Intégrales généralisées ou impropres

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1 ECS, Eercices chapire 7 Ocobre Inégrales généralisées ou impropres Convergence e calculs Voici oue une série d eercices avec des inégrales généralisées.. Il fau repérer les poins qui posen problème avec le domaine de coninuié de la foncion à inégrer. Ceraines inégrales son vraimen impropres, d aures son faussemen impropres : on doi vie repérer le ype de problème, soi il y a possibilié de prolongemen par coninuié fausse IG, soi il s agi vraimen d une inégrale impropre par eemple, il y a une limie infinie. Si l une des bornes es+ ou, il y a oujours un problème de convergence.. Pour calculer une inégrale impropre, on calcule une inégrale propre e on passe à la limie. On se ramène pour cela à des inégrales sur des inervalles[,b] ou[a,] ou[, ] avec, ou élémens de]a,b[ e on passe à la limie lorsqueou end versa, ou lorsqueou end versb. On dispose des echniques classiques de linéarisaion, inégraions par paries ou changemens de variables. L eisence de limies finies jusifie la convergence. On a donné en cours quelques siuaions ou l eisence de ces limies finies perme d accélérer les calculs de linéarisaion, inégraions par paries ou changemen de variables. 3. L éude de la convergence se fai à l aide des héorèmes de comparaisons e équivalens, ou crière de Riemann. Elle n es pas indispensable, si le calcul de l inégrale e le passage à la limie ne pose pas problème. Si ces calculs eacs son impossibles c es rès fréquen, les quesions de convergence son essenielles. Eercice Des calculs simples, d inégrales qui convergen ou divergen CalculerA= e ;B= G= e ln ;H= e ;C= ln ;I= d + ;D= d;j=.; E= + ++ d;k= Rép.A= ;B=;C=;D=;E= 6 ;F = n+ k= k ;G,H,K,Ldivergen;I= Eercice Crières de convergence. Vérifier que les inégrales qui suiven son faussemen impropres : A= n+ ;B= e ln ;C= e ;D= ln ;E= cos.. Éudier la convergence des inégrales qui suiven : F = ln ;G= ln ;H= sin ;I= 3. Éudier la convergence del= coslnand; M = d ; F = n+ +3 ; cos ;L= an. an d;j= e ;K= ln e. + 3d;N = sin. Rép.F diverge en ;Gdiv en + ;H cvge en e+ ;I cvge en, div en ; J div en, div en + ;K cvg en e + ;Lcvg en e en ;M cvg en e+ :N cvge. 3 Eercice Calculs d inégrales avec des inégraions par paries. CalculerL= ln;m = e ;N= sine en = cose. Éudier la suie d inégralesi n e évalueri n oùi n = lnn Inégrer par paries le produi ln n. 3. CalculerJ k = sink sin Calculer d abordj,j, éablir une relaion de récurrence enrej k ej k+. Rép :L= 7 4 ;M =;N= ;N = ;I n= n n!; J k+ J k = cosk+,j p+= ej =, sip,j p = p k k= k+ 4 Eercice Calculs d inégrales avec des changemens de variables. CalculerA= 4. CalculerB= 3. CalculerC= 4. CalculerD= 5. CalculerE= an ; puisa = 4 an 3 poseru=sin. d e + Chercher des primiives de e e + e e + ou poseru=e e linéariser à l aide du changemen de variable= u. puisd = + à l aide du changemen de variable= u. à l aide du changemen de variable=cosu+ouv= 6. A l aide du changemen de variableu= dans l inégrale Luc Bouier, Lycée Camille Verne, Valence. +, démonrer que R,arcan+arcan =.

2 ECS, Eercices chapire 7 Inégrales généralisées ou impropres 7. a. CalculerH= b. Transformer l inégraleh = + à l aide du changemen de variable=anu. + + n en posanu= e démonrer queh = 8. CalculerK= e + sachan que e =, inégrale de Gauss Poseru=. Quel changemen de variable permerai de calculerk = +4 e? Rép.A= ln;a = ln;b=ln;c=;d= ;D = 94 5 ;E=; H= ;H = 4 ;K= e;k =e 4 en posan+= u 5 Eercice Inégrales de Berrand :I α,β = β ln α α,β R+.. Éudier la convergence dei α,β lorsque : i-β>; ii-β ],[. Indicaion : α R +, ε R +, ln α =o + ε. +.. Le casβ= pose problème : déerminer une primiive de ln α sur], [, e en déduire quei α, converge siα>. Rép.. on encadre ln α ε, sur un inervalle[a ε,+ [ ce qui suffi pour conclure en choisissanε pei.. ln α = α ln α siα, e ln =ln ln 6 Eercice Calcul d une inégralem= 5 4 Démonrer quem = 5 4 =4 5+ln avec le changemen de variableu=f= On vérifiera quef es bien coninue sricemen monoone, de réciproque :f :u = u u 4. On peu inégrer par paries u, e linéariser : du= + 4 u 4 du= + u u+ du. 7 Eercice Comparaisons d inégrales par changemen de variables. Soiaun réel sricemen posiif. A l aide d un changemen de variable, comparer les inégrales : I a = a ln + d ej a = a ln + d. Peu-on en déduire ln + d=?. A l aide du changemen de variable= u, e de la quesion précédene, éudierh= Rép.I a = J a, si ça converge, ln + d=;h= ln 8 Eercice L inégralej a,b = cosae b Démonrer que, a,b R +, l inégralej a,b converge, e quej a,b = b a +b inégrer par paries. 9 Eercice Les inégralesi= ln el a,b=. a. Éudier la convergence de l inégralei= e a e b b. A l aide d un changemen de variable, monrer quei= c. Démonrer que ],[, ln. Si ],[, on posei= ln ln ln = ln =ln, e en déduire : ln I ln. d. Démonrer que lim I= ln =ln.. a. Soia,b des nombres réels sricemen posiifs. Monrer que l inégralel a,b = b. Eablir que pour>,l a,b = c. Démonrer que sia<b,>,e b ln b a e a e b d. En posan un changemen de variable=lnu, démonrer quei= 4. lnu +u du. ln. e a e b converge. = e a e b. La,b e a ln b a. En déduire la valeur dela,b. u lnu du=l,. Eercice Les inégralesh n,p = n ln p d, ek n,p = e n p, pourn,p eniers naurels. a. Éudier la convergence des inégralesh n,p. On peu si nécessaire uiliser le crière de Riemann!. b. Calculer d abordh,,h n,, puis éablir une relaion de récurrence enreh n,p eh n,p e calculer pour finirh n,p en foncion dene dep. On rouve :H n,p = p p! n+ p+. a. Éudier la convergence dek n,p. A l aide d un changemen de variable, monrer que :K n,p = n p+ K,p. Luc Bouier, Lycée Camille Verne, Valence.

3 ECS, Eercices chapire 7 Inégrales généralisées ou impropres 3 b. Éablir une relaion de récurrence enrek,p ek,p e calculerk,p on rouvek,p =p! c. On peu aussi procéder par inégraion par paries : vérifier quek n,p = p n K n,p. Rerouver ensuiek n,p. d. A l aide d un changemen de variable, démonrer queh n,p = p K n+,p. Eercice Inégrale impropre e série. Monrer que l inégrale définie pourn N, pari n = n+ ln eise.. a. Démonrer que la fonciong: 3 ln es bornée sur],[. b. En déduire que sim =sup g en, alors I n M 3. Calculer pourp N, p k= Rép.. C es une fausse I.G. n. k, p ln, en déduire quei n = + coninuié sur[,], donc bornée. On encadre n+ 3. p ln= e p p+ k= k+n+..sans dériver, on peu dire que 3 ln es coninue sur],[ e prolongeable par ln n M e on inègre k= n+p ln= p p end vers + Foncions ou suies définies par des inégrales impropres Eercice L inégralei= ln d.. On pose pour ],[,f= ln k=. Vérifier que la foncionf es bornée.. Démonrer que pour ou enier n, I = fd = n convergence de oues ces inégrales. 3. Calculer k lnd. Monrer que la suie k= = n n+p+ k+n+ ln=i n I n+p+...e k lnd+ n fd après avoir conrôlé la n fd converge vers. 4. En déduire quei= fd= + 8 en uilisan la somme de la série+ k = 6. k= 3 Eercice La foncion sin. A l aide d une inégraion par paries, monrer que pour ou>l inégrale On démonrera au passage que sin = cos +. On noef sa valeur.. Toujours à l aide d inégraions par paries, éablir la relaionf= 3. En déduire quef es bornée surr +. Rép. si, f 4. Déerminer lim + f. Déerminer enfin sin es convergene. + + f+., e si ],] voir.. lim f. Rép. on rouve lim f== lim f Eercice Une suie d inégrales généralisées, pourn Non pose :J n = e sin n d.. Monrer quej n eise. Que vauj?. a. Pourn N, à l aide d inégraions par paries, déerminer une relaion de récurrence enrej n ej n, e en déduire une epression dej n en foncion den. On rouvej n =nn J n 4n J n... b. Monrer que la suiej n n N es monoone. En déduire que cee suie es convergene. 3. a. Déerminer la naure de la série de erme généralln. On rouve que ln b. En déduire la limie de la suiej n n N. 5 Eercice La foncion e kk 4k + kk 4k +. Pour quelles valeurs du réelposiif ou nul, l inégrale e eise--elle? On noe D l ensemble de ces valeurs e f la valeur de cee inégrale pour apparenan à D.. a. Monrer que la foncionf es de classe infinie surd. Luc Bouier, Lycée Camille Verne, Valence diverge vers -

4 ECS, Eercices chapire 7 Inégrales généralisées ou impropres 4 b. Calculerf e en déduire les variaions de la foncionf. Préciser les limies def en e+. 3. a. Avec une inégraion par paries, éablir la double inégalié : D, e f e b. En déduire un équivalen simple def quandend vers+. 4. a. Monrer l eisence, pour ou réelde l inervalle],[, de l inégrale :g= e e b. Déerminer la limie lim e en déduire l eisence de la limie deg quandend vers. c. En déduire que f ln quand end vers e donner l allure de la courbe représenaive de f. 6 Eercice Une aure suie d inégrales, on pose pour ou enier naureli n =. Eudier la converge de cee inégrale. + 4 n. Jusifier le fai que la suiei n converge. On ne demande pas de calculer de limie ici. 3. Démonrer quei n I n+ = 4n I n. En déduire l epression dei n en foncion dei 4. Déerminer la naure de la série ln 4n 4n. En déduire la limie de la suiein. Remarque : le calcul dei = + + peu se faire en décomposan : } 4 + = e en uilisan oues les echniques indiquées dans le chapire 5 eercice 4, c es long e pas au programme ECS! On rouvei = 4 7 Eercice Foncions définies par des inégrales généralisées. n désigne un enier naurel edésigne un réel donné : démonrer que les inégrales généralisées n e, n e cos e n e sin son oues [absolumen] convergenes. On pose désormais :F= e cos eg= e sin. On donne : e =.. Démonrer que pour ou réel,g= F. 3. a. Soien,h R, R + ; démonrer quecos+h=cos hsin +h +h ucosudu, e que +h +h ucosudu h b. En déduire que pour ou réel, e ou réel non nulh:. F+h F h +G c. Démonrer quef es dérivable surre que pour ou réel,f = G. 4. Calculer en foncion du réel,f eg. Rép.F= e 4 h 8 Eercice On considère la fonciong: e, on noec sa courbe représenaive e.. Donner le domaine définiion de la fonciong: es-ce],+[ ou],+ [? Quelle es la dérivée deg?. Quels son les poins d infleion dec? CalculerlimG. Uiliser + <e. TracerC. 9 Eercice Calcul d inégrale généralisée à l aide de la formule de Taylor. a. Pour [,[, on poseh= ln. Vérifier que pourp N, [,[,h p = p! p. b. Soi [,[,fié : quel es le maimum de la foncionφ: sur[,]? En déduire que sih p = hp+ p p! alors H p p ln.. Démonrer que la foncion g=ln ln es bornée sur l inervalle],[. 3. a. Jusifier la convergence de l inégralej= ln ln d. b. Pourn N, vérifier que l inégralei n = n ln n+ d vau. En déduire quej= + n+n+ Eercice Soif:R + Rune foncion non ideniquemen nulle, coninue e périodique de périodet >. On noe : R + F= f e M= T T f. Éudier la convergence de la série de erme généralu k = k+t kt. On supposem : monrer quef M. L inégralei= + T Luc Bouier, Lycée Camille Verne, Valence. f k f es-elle convergene? n= n+n+.

5 ECS, Eercices chapire 7 Inégrales généralisées ou impropres 5 3. On supposem =. Monrer que l inégralei= T Eercice Un morphisme der n [X] f es convergene mais non absolumen convergene. n es un enier supérieur ou égal à ;E es l espace vecoriel des foncions polynômes de degré inférieur ou égal àn, e sa base canonique es la basep,p,...,p n elle que : pourk [..n],p k es la foncion polynôme k.. a. Démonrer que, pourk [..n], l inégrale P ke es convergene. b. En déduire que sif E, on peu définir une foncion derdansr,g: e fe. On poself=g. c. CalculerLP,LP,LP. d. Démonrer que, sik {,...,n },LP k+ =P k+ k+lp k, e en déduire :LP k = k k! k j= j j! P j.. a. Vérifier que sif apparien àe alorslf apparien àe e en déduire que l applicaionles un endomorphisme dee. Donner la maricem de l endomorphismef dans la basep,p,...,p n. b. A l aide de.c-, démonrer quem es inversible e préciserm. Quelques eemples inéressans du poin de vue héorique Eercice Calcul des inégralesi= ep On pose f= d e valeurγ ep + + e g= ep +.. a. Sans chercher à calculer ces inégrales, calculerf. b. Démonrer que : R +, 4 e f 4 e. En déduire la limie def en+.. Éude de la dérivabilié def, e calcul de sa dérivée : a. Soi α un réel posiif. En uilisan l inégalié de Taylor, e un majoran du rese inégral, démonrer que pour h apparenan à[,], on a : ep αh +αh α h epα. b. En déduire que R, h [,] on a f+h f+hg h 3 ep. c. Démonrer alors quef es dérivable, e eprimer sa dérivée à l aide de la fonciong. 3. On considère la foncionφdéfinie surrpar l égalié :φ=f a. Démonrer que la dérivéeφ de la foncionφ,es nulle surr. + ep. b. Calculerφ, e en déduire l epression deφ. c. En éudian la limie en+ deφ, démonrer que + ep = e quei= 4. La foncionγes définie par :Γ= e. a. Avec un changemen de variable, démonrer queγ b. En déduire p N, Γ p+ = p! 4 p p!. + = ep u du La foncionγ La courbe d équaiony=e 3 Eercice Éude de la foncion Gamma définie parγ= e. Domaine de définiion : démonrer que l inégraleγ converge pour ou réelsricemen posiif.. Propriéé foncionnelle, valeurs pariculières e valeurs limies : a. Démonrer, à l aide d une inégraion par paries queγ+=γ. b. CalculerΓ. En déduire que : n N, Γn=n! c. Limie en : démonrer que e e, en déduire lim Γ=+. d. Limie en+ : démonrer que e e, en déduire Luc Bouier, Lycée Camille Verne, Valence lim Γ=+. +

6 ECS, Eercices chapire 7 Inégrales généralisées ou impropres 6 3. a. Sens de variaion : on poseh = e eh = e : démonrer queh es une foncion décroissane eh es croissane. Le sens de variaion deγ=h +H n a rien d éviden. cf. 4. b. Coninuié : soi R +, ehun élémen de l inervalle ],[ ],[ on aura donc oujours+h> > On noeφla foncion définie par : h. Soiα ],[ on pose :K α = α e Soi [,+ [ : démonrer queh ],[ φ = h h h. En déduire que H +h H h H + e queh es coninue surr +. Soiα ],[ e [α,[, démonrer qu on peu majorer : φ h α h h α. En déduire queh ],[ K α +h K α h α K α e quek α es coninue surr +. Éablir ε>, α ε ],[ el que H Kαε = αε e <ε. cf. convergence de l inégraleh ε eα ε éan ainsi choisis, éablir : α ε e < α ε e <ε e α ε +h e <ε. Synhèse : démonrer que ε R +, Γ+h Γ h H ++α ε K αε +ε, e en déduire que Γ es coninue surr + 4. Dérivabilié : on démonre mais pas en ECS queγesc surr + e queγ r = ln r e. On ne sai pas écrire plus simplemen ces dérivées.γ es oujours sricemen posiive, doncγes convee,γ change une seule fois de signe,γ décroi jusqu à un mlinimum puis croi[sricemen] 4 Eercice Une inégrale semi-convergene, l inégrale de Dirichle. a. Monrer que l inégralej= cos converge. sin b. Démonrer que les inégrales sin e sin convergen. Pour cee deuième inégrale, démonrer qu on peu se ramener grâce à une inégraion par paries, à l inégralej. c. En déduire l eisence d un réell= sin.. Démonrer que k N, k+ k+ sin k. En déduire que l inégrale sin diverge. k 3. Avec le changemen de variableu=e calculerh= sine. On rouvek=l = 4. Avec le changemen de variableu= e une inégraion par paries, monrer quel= sin sin. Remarque : l inégraleh converge, alors que la foncion sine n a pas de limie en+. C es une différence noable avec les séries : pour qu une série converge, il fau que son erme général ende vers, il n es pas nécessaire que la foncion ai une limie nulle en+ pour que l inégrale généralisée en+ converge! y= sin y=sine 5. Soia,b R,g C [a,b],r. Avec une inégraion par paries démonrer que lim n y=sin b a gsinn=. 6. On considère la foncionh n, définie pourn N par:h n =n e ],],h n = sinn sin cos. a. Jusifier l eisence de l inégralej n = h n à parir d une éude de la coninuié deh n. n b. Démonrer que :sin cosk =sin n+ +sin. k= c. En déduire ],], n N,h n = n k= cosk +cosn e quejn= h n=. 7. On considère les foncionsf n, n N définies par :f n =n e ],],f n = sinn. a. La fonciong es définie parg= e ],],g= cos sin : monrer queg esc sur[,]. b. Jusifier l eisence dek n = f n e démonrer que lim n + J n K n =. c. A l aide du changemen de variableu=n dans le calcul dek n, démonrer quel= Luc Bouier, Lycée Camille Verne, Valence. sin =.