L analyse multi variée

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Édouard Beauregard
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1 L analyse multi variée Ensemble de méthodes destinées à synthétiser l information - Méthodes descriptives Elles visent à structurer et à simplifier les données issues de plusieurs variables (ACP, AFC) X -Méthodes explicatives Elles visent à expliquer une variable à l aide de deux ou plusieurs variables explicatives ( Régression multiple, analyse discriminante) X Y

2 Analyse en Composante Principale

3 Analyse en Composante Principale L ACP est fondée sur le principe de double analyse d un nuage de points et de recherche des axes d inertie de ce nuage et de double projection sur les axes factoriels. Elle s applique à un ensemble de variables numériques continues. L ACP permet ainsi de mettre en évidence la structuration des réponses en montrant le regroupement des individus selon des combinaisons de réponses aux questions. Les axes du mapping ne correspondent pas à l une ou à l autre des variables mais à un regroupement optimal de plusieurs variables.

4 Principe de projection Chaque objet est un point dans l espace des variables Chaque variable définie un axe Variable 3 Variables x3 Rangée i Objets Variable 2 x2 Rangée i x1 Variable 1

5 Principe de projection Variable 3 Nuage de points dans l espace des variables Variable 2 Variable 1 Quels sont les objets similaires, différents, groupes

6 Principe de projection Variable 3 Direction spécifique du nuage Passe près de tous les points Variable 2 Moyenne = point fictif Cette ligne qui Variable explique 1 la plus grande variance est appelée : premier axe principal

7 Principe de projection Est-ce que le premier axe suffit à expliquer la variabilité des données??? On se place face au premier axe et on regarde les échantillons. On cherche le second axe de plus grande inertie de ce nuage. jusqu à ce que la variation des échantillons soit expliquée.

8 Principe de projection PC 2

9 Variable 3 Principe de projection PC2 PC1 Variable 2 PC1 : axe de la plus grande inertie PC2 : axe perpendiculaire à PC1 Variable 1 On projette les échantillons dans ce plan et on calcule les nouvelles coordonnées dans ce nouveau plan

10 Principe de projection PC2 PC1 PC2 PC1

11 Principe géométrique de l ACP Rp i i Ressemblance des individus j j Rn X(n,p) Liaisons entre les variables

12 ACP : algorithme Le tableau de départ comporte les individus en ligne et les variables en colonne. L algorithme de l ACP effectue sur la matrice individus/ variables différentes opérations en vue de passer du nombre initial de variables à un petit nombre de variables obtenues par combinaison. 1 Centrer le tableau La première étape de transformation va être la translation de l origine des variables vers le centre du nuage. Mathématiquement, on appelle cette transformation : Centrage des données 2 Réduire le tableau

13 ACP exemple Tableau de données brutes Poids moléculaire Densité Distance Nombre H N P o id s T a ille A g e N o te , , , , , , , , , ,

14 ACP exemple Tableau de données centrées Poids moléculaire Densité Distance Nombre H N P o id s T a ille A g e N o te , , , , , , , , , ,

15 Transformation de données Problème des unités de mesure Poids moléculaire en g/mol Poids moléculaire en kg/mol 15 15* * distance en mm Distance en µm Forme du nuage est très sensible au choix des unités de mesure

16 Transformation de données Centrer et réduire les données : retrancher la moyenne Position relative des individus : diviser par l écart type Enlever l arbitraire de l unité de mesure

17 ACP Axe 2 X2 Z2 Axe 1 G Z1 O X1

18 ACP exemple Tableau de données centrées réduites N Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 1-1,8162-1,8162-1,0690 0, ,1435-0,4709-1,0690 1,2060 Tableau sans unité 3-1,1435 0,2018-1,0690 0, ,2018 1,5471 1,6036-0, ,2018 0,8745 0,2673-0, ,2018 0,8745 0,2673-1, ,5471-0,4709 0,2673-1, ,8745-0,4709-1,0690 0, ,2018-1,1435 1,6036 1, ,8745 0,8745 0,2673-0,3015

19 ACP : algorithme Le tableau de départ comporte les individus en ligne et les variables en colonne. L algorithme de l ACP effectue sur la matrice individus/ variables différentes opérations en vue de passer du nombre initial de variables à un petit nombre de variables obtenues par combinaison. 1 Centrer le tableau 2 Réduire le tableau 3 Effectuer l analyse factorielle

20 Inertie décomposée sur chaque axe Valeurs propres Inertie sur l axe 2,3909 0,7503 0,5844 0,2744 λ i Σ ι λ i / J (%) 59,77 78,53 93,14 100,00 Matrice des vecteurs propres u 1 u 2 u 3 u 4 0,5080-0,3065 0,6593 0,4619 0,5038 0,4647-0,5253 0,5042 0,4453-0,7058-0,4712-0,2855-0,5383-0,4381-0,2594 0,6715

21 Liaisons entre les variables j j Rn X(n,p)

22 Matrice de corrélation R = Z Z Liaisons entre les variables Var 1 Var 2 Var 3 Var 4 Var 1 1,0000 0,3665 0,4854-0,5679 Var 2 0,3665 1,0000 0,3955-0,6287 Var 3 Corrélation entre la variable 2 et 4 0,4854 0,3955 1,0000-0,3223 Var 4-0,5679-0,6287-0,3223 1,0000

23 ACP exemple Corrélation Variables axes factoriels Permet de donner une signification aux axes Axe 1 Cos² α Axe 2 Cos² α Axe 3 Cos² α Axe 4 Cos² α 0,785 0,617-0,266 0,070 0,504 0,254 0,242 0,059 0,779 0,607 0,403 0,162-0,402 0,161 0,264 0,070 0,689 0,474-0,611 0,374-0,360 0,130-0,150 0,022-0,832 0,693-0,380 0,144-0,198 0,039 0,352 0,124 Forte corrélation de l axe 1 avec les trois premières variables, anti-corrélation avec la quatrième

24 Cercle de corrélation dans le plan 1 / 2 Densité Poids Nb H Distance

25 Cercle de corrélation dans le plan 1 / 3 Poids Nb H Distance Densité

26 Ressemblance entre les individus Rp i i X(n,p)

27 Composantes principales Ressemblance entre les individus N Axe 1 Axe 2 Axe 3 Axe 4 1-2,638 0,203 0,104-1, ,943 0,358-0,316 0, ,442 0,803-0,591 0,486 Coordonnées des individus sur les axes principaux 4 2,083-0,078-1,201-0, ,987 0,420-0,296 0, ,474 0,816-0,061-0, ,317-0,353 1,454-0, ,431 0,136 1,249 0,674 Graphique des individus 9-0,571-2,386-0,413 0, ,166 0,082 0,069 0,566

28 Projection des individus Contribution absolue dans le plan : 1 / 2

29 Projection des individus Contribution absolue dans le plan : 1 / 3

30 Fournit la qualité de la représentation de chaque individus Contribution sur l axe des individus à la variance selon les axes : permet de repérer les individus les plus important au niveau de chaque axe N Axe 1 Cont (%) Cos² θ Axe 2 Cont (%) Cos² θ ,638 29,114 0,859 0,203 0,549-1,943 15,797 0,915 0,358 1,707 Individu 1 est prépondérant dans la définition de l axe 1-1,442 8,700 0,628 0,803 8,584 2,083 18,148 0,745-0,078 0,082 0,987 4,072 0,785 0,420 2,352 1,474 9,084 1,317 7,254 0,690 0,419 0,816-0,353 8,883 Mauvaise représentation 1,664-0,431 0,778 0,084 0,136 0,245-0,571 1,364 0,053-2,386 75,846 1,166 5,688 0,804 0,082 0,089 0,005 0,031 0,195 0,001 0,142 0,212 0,030 0,008 0,919 0,004

31 N Axe 3 Cont (%) Cos² θ Axe 4 Cont (%) Cos² θ 1 0,104 0,185 0,001-1,044 39,756 0, ,316 1,704 0,024 0,350 4,452 0, ,591 5,972 0,105 0,486 8,615 0, ,201 24,673 0,248-0,192 1,343 0, ,296 1,498 0,071 0,053 0,102 0, ,061 0,064 0,001-0,555 11,209 0, ,454 36,188 0,511-0,409 6,097 0, ,249 26,715 0,703 0,674 16,564 0, ,413 2,917 0,028 0,071 0,185 0, ,069 0,082 0,003 0,566 11,676 0,189

32 ACP : interprétation Les points individus sont représentés sur le mapping en fonction de leurs coordonnées sur les axes factoriels. Les points proches correspondent à des individus ayant des profils proches. Les points variables sont également représentés mais de manière indépendante des individus. Leur représentation indique leur corrélation avec les axes factoriels, à l intérieur d un cercle de rayon 1. Ces points variables renseignent sur le sens à donner aux axes. Les angles inter-variables renseignent sur les corrélations entre elles.

33 ACP : interprétation Si les variables forment un angle faible alors elles sont corrélées Si les variables forment un angle proche de 180 alors elles sont anti-corrélées Si les variables sont perpendiculaires alors elles sont non corrélées On ne comparera des points entre eux que si ils sont proches de la circonférence du cercle

35 ACP interprétation : RMN Parmesan Zoom de l aperçu des spectres

36 ACP interprétation : RMN Parmesan 24 mois 1 5,3E5 2 5,2E ,3E3 variables mois 2,9E5 2,9E5 1,2E4 18 mois 2,3E5 2,3E5 6,2E3 18 mois 4,8E5 4,8E5 3,1E3 12 mois 12 mois 4,3E5 2,8E5 4,3E5 2,8E5 1,0E4 1,3E4 51 échantillons 8 mois 2,1E5 2,1E5 8,5E3 8 mois 2,9E5 2,9E5 3,4E3 4 mois 2,0E5 1,9E5 1,9E3 4 mois 2,3E5 2,2E5 1,0E4

37 ACP interprétation : RMN Parmesan Les résultats obtenus sont issus d observations visuelles 0 classe spectres recalés"

38 ACP interprétation : RMN Parmesan 4 classes spectres recalés+log+dérivée seconde+anova"

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