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1 M 2 Dynamique Bac pro - Faire l inventaire des forces agissant sur un système - Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un solide en translation, à un solide en rotation. - Calculer un moment d inertie. 1 Définitions : Dynamique de translation : Principe de l inertie : première loi de Newton Quand un solide (dans un référentiel galiléen) n est soumis à aucune force ou à un système de forces extérieures tel que = (cas ou les forces se compensent). - si il est au repos, le solide reste au repos (v = 0) - Si il est en mouvement, ce mouvement est rectiligne uniforme (v = constante). Principe fondamentale de la dynamique : deuxième loi de Newton Quand un solide de masse m (dans un référentiel galiléen) est en mouvement, la somme vectorielle des forces extérieures qu il subit est égale au produit de sa masse m par l accélération : = m. sont les forces appliquées au solide en N m est la masse du solide en kg est l accélération du centre d inertie (G) du solide, elle se mesure en m/s² Pour pouvoir appliquer cette relation il faut : - Définir le référentiel et le système étudié - Faire le bilan des forces extérieures appliquées au système - Représenter les forces (direction, sens, point d application, intensité) - Projeter cette relation dans un repère en choisissant l origine judicieusement - Déduire une forme algébrique de la relation Dynamique de rotation : Calcul du moment d inertie J Le moment d inertie d un solide en rotation caractérise la résistance du solide à toute variation de sa vitesse angulaire. Il dépend de la forme et de la masse du solide : - Cylindre plein homogène : J =. m.r² - Jante ou couronne (anneau) : J = m.r² m masse en kg R, rayon en m M2 Dynamique Laplace CAEN - 1

2 Inertie en rotation Si M = 0 : - Soit le solide est immobile et donc sa vitesse angulaire = O - Soit le solide est animé d un mouvement de rotation uniforme, = constante. (Si M et ont même signe, le mouvement est uniformément accéléré, sinon le mouvement est uniformément décéléré) Principe de la dynamique de rotation La somme algébrique des moments M des forces appliquées à un solide en rotation est égale au produit du moment d inertie J du solide par la valeur de l accélération angulaire α : M, moment en N.m α accélération angulaire en rad/s² = J.α Quand les moments des forces tendent à faire tourner le système dans le sens de rotation, ils sont positifs et dits moteurs, sinon ils sont négatifs et dits résistants. 2 Exercices du livre : 1 QCM : - Question 1 : lorsque la somme des forces appliquée à un solide est nulle, ce solide peut-être immobile (A) ou animé d un mouvement rectiligne uniforme (C) - Question 2 : Dans la relation F = m.a. m est la masse du solide exprimée en kg (A) et a est l accélération exprimée en m/s² (B) - Question 3 : Le centre d inertie G du mobile a un mouvement uniformément accéléré dans le cas ou la somme des forces, l accélération et le déplacement sont dans le même sens (A). - Question 4 : Dans la relation M = J. α. J représente le moment d inertie (A), α représente l accélération angulaire (B) - Question 5 : Le cylindre qui possède le plus grand moment d inertie est pour un cylindre plein J =. m.r². J A =. 1.(2R)² = 2 R² tandis que J B =. 2.(R)² = R² et que J C =. 1.(R)² =.R². La bonne réponse est A. M2 Dynamique Laplace CAEN - 2

3 2 Deuxième loi de Newton : a) Schéma de la situation y x -P.sin 45 -P.cos sin 45 = cos 45 = b) Relation fondamentale de la dynamique : = m. = + c) Les projections sur les axes : Ecriture des coordonnées des différents vecteurs : ( - a ; 0 ) ; ( x P ; y P ) soit ( - m.g.sin 45 ; - m.g.cos45 ) ; ( O ; R ) Application de la formule sur l axe des abscisses : - m. a = - m.g. sin soit m.a = m.g. donc a =.g 0 Le skieur subit une accélération puisque le vecteur nulles. à des coordonnées non d) Calcul de l intensité de a =.g = 6, donc a = 6,9 m/s² à 1/10 près. 3 Apprendre à résoudre : On connaît m = 1050 kg, et a = 4,2 m/s². Le mouvement est un mouvement rectiligne uniformément accéléré (accélération constante), il faut donc appliquer le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton ) : = m.. Recherche de la force F. a) Sur l axe horizontal : F = ma donc F = 1050 x 4,2 = 4410 donc F = 4410 N b) On écrit les équations horaires dans le cas d un mouvement rectiligne uniformément accéléré, et on applique les valeurs connues : M2 Dynamique Laplace CAEN - 3

4 x = ½.a.t² + v 0.t + x 0 ; v = a.t + v 0 ; a = constante x = ½.4,2.t² ; v = 4,2.t ; a = 4,2 m/s² Si t = 3s, alors x = ½.4,2.t² = 18,9 soit 18,9 m parcourus v = 4,2.t = 12,6 soit une vitesse de 12,6 m/s 4 Dynamique du mouvement de rotation : = J.α M, moment en N.m α accélération angulaire en rad/s² 5 Calculer le moment d inertie : a) Pour un cylindre homogène : J =. m.r² =. 8.0,10² = 0,04 soit J = 0,04 kg.m² b) Pour une jante : J = m.r² = 0,4 x 0,34² = 0,04624 soit J = 0,046 kg.m² à 1/100 près 6 Lame de scie circulaire : Un disque circulaire est assimilé à un cylindre homogène donc J =. m.r² =. 2,6.0,15² = 0,02925 donc J = 0,029 kg.m² à 10-3 près. 7 Sciage dans une carrière : a) Moment d inertie du volant (anneau) J = m.r² = 140 x 1,5² = 315 donc J = 315 kg.m² b) Prenons le sens de rotation (sens des aiguilles d une montre) comme sens positif : Moment du couple de forces : M = - F.d = 200 x 3 = soit M = N.m (Rappel : dans le calcul du moment d un couple de forces, la distance d est la distance entre les axes des deux forces du couple, soit ici le diamètre!) Le moment est négatif, puisque le couple de force est en sens inverse de la rotation, en effet ce couple de force à pour objet de freiner le volant. c) Principe de la dynamique du mouvement de rotation : = J.α ici M = J.α M, moment en N.m,, α accélération angulaire en rad/s² On cherche l accélération angulaire : α = = = - 1, α = - 1,9 rad/s² à 1/10 près. Cette accélération est négative puisque c est une décélération (freinage). M2 Dynamique Laplace CAEN - 4

5 8 Démarrage d un moteur : Mouvement rectiligne uniformément accéléré d un cylindre homogène (mouvement circulaire). Fréquence nominale de rotation 4000 tr/min en 5 s. a) Calcul du moment d inertie : J =. m.r² =. 7,5.0,09² = 0, soit J = 0,03 kg.m² à 1/100 près. b) Calcul de la vitesse angulaire qui se mesure en rad/s : = 2.π.n = 2.π. = 418,8790 donc = 419 rad/s à l unité près. (remarque : la fréquence de rotation est en tr/s et la formule = 2.π.n est dans le cours M1). c) Calcul de l accélération angulaire α : Dans un mouvement circulaire uniformément varié, les équations horaires sont les suivantes : θ =1/2 α.t² + 0.t + θ 0 alors = α.t + 0 et α = cste. On connaît et t et on cherche α, donc α = = = 83,8 α = 83,8 rad/s² d) Calcul du moment du couple : = J.α soit ici M = J.α = 0,03 x 83,8 = 2,514 M = 2,514 N.m 9 Alternateur de centrale : a) Pour la phase 1, le nombre de tours par s (fréquence) augmente, donc la vitesse angulaire augmente aussi. L accélération sera constante, c est un mouvement circulaire uniformément accéléré. Pour la phase 2, le nombre de tours par s est constant, donc la vitesse angulaire est constante, l accélération est nulle, c est un mouvement circulaire uniforme. b) Pour la phase 1 : calcul de la vitesse angulaire A : la fréquence est de 50 trs/s au bout de 10 s (lecture sur le graphique), donc A = 2.π.n = 2.π.50 = 314,159.. soit A = 314 rad/s à l unité près. Pour la phase 2 : la fréquence de rotation est de 50 tr/s et le phase 2 à une durée de 20 s. Alors le nombre de tours effectués est N 2 =50 x 20 = 1000 donc N2 = 1000 tours. c) Calcul du moment d inertie J du rotor : J =. m.r² = ,6² = 810 soit J = 810 kg.m² d) Calcul de l énergie cinétique : E c =. J. ² = x 810 x 314² = soit E c J = 40 MJ M2 Dynamique Laplace CAEN - 5

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