ( 1) ( 2) p ( x p) ( 1 p)( y + ps) = 0 p ( x p ) = ( 1 p )( y + ps ) ( 1 p )/ p ( p ) et ( 1 p ) et p sot premiers etre eux doc x p / 1 p. x p = k( 1 p), k 22 x = p + k( 1 p) e remplaçat x das ( E ) o aura : p ( p + ( 1 p) k ) ( 1 p) y = p + 1 ( 1 p )( p k y ) p p p( 1 p ) = = p ( 1 p ) p k y = 1 p

8 p k y = ps y = ps + kp, k 22 {( ( ), ), } S 2 = p + k 1 p ps + kp k b Soit ( E ') : 10 x + 2 y = x y = 10 2 divisio le tout par 2 o aura : 5 x + 4y = 5 5 x ( 1 5) y = 5c est ( E) avec p = 5 d où les solutios de ( E ' ) sot les couples ( ) 5 4k ; 5S + 5 k, k 22 S = = 1 5 4

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