EM1. dl dl. d j. M. Tube de courant élémentaire. Elément de courant : PSI ANNEE SCOLAIRE 2010/2011 Interrogation EM1/EM2 : Corrigé

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1 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé E1 ouants voluiques : oit un conducteu dans lequel on définit, en un point, la densité voluique de chages obiles (,t) ainsi que la vitesse oyenne de ces poteus V (, t). Expie le vecteu densité de couant (, t) en fonction de (,t) et V (, t) Expie le flux du vecteu (, t) à taves une suface éléentaie d et le elie à l intensité di tavesant la suface. (Faie un schéa) (, t) (, t). V, t), td di d. d Expie le flux du vecteu (, t) à taves une suface et le elie à l intensité I tavesant la suface. (, t) d Défini et epésente une chage éléentaie et un éléent de couant dans le conducteu (Faie deux schéas) uface (, t).. d I hage éléentaie : q d d dl dl. e T Eléent de couant : d Tube de couant éléentaie d di. dl LYEE BAGGIO age 1 su 1 OU DE IENE HYIQUE

2 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé ouant sufaciques : oit une suface conductice su laquelle on définit, en un point, la densité sufacique de chages obiles (,t) ainsi que la vitesse oyenne de ces poteus V (, t). Expie le vecteu densité de couant sufacique s (, t) en fonction de (,t) et V (, t) Expie l intensité di tavesant un éléent de longueu d appatenant à la suface (Faie un schéa), t, t. V t s, (, t) d Expie l intensité I tavesant un contou () appatenant à la suface. (Faie un schéa) di (, t). d s () (, t) d Défini et epésente une chage éléentaie et un éléent de couant su le conducteu (Faie deux schéas) I (, t). s d d dq d (, t) () d dl LYEE BAGGIO age su 1 OU DE IENE HYIQUE

3 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé oit un ligne de couant su la suface et soit le vecteu éléentaie dl centé en su cette ligne de couant : dl dl et. On a alos :,, et. L éléent de couant en est défini pa la lageu d du uban centé su la ligne de couant. L intensité dans le uban valant : di =,. d. L éléent de couant est donc ici : dl d. d dl di dl, d,.,. icuits filifoes : Défini un cicuit filifoe Donne la elation ente le vecteu (, t) et l intensité dans le conducteu I. Défini et epésente une chage éléentaie et un éléent de couant dans le conducteu (Faie deux schéas) Les cicuits utilisés en patique ont des sections de tès faibles diensions pa appot à leus longueus. Ainsi le fil peut ête assiilé à un tube de couant de section pouvant ête considéée coe infinient petite. Ainsi l intensité pacouant le fil peut s écie I. =. hage éléentaie : dq =.dl. () dl d oit le vecteu éléentaie dl centé en un point su le tube de couant, on a : dl dl et où e T est le vecteu unitaie tangent au fil en. Le vecteu suface s écit donc : e T et le volue associé à l éléent de couant est d = dl., l éléent de couant coespondant à la longueu dl est donc : d I. dl Loi de consevation de la chage. Expie l équation locale de consevation de la chage. d Expie l équation intégale de consevation V (, t) t (, t) t div de la chage. (, t). d LYEE BAGGIO age su 1 OU DE IENE HYIQUE

4 , I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé Inteaction électoagnétique. Donne l expession de la foce de Loentz agissant su une chage q de vitesse V dans le éféentiel d étude. Donne l expession de la foce de Loentz agissant su un volue éléentaie d d un conducteu. F (, t) q E(, t) V (, t) B(, t) df(, t) E(, t) V (, t) B(, t) Donne l expession de la puissance eçue pa unité de volue dans un conducteu. ) d Où est la densité voluique de chage et est la densité voluique des chages obiles. d (, t). E(, t d, t ouant dans les conducteus. oit un conducteu dans lequel on définit, en un point, la densité voluique de chages obiles (,t), le nobe de poteus de chage obiles pa unités de volue n(,t), ainsi que la vitesse oyenne de ces poteus V (, t). Décie le odèle de Dude Donne la loi d oh locale Expie la conductivité du conducteu en fonction des gandeus icoscopiques. Donne la loi de Joule locale. Décie l effet Hall et donne l expession du chap Hall. ou étudie la conduction électique, on odélise les collisions subies pa les poteus de chages obiles pa une foce de fotteent fluide ( F V ) appliquée à chaque poteu de chage obile. La vitesse en égie peanent de chaque poteu, obtenue en appliquant le DF au poteu, donne la vitesse oyenne des poteus de chage. En l absence de chap électique appliqué, cette vitesse est nulle. En pésence d un chap électique appliqué, cette vitesse est V µ E où µ est la q q obilité des poteus ( µ ) E nq d. E. E d On appelle effet Hall l appaition d un chap électique tansvesal dans un étal (ou un sei-conducteu) pacouu pa un couant électique losqu on l intoduit dans un chap agnétique pependiculaie à la diection du couant. oit un long conducteu paallélépipédique connecté à un généateu et dont la longueu a la diection du vecteu unitaie u x oienté dans le sens du couant. En l absence de chap agnétique, le chap électique est : E Eux. Les chages q se déplacent à la vitesse v de êe diection que u x et de êe sens si q. i à pésent on applique un chap agnétique B pependiculaie à E q subit la foce de Loentz F qv B : le coté (1) du conducteu se chage positiveent (excès de chage) tandis que l aute coté () se chage négativeent, céant ainsi un chap électique E noal à E. H LYEE BAGGIO age 4 su 1 OU DE IENE HYIQUE

5 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé Donne l expession de la foce de Laplace agissant su un conducteu voluique placé dans un chap agnétique B Donne l expession de la foce de Laplace agissant su un conducteu sufacique placé dans un chap agnétique B Donne l expession de la foce de Laplace agissant su un cicuit filifoe placé dans un chap agnétique B q est alos aussi souise à une foce diigée ves le coté () FH qe H s opposant à l effet de la foce F qv B. La igation des chages s aête quand les deux foces sont égales, donc quand qe qv B H V B F V B d F B d F s I dl B E H E ouant dans les conducteus en égie stationnaie. Justifie qu en égie stationnaie le vecteu (, t) (, t) t est à flux consevatif. Déonte la loi des nœuds d div est à flux consevatif. d d L L 1 1 L =suface feée. d. d. d1. d. dl 1 L 1 I = I1+I Donne l expession de la ésistance éléentaie d un éléent de couant dans un conducteu. 1 d 1 dl d d LYEE BAGGIO age 5 su 1 OU DE IENE HYIQUE

6 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé opléte le tableau suivant : hap E stationnaie hap B stationnaie Définition des chaps Foce execée su une paticule chagée : F qe Natue du chap (axial ou adial) adial Axial Expessions des chaps Existence des potentiels Expessions des potentiels iculation su un contou feé des chaps Flux à taves une suface feée des chaps hap cée pa une distibution voluique de chage : E( ) V p. u 4. d hap cée pa une distibution sufacique de chage : ( ). u. p E 4 d hap cée pa une distibution linéique de chage : ( ). u p E 4. dl E déive d un potentiel scalaie : E( ) gad( V ) et dv E. d otentiel cée pa une distibution voluique de chage : V( ) V p 4. d otentiel cée pa une distibution sufacique de chage : V( ) p 4. d otentiel cée pa une distibution linéique de chage : V( ) p 4. dl E est à ciculation consevative : E. dl as d un contou non feé : AB E. dlv V B V A Théoèe de Gauss : Qint Ed. o Foce execée su une paticule chagée en ouveent : F qv B hap cée pa des couants voluiques : B( ) V o pu 4 d hap cée pa des couants sufaciques : o s, pu B( ) 4 d hap cée pa un cicuit filifoe : I p. dl p u o B( ) 4 B déive d un potentiel vecteu : B( ) ot( A) otentiel cée pa des couants voluiques : A( ) V o 4 p d otentiel cée pa des couants sufaciques : A( ) o 4 s, p d otentiel cée pa un cicuit filifoe : A( ) o I p. dl 4 Théoèe d Apèe : B. dl I B est à flux consevatif : B. d as d une suface non feée :. d B Adl. p LYEE BAGGIO age 6 su 1 OU DE IENE HYIQUE

7 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé Divegence des chaps otationnel des div E div B o ot E otb µ chaps o Discontinuités des chaps Equation de oisson des potentiels Lignes de chap yéties La coposante noale du chap E subi une discontinuité à la tavesée d une suface chagée : E n B s ( ) V ( A) o Les lignes de chap de E sont touous ouvetes. Elles sont diigées soit : D une chage positive ves une chage négative. D une chage positive ves l infini. De l infini ves une chage négative. oit un point appatenant à un plan de syétie de la épatition de chage, alos le chap E en appatient à ce plan. oit un point appatenant à un plan d antisyétie de la épatition de chage, alos E en est pependiculaie à ce plan. La coposante tangentielle du chap B subi une discontinuité à la tavesée d une suface pacouue pa des couants sufaciques : n Les lignes de chap de B sont touous feées. Leu sens est donné pa la «ègle du tie-bouchon» eaque : Les lignes de chap peuvent alle de l infini à l infini oit un point appatenant à un plan de syétie de la épatition des couants, alos le chap B en est pependiculaie à ce plan. oit un point appatenant à un plan d antisyétie de la épatition des couants, alos B en appatient à ce plan. Opéateus difféentiels : Défini le vecteu Nabla en coodonnées catésiennes Défini le gadient à l aide de Nabla x y z gad f f f f x y f z Défini la divegence à l aide de Nabla div ( A). A et diva Ax x Ay y Az z LYEE BAGGIO age 7 su 1 OU DE IENE HYIQUE

8 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé Défini le otationnel à l aide de Nabla Défini le Laplacien à l aide de Nabla Enonce le théoèe d Ostogadski A A z y y z Ax Az ot( A) A et ota z x A y Ax x y A A A ( A) A et A x y z Le théoèe d Ostogadski peet de elie le flux d un chap à sa divegence. ou un chap A, le flux sotant de A à taves une suface feée quelconque est égale à la soe su l espace déliité pa cette suface ( volue) de la divegence de A. suface d p A. d A. div volue Dans le volue V d() A ( ) A () d () u la suface feée () Enonce le théoèe de tokes Le théoèe de tockes peet de elie la ciculation d un vecteu à son otationnel. ou un chap A, la ciculation de A su un contou feé ( et oienté) quelconque est égale au flux de otationnel de A à taves n ipote qu elle suface s appuyant su le contou ( l oientation de la suface étant induite pa l oientation du contou) : u le contou feé () A () () ontou dl () uface () A ( ) d ( ) A ot. A( ). dl d u la suface () LYEE BAGGIO age 8 su 1 OU DE IENE HYIQUE

9 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé ANALOGIE DIOLE ELETIQUE-DIOLE AGNETIQUE ELETOTATIQUE AGNETOTATIQUE Définition des dipôles q + q O i N qn En coodonnées sphéiques : O i En coodonnées sphéiques : x e e x e e O z i O z y y otentiel cée Equipotentielles hap cée Lignes de chap L unité du oent dipolaie est le Debye : 1 9 1D 1. V ( ) cos. 4 o 4 o k.cos Où : i iex L unité du oent dipolaie est A. A 4 Notons que l on peut défini aussi un potentiel scalaie agnétique : V* 4 k.cos V cos cos 4o 4 E B 1 V sin sin 4o 4 Expession indépendante du systèe de Expession indépendante du systèe de coodonnées : 1 (. ) E 5 4 coodonnées : B o 4. K.sin K.sin LYEE BAGGIO age 9 su 1 OU DE IENE HYIQUE

10 I ANNEE OLAIE 1/11 Inteogation E1/E : oigé Tacé des lignes de chap et équipotentielles Actions d un chap extéieu Actions d un chap extéieu faibleent non unifoe Foce : F ouple : E E p. E o Enegie potentielle : Le dipôle placé dans un chap E ext unifoe ne subit pas de tanslation ais subit une otation pou s oiente dans le sens du chap. Foce : F ( ouple : o Enegie potentielle :. gad). E E E p. E Foce : F ouple : B E p. B o Enegie potentielle : Le dipôle placé dans un chap B ext unifoe ne subit pas de tanslation ais subit une otation pou s oiente dans le sens du chap. Foce : F (. gad). B B E p. B ouple : o Enegie potentielle : Le dipôle placé dans un chap E ext nonunifoe subit une tanslation (se diige ves les zones de chap fot) et subit une otation pou s oiente dans le sens du chap Exeples olécules : olécule neute dont les baycentes des chages positives et négatives sont sépaés : B ext non- Le dipôle placé dans un chap unifoe subit une tanslation (se diige ves les zones de chap fot) et subit une otation pou s oiente dans le sens du chap Aiant allongé : Où : -q +q N est le baycente des chages positives et N est le baycente des chages négatives. q est la soe des chages positives et -q est la soe des chages négatives oent agnétique obital : Noyau Électo n e e I oent agnétique de spin : agnétise teeste : LYEE BAGGIO age 1 su 1 OU DE IENE HYIQUE