Séries d exercices Aritmetiques

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1 Séries d exercices Aritmetiques ème Maths Maths au lycee Ali AKIR Site Web : EXERCICE N )Quel est le reste de la divisio par 7 du ombre ) Quel est le reste de la divisio par du ombre ) Détermier le chiffre des uités de l'écriture décimale de l'etier 0 ) Détermier le chiffre des dizaies de l'écriture décimale de l'etier EXERCICE N p et q sot des etiers aturels ) Démotrez que pq est divisible par p et par q 77 7 ) Déduisez e que pour que soit premier, il faut que soit premier )Prouvez à l aide d u cotre exemple que la coditio «est premier» est pas suffisate pour que soit premier EXERCICE N Motrez que pour tout couple d'etier relatifs (x, y), si x² + y² est divisible par 7 alors x et y sot aussi divisibles par 7 EXERCICE N [ ] ou² [ 8] si 0[ ] ² [ 8] si [ ] ² 0 8 Soit Z Motrer que : EXERCICE N ) Quel est le reste de la divisio euclidiee de 0 + par 0? E déduire le reste de la divisio euclidiee de par 0 )Soit r N, 0 r 9 Motrer que 0 divise r 0 + si, et seulemet si, { 7, } r ) Détermier l'esemble des etiers aturels x tels que 0 divise x 0 + EXERCICE N 6 O se propose de détermier tous les couples d'etiers aturels (x,y) N N, solutios de l'équatio : x y (E) : = ) Soit k N a) Quel est le reste de la divisio euclidiee de 9 k par 8? b) Détermier les restes de la divisio euclidiee de k + par 8, puis de k + + par 8 ) Soit (x, y) N N, u couple solutio de l'équatio (E) Motrer, à l'aide de ) que x ) E déduire tous les couples (x,y) N N, solutios de l'équatio (E) EXERCICE N 7 )Motrer que pour tout etier : = )E déduire que pour tout etier, divise et + e divise pas EXERCICE N 8 + Motrer que pour tout de ( ) ( ) EXERCICE N 9 Motrer que pour tout de ) divise est divisible par )9 divise EXERCICE N 0 Motrer que pour tout de divise si et seulemet si équivaut à e divise pas EXERCICE N ) O cosidère l équatio (E) : 7x 6y =, où x et y sot des etiers a) Résoudre das Z l équatio 7x = 6y b) Détermier ue solutio particulière de (E) c) E déduire tous les couples de Z solutios de l équatio (E) d) Motrer que le PGCD des couples solutios de (E) est ou e) Détermier les couples (x ; y) de Z solutios de (E) dot le PGCD est

2 f) Détermier le couple (x0 ; y0) solutio de (E) tel que : y et 00 y0 0 x0 0 = ) Ue bade de 7 pirates s est emparé d u buti composé de pièces d or d égale valeur Ils décidet de se le partager équitablemet et de doer le reste au cuisiier chiois Celui-ci recevrait alors pièces Mais leur bateau fait aufrage et seuls le buti, 6 pirates et le cuisiier sot sauvés : le partage laisserait alors pièces d or au cuisiier a) O ote N le ombre de pièces d or du buti, x le ombre de pièces de chaque pirate avat le aufrage et y le ombre de pièces d or de chaque pirate après le aufrage Exprimer N e foctio de x, puis e foctio de y b) Ecrire alors la relatio liat x et y c) E utilisat les résultats de la questio c), détermier la fortue miimale que peut espérer le cuisiier quad il décide d empoisoer le reste des pirates avec du civet de rat d) Soit das Z Z l équatio ( E ) :x 8 y = EXERCICE N ) O cosidère l équatio () d icoue (, m) élémet de Z : m = a) Justifier, que cette équatio admet au mois ue solutio b) E utilisat l algorithme d Euclide, détermier ue solutio particulière de l équatio () c) Détermier l esemble des solutios de l équatio () ) a) Justifier que 0 p divise 0 pk, k, p N b) (, m) désigat u couple quelcoque d etiers aturels solutios de (), motrer que l o peut écrire : (0 ) 0(0 m ) = 9 c)e déduire l existece de deux etiers N et M tels que :(0 )N (0 )M = 9 d) Motrer que tout diviseur commu à 0 et 0 divise 9 e) Déduire des questios précédetes le PGCD de 0 et 0 EXERCICE N : (BAC 008P) )Soit das Z Z l équatio ( E ) :x 8 y = Motrer que les solutios de ( E ) sot les couples (, y) ) a)soit, x et y trois etiers tels que = x + = 8 y + 7 E x tels que x = 8k et y = k Motrer que ( x, y) est ue solutios de ( ) [ ] b)o cosidère le système ( S ) où est u etier 7[ 8] Motrer que est solutio du système ( S ) si et seulemet si [ ] ) a)soit k u etier aturel Détermier le reste de k modulo et le reste de k 7 modulo 8 b)vérifier que 99 est ue solutio de ( S ) et motrer que l etier ( 99) 008 est divisible par EXERCICE N ) Détermier, e justifiat, PPCM(,, ) et PPCM(6, 8, 60) ) Soiet a, b, c trois ombres premiers etre eux deux à deux a) Motrer que : PPCM(a, b, c) = abc b) Détermier tous les triplets (a, b, c) tels que :a b c et PPCM(a, b, c) = 60 PPCM( x, y,z) = 70 PGCD( x, y) = ) Résoudre das N le système suivat : PGCD( y,z) = PGCD( z,x ) = x y z EXERCICE N )a) Détermier deux etiers relatifs u et v tels que 7u v = b) E déduire deux etiers relatifs u0 et v0 tels que u0 6v0 = c) Détermier tous les couples (a, k) d etiers relatifs tels que a 6k = ) O cosidère deux etiers aturels a et b Pour tout etier, o ote φ() le reste de la divisio euclidiee de a + b par 6 O décide de coder u message, e procédat comme suit : A chaque lettre de l alphabet o associe u etier compris etre 0 et, selo le tableau :

3 Lettre Nombre A 0 B C D E F G 6 H 7 I 8 J 9 K 0 L M Lettre Nombre N O P Q 6 R 7 S 8 T 9 U 0 Pour chaque lettre α du message, o détermie l etier associe puis o calcule φ () La lettre α est alors codée par la lettre associée à φ () V O e coait pas les etiers a et b, mais o sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O a + b 0[ 6 ] a) Motrer que les etiers a et b sot tels que : 9a + b [ 6] b) E déduire qu il existe u etier k tel que a 6k = a + b 0[ 6 ] c) Détermier tous les couples d etiers (a, b), avec 0 a et 0 b tels que 9a + b 6 ) O suppose que a = 7 et b = a) Coder le message «GAUSS» b) Soit et p deux etiers aturels quelcoques Motrer que, si ( ) φ( p) 7( p) 0 6 W X Y Z [ ] φ =, alors [ ] E déduire que deux lettres distictes de l alphabet sot codées par deux lettres distictes ) O suppose que a = 7 et b = a) Soit u etier aturel Calculer le reste de la divisio euclidiee de φ () + 9 par 6 b) E déduire u procède de décodage c) E déduire le décodage du message «KTGZDO» EXERCICE N 6 : SUITE DE FIBONNACCI Soit ( f ) N défiie par : f 0 = 0, f = et pour tout de f = f+ + f )Motrer que pour tout de divise f si et seulemet si divise )Motrer que pour tout de divise f si et seulemet si divise )Motrer que pour tout de divise f si et seulemet si 6 divise EXERCICE N 7 : NOMBRES DE MERSENNE Soiet a,b des etiers supérieurs ou égaux à Motrer que : ) ( a divise ( ) ab a b a b ) ( ) ( ) = ( ) )Si a premier alors a premier EXERCICE N 8 :NOMBRES DE FERMAT Partie A + + O appelle ombres de Fermat les ombres etiers F = où est u etier aturel Motrer que pour tout de F divise F Partie B O se propose de démotrer que : si le ombre ( + ) est premier, alors le ombre est ue puissace de ISoiet b et p deux etiers aturels o uls ) Factoriser b p + b E déduire que b p + b et b p + + sot divisibles par b + m( p+ ) ) Démotrer que : quels que soiet les etiers a, m, p o uls, a + est divisible par a m + II ) a) Soit u etier aturel tel que le ombre ( + ) soit premier Démotrer par l absurde que e peut pas avoir de diviseurs impairs autre que b) Coclure ) a) Détermier le plus petit etier aturel tel que F est pas u ombre premier b) Waclav Fraciszek Sierpiski (88 970) a démotré que tout ombre de Fermat, o premier, admet u diviseur de la forme : k + +, où k est u etier aturel o ul Vérifier que cela correspod à l exemple précédet EXERCICE N 9 :THEOREME DE WILSON ;;; p Soit p u etier aturel premier O ote Ep l'esemble { } ) Motrez que tout élémet de Ep est premier avec p )Motrez que pour tout a de Ep, il existe b uique das Ep tel que [ p] ab

4 )Détermiez les a élémets de Ep tels que a² [ p] )Motrez que ( p )! p [ p] )Déduisez-e que pour tout p etier aturel premier, ( p )! + EXERCICE N 0 Etablir : [ ] est divisible par p Soiet a Z impair et N tel que a EXERCICE N Motrez que, pour tout b etier >, le ombre x = + b + b + b + b 'est pas u ombre premier EXERCICE N Soit pour tout de )Motrer que pour tout de s = k= ( )! k s = ( + ) k= ( )! k( + k) )E déduire que pour tout de s est u etier divisible par + EXERCICE N )Décomposer 9 e facteurs premiers )Démotrer que si x et y sot deux etiers aturels premiers etre eux, il e est de même pour les ombres x + y et x + y (a + b)( a + b) = 76 )Résoudre das N le système d icoues a et b : où m est le PPCM de a et b ab = m EXERCICE N ) a est u etier aturel Motrez que a a est divisible par 0 ) a et b sot des etiers aturels avec a b Démotrez que si a - b est divisible par 0 alors a b est divisible par 0 EXERCICE N Motrer que les etiers suivats sot composés : ) ² + 6, Z ) + 6² + +, N + ) +, N EXERCICE N 6 )Motrer que pour tout de )Motrer que pour tout de ( ² + ) ( + ) = ( + ) ( + ² + ) = ( ) ( ) { } )Motrer que pour tout de ² + ( + )² +, EXERCICE N 7 ) Motrer que pour tout de Z : divise 7 ) Motrer que pour tout de Z : 70 divise ) Motrer que pour tout de Z : divise EXERCICE N 8 7 Motrer que pour tout de Z : + + Z 7 EXERCICE N 9 Das cet exercice, a et b désiget des etiers strictemet positifs Démotrer que si (a + a b b ) =, alors a et b sot premiers etre eux O se propose de détermier les couples d'etiers strictemet positifs (a ; b) tels que : (a + a b b ) = U tel couple sera appelé solutio a) Détermier a lorsque a = b b) Vérifier que ( ; ), ( ; ) et ( ; 8) sot trois solutios particulières c) Motrer que si (a ; b) est solutio et si a b, alors a b < 0 a) Motrer que si (x ; y) est ue solutio différete de ( ; ) alors (y x ; x) et (y ; y + x) sot aussi des solutios b) Déduire de b) trois ouvelles solutios O cosidère la suite de ombres etiers strictemet positifs (a) défiie par a0 = a = et pour tout etier, > 0, a+ = a+ + a Démotrer que pour tout etier > 0, (a ; a+) est solutio

5 E déduire que les ombres a et a+ sot premiers etre eux EXERCICE N 0 Das cet exercice, o pourra utiliser le résultat suivat : «État doés deux etiers aturels a et b o uls, si a b = alors a ² b² =» Ue suite (S) est défiie pour > 0 par S = p p= O se propose de calculer, pour tout etier aturel o ul, le plus grad commu diviseur de S et S+ ) Démotrer que, pour tout > 0, o a : S = ²( + )² )Supposos que est pair Soit k l etier aturel o ul tel que = k a) Démotrer que S S = ( k + ) ( k ( k + ) + k k ) b) Calculer alors S S + ) Supposos que est impair Soit k l etier aturel o ul tel que = k + a) Démotrer que les etiers k + et k + sot premiers etre eux b) Calculer alors S S + ) Déduire des questios précédetes qu il existe ue uique valeur de, que l o détermiera, pour laquelle S et S+ sot premiers etre eux EXERCICE N )Pour a = puis pour a =, détermier u etier aturel o ul tel que a mod 7 )Soit a u etier aturel o divisible par 7 a) Motrer que : a 6 mod 7 b) O appelle ordre de a mod 7, et o désige par k, le plus petit etier aturel o ul tel que a k mod 7 Motrer que le reste r de la divisio euclidiee de 6 par k vérifie a r mod 7 E déduire que k divise 6 Quelles sot les valeurs possibles de k? c) Doer l ordre modulo 7 de tous les etiers a compris etre et 6 )A tout etier aturel, o associe le ombre A = Motrer que A mod 7 EXERCICE N Partie A ) Démotrer que, pour tout etier aturel, est cogru à modulo ) Prouver que 8 est divisible par 9 )Pour, détermier le reste de la divisio de par 7 E déduire que, pour tout etier k, le ombre k est divisible par 7 )Pour quels etiers aturels le ombre est-il divisible par? )A l aide des questios précédetes, détermier quatre diviseurs premiers de 8 Partie B Soit p u ombre premier différet de Démotrer qu il existe u etier tel que (mod p) Soit > u etier aturel tel que ( mod p) O ote b le plus petit etier strictemet positif tel que b (mod p) et r le reste de la divisio euclidiee de par b a) Démotrer que r ( mod p) E déduire que r = 0 b) Prouver l'équivalece : est divisible par p si et seulemet si est multiple de b c) E déduire que b divise p EXERCICE N )Calculer le ( ) ( ) 6 )(u) est la suite défiie par u0 = 0, u = et, pour tout etier aturel, par u+ = u+ u Calculer u, u et u )a)motrer que la suite (u) vérifie, pour tout etier aturel, u+ = u + b)motrer que, pour tout etier aturel, u est u etier aturel c)e déduire, pour tout etier aturel, le u u + )Soit (v) la suite défiie pour tout etier aturel par v = u + a)motrer que (v) est ue suite géométrique dot o détermiera la raiso et le premier terme v0 b)exprimer v puis u e foctio de + c)détermier, pour tout etier aturel, le ( ) ( )

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