exercices de révision ece1 ece2 tirés des annales 2010

Transcription

1 exercices de révision ece1 ece2 tirés des annales 2010 Deux mois et demi sans faire de mathématiques, le temps va vous paraitre bien long... Heureusement e pense à vous, et vous propose ces exercices de révision, tirés des annales Ce sont des exercices de difficulté extrèmement variable. Avancez les au maximum de façon autonome (mettez vous, dans un premier temps, dans les conditions de l épreuve). En cas de besoin, consultez les indications correspondantes, page 5-6. Je ne donne pas de corrigé détaillé, mais vous pouvez consulter le site de Pierre Veuillez : pour trouver ce corrigé détaillé qui s adresse, il est vrai, à des étudiants en fin de ece2. Cela ne devrait pas poser de problème sauf pour l exercice d algèbre linéaire : le corrigé n est pas pour l instant utilisable, mais e donne les réponses utiles dans les indications. On reparle de tout ça à la rentrée, évidemment! Si certains de ces exercices vous paraissent trop difficiles, ne vous découragez pas, mais ne restez pas les bras ballants : vous avez assez de documentation pour faire les mises au point et les progrès nécessaires, à quelque niveau que vous soyez : Commencez par travailler les exercices posés en ds ou en concours blanc, ce sont en principe les plus emblématiques de ce qu il faut savoir faire à la fin de ece1, au lycée Madeleine Michelis, Amiens (Somme)... Enfin profitez de la vie, aimez là tant qu elle est là. Faites le plein de forces et d enthousiasme, l année qui vous attend sera très intense, mais couronnée de succès pour vous tous, en suis persuadé! Gabriel Baudrand 1

2 1. Fonctions de deux variables ; extrait de edhec ) Montrer que, pour tout couple (x, y) de ] 0, + [ ] 0, + [, on a : y x ( x + ) f (x, y) = et f (x, y) = x y xyy 2) Montrer que f est de classe C 1 sur ] 0, + [ ] 0, + [. 2. 3) Montrer que f possède une infinité de points critiques et les déterminer. [Question 4 programme ece2] 5) a) Comparer les réels (x + y) 2 et 4xy. b) En déduire que f admet sur ] 0, + [ ] 0, + [ un minimum global en tous ses points critiques et donner sa valeur. 6) Soit g la fonction définie pour tout (x, y) de ] 0, + [ ] 0, + [, par : g(x, y) = 2ln(x + y) ln(x) ln(y). Montrer que : (x, y) ] 0, + [ ] 0, + [, g(x, y) 2ln(2). 2. Suites numériques ; extrait de edhec n Pour tout entier naturel n, on pose u n = (1 + ) = (1 + 1) (1 + k ) (1 + ) (1 + k= n ). 2 1) Donner, sous forme d entiers ou de fractions simplifiées, les valeurs de u 0, u 1 et u 2. 2) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n 2. b) Exprimer u n+1 en fonction de u n puis en déduire les variations de la suite (u n ). 3) a) Établir que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : ln (1 + x) x. b) En déduire, pour tout entier naturel n, un maorant de ln(u n ). 4) En utilisant les questions précédentes, montrer que la suite (u n ) converge vers un réel l, élément de [2, e 2 ]. 3. Algèbre linéaire ; d après edhec 2010 On note B=(,, ) la base canonique de M, () et on considère l application linéaire de M, () dans M, () défini par les égalités suivantes : ( )= 1 3 ( + ) et ( )=( )= 2 3 1) a) Écrire la matrice de dans B. b) Déterminer une base de Im() et une base de Ker(). c) Résoudre l équation ()= d inconnue = M, (). On discutera suivant la valeur de / ) On pose P = 1 1 1, Q = et D = 0 2 / a) Calculer PQ. En déduire que est inversible et déterminer. b) Vérifier : =, puis montrer par récurrence que, pour tout entier naturel, on a : M = PD P 1. c) Écrire, pour tout entier naturel non nul, la première colonne de la matrice. Vérifier que ce résultat reste valable si = 0. 2

3 4. Simulation informatique d une expérience aléatoire ; probabilités conditionnelles ; extrait de edhec Une urne contient 3 boules numérotées de 1 à 3. Un tirage consiste à extraire au hasard une boule de l'urne puis à la remettre dans l'urne pour le tirage suivant. On définit une suite de variables aléatoires ( X k ) k IN* de la manière suivante : Pour tout entier naturel k non nul, X k est définie après le k ème tirage. On procède au 1 er tirage et X 1 prend la valeur du numéro de la boule obtenue à ce tirage. Après le k ème tirage (k IN *) : Soit X k a pris la valeur 1, dans ce cas on procède au (k + 1) ème tirage et X k+1 prend la valeur du numéro obtenu à ce (k + 1) ème tirage. Soit X k a pris une valeur, différente de 1, dans ce cas on procède également au (k + 1) ème tirage et X k+1 prend la valeur si la boule tirée porte le numéro et la valeur 1 sinon. 1) Reconnaître la loi de X 1. 2) Simulation informatique de l expérience aléatoire décrite ci dessus. On rappelle que random(n) renvoie un entier compris entre 0 et n 1. Compléter le programme suivant pour qu il simule l expérience aléatoire décrite ci-dessus et pour qu il affiche la valeur de la variable aléatoire X k, l entier naturel k étant entré au clavier par l utilisateur. Program simul ; Var i, k, X, tirage : integer ; Begin Readln(k) ; X : = random(3) + 1 ; For i : = 2 to k do begin tirage : = random(3) + 1 ; If X = 1 then X : = Else If tirage < > X then X : = ; end ; Writeln (X) : end. 3) Déterminer les probabilités P ( = ) (X k+1 = i), pour tout couple (i, ) de {1, 2, 3} {1, 2, 3}. X k 5. Étude d une fonction et d une suite =( ) ; extrait de eml On note : l'application de classe, définie, pour tout, par : ()= ln(1+ ) et la courbe représentative de dans un repère orthonormé. On donne la valeur approchée: ln2 0,69. Partie 1 : Étude de et tracé de. 1. a. Calculer, pour tout, (). b. En déduire le sens de variation de. c. Calculer, pour tout, (). 2. Déterminer la limite de en et la limite de en Déterminer la nature des branches infinies de. 4. Montrer que admet deux points d'inflexion dont on déterminera les coordonnées. 5. Tracer. On utilisera un repère orthonormé d'unité graphique 2 centimètres, et on précisera la tangente à en l'origine et en chacun des points d'inflexion. 6. Calculer ()d. À cet effet, on pourra utiliser le changement de variable défini par =1+. Partie II : Étude d'une suite associée à. On considère la suite ( ) définie par =1 et, =( ). 1. Montrer que la suite ( ) est décroissante. 2. Établir que la suite ( ) converge et déterminer sa limite. 3. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche un entier tel que 10. 3

4 6. Autour de la loi géométrique ; extrait de eml Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notés,, arrivent en même temps. Les clients et se font servir tandis que le client attend puis effectue son opération dès que l'un des deux guichets se libère. On définit,, les variables aléatoires égales à la durée de l'opération des clients,, respectivement. Ces durées sont mesurées en minutes et arrondies à l'unité supérieure ou égale. On suppose que les variables aléatoires,, suivent la loi géométrique de paramètre, ]0;1[ et qu'elles sont indépendantes. On note =1. On note l'événement: «termine en dernier son opération». Ainsi l'événement est égal à l'événement: min(, )+ >max(, ). On se propose de calculer la probabilité de. 1. Rappeler la loi de ainsi que son espérance E( ) et sa variance V( ). On définit la variable aléatoire Δ par Δ=. 2. Calculer la probabilité P(Δ=0). 3. Soit un entier naturel non nul. a. Justifier : P( =)= P( =)P( =+). b. En déduire : P(Δ=)= 4. a. Montrer que Δ admet une espérance E(Δ) et la calculer. b. Montrer: E(( ) )=2V( ). En déduire que Δ admet une variance V(Δ) et la calculer. 5. Montrer que l'événement est égal à l'événement ( >Δ). 6. a. En déduire: P()= P(Δ=)P( >) b. Exprimer P() à l'aide de et. 7. Variables aléatoires finies ; extrait de ecricome Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un eu de dés à six faces. Pour ce eu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux dés équilibrés. On note: le résultat du premier dé et le résultat du deuxième dé, l'événement : «<», l'événement: «=» et l'événement : «>». Lors d'une partie, - si l'événement se produit alors le oueur ne marque pas de point, - si l'événement se produit alors le oueur marque 2 points, - si l'événement se produit alors le oueur marque 1 point. 1. Etude de parties successives. Soit un entier naturel non nul. Le oueur oue successivement parties. Pour tout entier naturel 1 on note : la variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de la -ème partie ; le nombre de points marqués après parties. 1. Calculer la probabilité de chacun des événements, et. 2. Soit {1,2,,}, déterminer la loi de la variable aléatoire puis calculer son espérance et sa variance. 3. Trouver la loi de la variable aléatoire. 4. Quelle est la loi de la variable aléatoire? 5. (a) Ecrire en fonction des variables aléatoires,,, En déduire l'espérance mathématique et la variance de. (b) En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le oueur pour obtenir plus de 10 points? 4

5 Indications, conseils, commentaires 1. 2) Dans la rédaction, mentionner d une manière ou d une autre que les dénominateurs sont non nuls. 5) «Comparer» signifie «comparer avec la relation d ordre sur R» : dire de ces deux nombres quel est le plus grand. Pour cela, on forme leur différence. 6) Exprimer en fonction de, puis utiliser les propriétés du logarithme néperien. 2. 2) Questions faciles ; soyez attentifs à la rigueur de la rédaction. 3) b) Le maorant ne doit pas dépendre de. Le log d un produite est la somme des log, identité géométrique, puis maorer le numérateur. 4) D un maorant de ln( ), on déduit un maorant de. 3. 1) a) On écrit en colonne les coordonnées de ( ),( ),( ) dans la base (,, ) : on 0 trouve donc = b) Im() M, (),()=. Ne pas perdre de vue qu on ne cherche pas à résoudre ce système, mais à donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que ce système ait une solution. 0 Ker() ()=0. Im() est de dimension 2, Ker () est de dimension 1. 0 J ai reformulé ces deux questions. Nous apprendrons l année prochaine à répondre aux questions originelles (et nous verrons un moyen plus rapide de déterminer Im() ). c) Résultats en filigrane dans les expressions de et : Si { ; ;0}, est réduit au vecteur nul, sinon : = =Vect( 1) ; = =Vect( 1 ) ; =0 =Vect( 1) ) Là aussi questions remaniées. La théorie du changement de base, alliée à la diagonalisation, permettra de se dispenser de la vérification =. c) Dans la rédaction, bien préciser non nul, puis =0. Seule la première colonne de est demandée, éviter les calculs inutiles (en marquant d un x dans les matrices manipulées les termes 2(2/3) + 2( 2/3) 1 qu on ne calcule pas). On trouve, pour 1, (2/3) ( 2/ 3) comme première colonne de 4 (2/3) ( 2/ 3), résultat valable aussi si =0. 4. En bon français, à chaque passage dans la boucle : on procède au tirage ; si X était à la valeur 1, alors la nouvelle de X est la valeur du tirage ; sinon, si le tirage est différent de la valeur précédente de X, alors on retourne à 1. 3) Détailler par exemple ce qui se passe si =1 : alors =1,2 ou 3 avec équiprobabilité, donc pour tout {1 ;2 ;3},P ( )( =)=. 5. Partie I. 2) Pas d indétermination en. En +, ne pas d utiliser d équivalents avec le logarithme néperien ; mais on peut écrire ln(1+ )=ln 1+ puis utiliser les régles de calcul sur les log, puis =+(). 5

6 3) En +, on part de l expression trouvée ci-dessus, à savoir : ()= 2ln() ln1+ et on divise par. En, même principe, mais est négatif! On a donc ln( )=2ln( )... 6) Avant de faire le changement de variable, commencer par écrire ()d= d ln(1+ )d et faire le changement de variable sur la deuxième intégrale : =2, donc d= d, and so on... Partie II. 1) Former. 2) On montre par récurrence que pour tout 0, 0. Pour la limite passer à la limite dans l égalité =( ) puis résoudre l équation l=(l) (on trouve l=0). 3) Initialiser n à 0, u à 1, puis répéter n :=n+1 ; u :=f(u) usqu à ce que..., et afficher... (déclarer f à l endroit où il faut, ou écrire explicitement f(u) ). 6. On va faire dans cet exercice un usage immodéré de la formule somme d 1 une série géométrique convergente =premier terme 1 raison Encore faut il «voir» le terme général de la série géométrique sous la forme,. Ainsi : = = ( ), 1 premier terme,raison ; = = ( ), 1 premier terme,raison. On peut préférer faire un changement de variable pour se ramener à la formule = : = () = ( ) = ( ) = 2) (Δ=0)=( = )=( =) ( =) Incompatibilité, puis indépendance, puis somme d une série géométrique. 3)a) ( =)=( = +)=( =) ( =+) Incompatibilité, puis indépendance, puis... b) (Δ=)=( =) ( =) réunion de deux événements incompatibles et de même probabilité, car et ont même loi. 4) a) Ce coup-ci il y a de la série géométrique dérivée. =. b) ( ) = 2 +, linéarité de l espérance ; et sont indépendantes, donc E( )=E( )E( ) ; et ont même loi, donc... 5) est l événement >max(, ) min(, ) ; distinguer les cas >,. 6) Donc = (Δ= >), incompatibilité, indépendance ; P( > )= ; traiter =0 à part. 7. 1) On peut présenter l ensemble des résultats possibles sous la forme d un tableau à double entrée (valeur de, valeur de ). Chaque résultat élémentaire a la même probabilité, 1/36. On compte le nombre de résultats élémentaires qui réalisent >, =, <. 3) n est pas très différente de... 4) = + somme de deux variables aléatoires indépendantes et de même loi. On procède comme d habitude : (Ω)=, ( =0)=, donc par indépendance... ( =1)=, donc par incompatibilité, puis indépendance... L énoncé demandait de remettre le couvert avec, beurk... 5) b) Formulation mystérieuse... comprendre : quelle est la valeur minimum de telle que l espérance de soit supérieure à 10. 6