1 Séries et convergence

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1 Séries d élémets d u ev Classe de Spéciales MP par Emmauel AMIOT 7 septembre 26 Séries et covergece Les défiitios géérales qui sot doées ici das R ou C sot vraies das le cotexte d u espace vectoriel ormé, c est à dire l espace le plus gééral das lequel o sache additioer, multiplier par u ombre, et passer à la limite. C est d ailleurs le cotexte de otre programme. Mais e pratique o cosidérera presque exclusivemet des séries umériques, au mois das u premier temps.. Défiitio O révise les otios abordées e Sup. État doée ue suite (u ) (d élémets d u ev E), il arrive très souvet que l o ait à cosidérer la suite associée : s = u s = u + u... s = u u = s + u O parle alors de la série ( ) u. Nous verros des séries umériques, comme /3 + /5 / = ( ( ) ), des séries de matrices, et des séries de foctios, où le terme gééral u déped d ue variable 2 + x : par exemple ( x /! ). Ce cocept est preque aussi acie que celui de suite : le fameux Paradoxe de ZÉNON D ÉLÉE (ou paradoxe d Achille et la tortue ) met e doute la possibilité de faire la somme de l ifiité des termes d ue série géométrique. EXERCICE. Pourquoi Achille peut-il rattraper la tortue? PROPOSITION. Il y a bijectio etre l esemble des suites et celui des séries à valeurs das E. La suite associée à la série de terme gééral s est doée par u = s u = s s EXERCICE 2. Motrer que la correspodace etre les suites (u ) et (s ) est liéaire. Peut-o cosidérer sa matrice? so iverse? Il faut se souveir que la suite (s ) va coverger si et seulemet si la série ( (s s )) coverge : c est u procédé très courat (cf. ifra, costate d Euler et formule de Wallis) pour étudier ue suite que de se rameer à ue série..2 Covergece d ue série Il parait (trompeusemet) évidet de défiir la covergece de la série u : DÉFINITION. La série ( u ) coverge si, et seulemet si, la suite des sommes partielles (s ) = (u +...+u ) coverge. O écrit alors + l = u = u = lim + s = O dit das ce cas que la série ( + u ) est covergete (de somme u = l), sio elle est divergete. = CAS DES SÉRIES GÉOMÉTRIQUES. La série a coverge (pour a C) si et seulemet si a < comme o le voit sur la somme partielle s = a+ (le cas a = est vite vu). a

2 UNE SÉRIE TÉLESCOPIQUE. La série ( + ) coverge et sa somme est =, car ( + ) s = k(k + ) = ( k ) = k + + k= k= Noter la différece de otatio, utile à respecter au mois pour les débutats, etre la série (qui est la doée d ue ifiité de ombres), et sa somme (qui est u ombre). Il serait absurde que dire que 2 coverge, est-ce pas? Pourtat o lit souvet 2 coverge?... Ce serait comme de cofodre u relevé bacaire et le chiffre qui figure tout e bas (l état du compte). Reteez qu ue série est u programme : s:= ; :=; while true do (s := s + u() s++ ) alors que sa somme (quad elle existe, ce qui est pas toujours le cas!) est le résultat du programme... après u temps ifii. Aisi la série ( ) ( coverge, alors que l( + ( + ) )) diverge ( ) Pour les séries covergetes, et pour elles seulemet, o peut défiir le reste d ordre : R = l s = + k= u k u k = Il est parfois utile de oter que u = R R. E fait, cette otio cruciale de covergece a mis plusieurs siècles à se dégager clairemet! et il existe d autres défiitios de la covergece d ue série, qui permettet de doer ue valeur à certaies séries qui diverget au ses que ous avos défii. Il est pas du tout facile de cocevoir ce que sigifiet covergece et surtout divergece, comme le démotret les exemples suivats : La série diverge, aisi que la série harmoique + /2 + /3 + / / E revache, la série harmoique alterée k= + k=+ /2 + /3 / ( ) / +... = ( ) coverge! (sa somme vaut l 2). Diverger e sigifie pas forcémet diverger vers. C est la même chose pour les suites : par exemple les séries ( ) ou si(θ) diverget alors que leurs sommes partielles restet borées. À raisoer sur la somme d ue série... divergete, o peut très bie trouver sa valeur... Par exemple, si o défiit f = f =, f + = f + f la suite de FIBONACCI, il viet aisémet S = S = u k + S + S = = S d où 2S = S et S = alors que clairemet ( f ) diverge vers +! EXERCICE 3. Que peut o dire de la série ( u ) si la suite (u) est statioaire? EXERCICE 4. Démotrer les assertios sur la covergece des séries ci-dessus. EXERCICE 5. (5/2) Calculer fibo(x) = f x e précisat le rayo de covergece (effectuer ( x x 2 ) f(x)) et faire x = das le résultat. Qu e pesez-vous? = 2

3 .3 Propriétés des séries covergetes.3. Espace vectoriel des séries covergetes Comme pour les suites, la covergece a des propriétés de liéarité : PROPOSITION. L esemble des séries covergetes (à valeurs das E) est u espace vectoriel. Plus précisémet, si u et v coverget, si λ, µ sot des scalaires, alors la série λ.u + µ.v coverge, et sa somme vaut λ.u + µ.v = λ u + µ v Démostratio : o passe aux sommes partielles. Il importe de remarquer la propriété (égative) suivate : PROPOSITION. Si u coverge et v diverge, alors (u + v ) diverge. O l emploiera très souvet pour prouver la divergece d ue série. Plus gééralemet, o a CV+CV = CV, CV + DV = DV, DV + DV = importe quoi. EXERCICE 6. Motrer à l aide des exercices précédets que la série ( ) diverge. 2 + Attetio, e calculez pas sur des sommes de séries... divergetes! O assure d abord la covergece de tous les objets cocerés ou, das le doute, o reviet aux sommes partielles. U exemple trouvé das ue copie il y a quelques d aées, qui trouve ue valeur ifiie à la costate d Euler! ( γ = l( + ) ) = l ( + ) (la fatale erreur est commise) = l( + ) + l = l( + ) + l( + ) (pour réidexer, c est plus clair) = l( + ) + l( + ) = = +!!!! (la coclusio est maiteat iéluctable...).3.2 Divergece grossière La propriété que ous allos établir motre l avatage de travailler sur des séries plutôt que sur des suites : certaies propriétés sot beaucoup plus évidetes. Celle-ci touche à u domaie critique, qui est la taille du terme gééral. O a vu avec les exemples doés qu elle est pas détermiate pour la covergece, mais il y a tout de même des limites à e pas dépasser : PROPOSITION. SI la série u coverge, ALORS u. SI u, ALORS la série u diverge. O parle das ce cas de divergece grossière. Exemple : la série ( )! est grossièremet divergete. = Démostratio. s l et doc s l d où u = s s l l =. REMARQUE. ATTENTION!!! ous avos doé ue coditio écessaire, mais pas suffisate, de covergece. Il sufit de se remémorer l exemple fodametal de la série harmoique. Pesez-y souvet. Cette erreur est très fréquete. Pour l éviter, il suffit pourtat de mémoriser : si le terme gééral ted vers, alors JE NE PEUX RIEN CONCLURE. 2 Séries de ombres réels O va s itéresser presque exclusivemet aux séries à termes positifs (sauf au derier paragraphe de cette sectio).. Ce qui empêcha pas Euler de calculer sa somme avec trois décimales par ue méthode umérique 3

4 2. Covergece des séries à termes positifs 2.. Critère de covergece Observos que, das ce cotexte, la suite (s ) des sommes partielles est ue suite (positive et) croissate de réels. O sait qu ue telle suite coverge ssi elle est majorée. D où : THÉORÈME. Pour que la série à termes positifs u coverge, il faut et il suffit que la suite des sommes partielles (s ) soit majorée. Alors o a u = lim sp = Sup s p p + p Il arrive que l o emploie ce théorème tel quel, mais il va surtout ous permettre d étudier la covergece de ombreuses séries par comparaiso à des séries de référece Séries classiques à termes positifs Traços deux droites (sécates) et des séries de poits A... A et B... B sur chacue telles que les (A i B i ) restet parallèles, aisi que les (B i A i+ ). Cette costructio explique le om de Séries géométriques Ce sot comme o le sait les séries u.r. Rappelos les expressios à coaître par cœur, pour r : + r + r r = r+ r O e déduit le critère de covergece d ue série géométrique : r p + r p r = rp r + PROPOSITION. Ue série géométrique de raiso r C coverge r <. E particulier, r = r ( ). REMARQUE 2. Cela se gééralise aussi à certaies algèbres. REMARQUE 3. E cas de covergece, o observe que le reste d ue série géométrique est ecore ue suite géométrique, de même raiso : R = r+. C est le cas le plus simple où la vitesse de covergece r soit géométrique. Séries de Riema Ce sot les séries de terme gééral, où s R+ est fixé. s PROPOSITION. La série coverge si et seulemet si s >. s O démotre ce critère importat e majorat ou miorat les sommes partielles par ue itégrale : dt t d où s s = u u Si s >, o a u = s de la série. Si s, o fait le cotraire : u = + dt s borée et la série diverge. t d où s s = u u + REMARQUE 4. Ce théorème cotiet la divergece de la série harmoique. EXERCICE 7. Adapter les calculs de la démostratio pour démotrer que l O va gééraliser cette démostratio et e faire u outil d étude des séries : 2..3 Comparaiso d ue série et d ue itégrale dt t s r dt t O e déduit la covergece s s et cette itégrale ted vers +, doc s est pas Il arrive très souvet que la suite (u ) puisse se prologer aux réels, ie o a u = f() où f est défiie e fait sur ], + [ (au mois). C est le cas pour les séries de RIEMANN, et plus gééralemet quad u est foctio explicite de. 4

5 Il est aturel de s iterroger sur le rapport etre les deux faços de sommer : f() et f(t) dt. Comme souvet, il y a pas de lie das le cas gééral mais u théorème utile das u cas particulier. Exemples : La série si π coverge ; l itégrale si(t) dt diverge. La série 3 coverge, et de plus p 3 2p 2 THÉORÈME 2. Soit f ue foctio cotiue par morceaux, positive, décroissate sur [, + [. Alors o a la covergece de la série de terme gééral w = f(t) dt f() E particulier, das ces hypothèses, la série f() coverge si et seulemet si f est itégrable sur [, + [. REMARQUE 5. Même si f est pas défiie e, cela marche quad même quitte à décaler les suites d u idice ou deux, ce qui e chage pas la covergece. p dt t 3 FIGURE ecadrer le terme gééral Démostratio. Tout tiet das la remarque suivate : etre et, f reste comprise etre f() et f( ). E coséquece, o a w f( ) f() Graphiquemet, cela sigifie que l aire de la courbe sur ce segmet est comprise etre deux rectagles (cf. figure). Aalytiquemet, (f( ) f()) coverge puisque f coverge e +. Doc w coverge 2 ; oter que pour l istat il y a aucue raiso pour que f tede vers! Les covergeces des séries f(t) dt et f() sot doc équivaletes. Il est pas toujours vrai que la covergece de la première soit équivalete à la covergece de ci-dessus ( si). C est éamois vrai das les hypothèses de ce théorème (f ) : Si l itégrale coverge, c est vers lim 2. Ces séries s appellet des séries télescopiques. f(t) dt et doc la série coverge. f(t) dt, comme le motre u exemple 5

6 Réciproquemet, si l), et doc coverge (forcémet vers l). Ce qui achève la démostratio. f(t) dt l alors c est que la foctio croissate x x f(t) dt reste borée (par La techique utilisat w est d ue grade importace pratique. Elle permet d ecadrer des sommes partielles de la série, même e cas de divergece, et même avec ue foctio croissate. E pratique, je vous coseille de TOUJOURS faire le dessi du graphe de f ecadré par des rectagles. EXERCICE 8. À l aide de cette techique, motrer que l 2. 2 p Doer u équivalet de S p = α, pour α R. UN CAS FAMEUX : LA FORMULE DE STIRLING. Essayos de trouver u équivalet de!. Il est aturel de predre le logarithme, qui fait apparaître ue série. Posos k = l! = + l l. Le théorème 2 ou plutôt ses techiques permettet d écrire + l = l t dt k l t dt = ( + ) l( + ) 2 Malheureusemet, il y a ecore trop de flou pour coclure : la taille de la fourchette est de l ordre de l. À ce stade, o peut faire ue étude umérique, et cojecturer que l! ( + /2) l ce qui est vrai mais e suffit bie sûr pas à doer u équivalet de! : au premier ordre, o a que l équivalece avec l. O peut faire ue étude umérique, ou viser au milieu de cette fourchette. Cosidéros doc ue foctio plus compliquée que l, e remplaçat k par s = k ( + 2 ) l + Alors s est la somme partielle d ue série de terme gééral s s = l ( + 2 ) l + + ( 2 ) l( ) = + ( 2 ) l( ) 2 2 Cette série est covergete (o peut même estimer so reste, équivalet à /2), ce qui sigifie que la suite (s ) coverge. E passat à l expoetielle, o e déduit que e s coverge vers ue limite l autremet dit que! l. ( ) e Il faut ecore détermier la costate l, ce que l o fait e gééral grâce aux itégrales de WALLIS (exercice). Elles permettet d établir l équivalet I 2 = π (2 )... = π (2)! π (!) 2 4 d où e ijectat la relatio ci-dessus l = 2π. Fialemet, o a démotré la formule de STIRLING : ( )! 2π e 2.2 Comparaisos des séries à termes positifs Maiteat qu o dispose de séries de référece, o peut espérer y comparer ue série icoue Théorème de domiatio THÉORÈME 3. Soiet (u ), (a ) des suites de réels positifs tels que (a ) domie (u ), i.e. que (u ) = O(a ) : alors la covergece de a etraîe celle de u. A fortiori cela reste vrai si u a ou u = o(a ). 6

7 Ne pas égliger la cotraposée de ce théorème : la divergece de u etraîe celle de a. E pratique o utilise le plus souvet ue forme plus faible mais commode car obteue par des DL : COROLLAIRE. Si u v sot des termes POSITIFS de séries, alors les deux séries u et v sot de même ature. Attetio à e pas écrire d abomiatios comme u v (ça veut dire quoi????) Démostratio. O a par hypothèse à partir d u certai rag l existece d ue costate A > telle que u A.a. O a doc u k = u k + k= k= u k (u k A.a k ) + A. a k (u k A.a k ) + A. + k= k= k= + a k k= doc toutes les sommes partielles de ( u ) sot majorées par ue même costate. CRITÈRE DE RIEMANN. E pratique, o va utiliser u critère de comparaiso aux séries de RIEMANN : PROPOSITION. Si α u ted vers (ou même reste boré) pour u α > alors u coverge. Très souvet o utilise α = 2 mais il y a des exceptios! FRACTIONS RATIONNELLES. Le théorème de domiatio ous doe La divergece de 2 +, qui domie. La covergece de , qui est domiée par. 2 DÉVELOPPEMENT DÉCIMAL ILLIMITÉ. U derier exemple : pour tout réel x o défiit so développemet décimal illimité de la faço suivate : DÉFINITION 2. La valeur décimale approchée par défaut à près de x R est x = c. De même la valeur approchée par excès est x = x +, et o a x x < x = x + Aisi, la valeur approchée à 2 près de π est 3,4 par défaut. O costate que x est la somme partielle d ue série x + r, où les r sot des chiffres (r N [, 9]). Cette série est covergete et sa somme partielle x ted vers x Sommatio des relatios de comparaiso THÉORÈME 4. Soiet deux suites (a ) et (b ) de réels positifs. O suppose que a coverge (i.e. que la famille (a ) est sommable) ; alors quad + : Si b = O(a ), alors b coverge et de plus b = O( a ). Si b = o(a ), alors b coverge et de plus b = o( a ). Si b a, alors b coverge et de plus b a. THÉORÈME 5. Si au cotraire a diverge, et si b a, d ue part o a la divergece de b, et d autre part (puisque cette divergece se fait vers + ) o a l équivalece cette fois des sommes partielles : N N b a Similairemet, N Si b = O(a ), alors b = O ( N ) a. N Si b = o(a ), alors b = o ( N ) a. 7

8 Par exemple, o trouve facilemet aisi que Similairemet, l ( + ) = l( + ) l k k= + 2 ( + ) ( + ) + ( + )( + 2) +... = E revache, ce théorème tombe pour des séries à termes o positifs. Par exemple, les séries ( ) + ( ) et ( ) + sot à termes gééraux équivalets mais pas de même ature (leur différece est ue série divergete). LEMME DE L ÉCHELLE. Das le cas de divergece, o a le joli résultat suivat : PROPOSITION. Si u + u l > alors u l. qui se démotre par applicatio du théorème 4 aux séries à termes positifs équivalets (u + u ) et l! EXERCICE 9. O pred u ], π[ et u + = si u. Motrer que u, puis e appliquat le lemme de l échelle à u 2 prouver que u Démostratio. Tout ceci se démotre de faço très semblable au théorème 3. La partie covergece des diverses propriétés est déjà établie par ailleurs, motros par exemple le poit le plus délicat, à savoir que si b a > et si a diverge alors les sommes partielles sot équivaletes : otos t = b + + b et s = a + + a. Soit ε > doé, o sait que a b ie que a b = o(a ) ce qui sigifie que pour plus grad qu u certai, o aura ( ε)a b ( + ε)a (c est ici que l o utilise le sige de a et de b!!!) Si l o pouvait sommer cette relatio de à, ce serait fii! mais elle est vraie que pour. N oublios pas le début de la somme, à savoir s et t. Sommos là où o e a le droit : il viet (pour ) ce qu o peut ecore écrire ( ε) k= + a k= + b ( + ε) k= + a ( ε)(s s ) (t t ) ( + ε)(s s ) O veut démotrer que s t, ce qui équivaut das le cotexte à motrer que t /s (comme s +, o a bie le droit de diviser par s ). Faisos apparaître cette quatité : ( ε)( s s ) t s t s ( + ε)( s s ) + ε O va maiteat utiliser le fait que s +, alors que les quatités idicées par sot fixes : doc (par exemple) s /s ted vers, doc est iférieur à ε pour assez grad. Avec u peu d élagage, o trouve que pour suffisammet grad, 2ε ( ε) 2 t s + 2ε 3. Ceci état vrai pour ε arbitrairemet petit, prouve bie que t /s ted vers. 8

9 DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE LA SÉRIE HARMONIQUE. O a subodoré, ou prouvé, que H = l. Étudios s = H l = l : u procédé fréquet cosiste à cosidérer s comme la somme partielle d ue série u, où u = s s = + l( ) l = + l( ) 2 2 Par le théorème sur les séries à termes positifs équivalets, u coverge. O e déduit u premier résultat : Il existe u réel γ (costate d EULER) tel que H = l + γ + o() Numériquemet, γ, De plus, o a vu que + 2 ( + ) , d où u = (s s ) = s N lim s = H N l N γ 2N >N >N ce qui prouve que H = l + γ o(/) Bie sûr, o peut itérer la maœuvre, e développat u + 2, etc Règle de d Alembert O a la recette très pratique et souvet mal employée : PROPOSITION (RÈGLE DE D ALEMBERT). Si (u ) N est ue suite strictemet positive et si la suite aexe r = u + ted vers ue limite l alors : u Si l <, la série u coverge. si l >, la série u diverge. Si l =, tout peut arriver (ex : séries de Riema). Démostratio. E effet, si l < o pred k ]l, [ : à partir d u certai rag N o aura r = u + k. u Par produit du rag N au rag, o trouve u u N.k N, o a domié par le terme gééral d ue série géométrique covergete ce qui prouve que ( ) u coverge. De même das l autre ses. Il est très importat de se souveir que cette coditio est suffisate, mais pas écessaire : exemple u = (3+( ) ). Elle e marche e fait que si l o a ue covergece presque comme ue série géométrique. EXERCICE. Motrer que si r l < alors il existe k < tel que le reste R = (la vitesse de covergece est géométrique). p=+ u p soit domié par k UNE SÉRIE ENTIÈRE. La série a2+ coverge, pour tout a. Comme o le verra très bietôt, o (2 + )! peut étedre partiellemet tous ces critères à des séries à termes o forcémet positifs. Remarque : e pas cofodre avec le théorème de D ALEMBER T! Le critère de D ALEMBER T e marche qu avec des séries que l o peut classer das l échelle des séries géométriques. Il sera doc très utile pour des séries avec des termes e x, digets séries etières. C est déjà bie, mais il y a de ombreux cas où il e peut s appliquer. À défaut o pourra comparer à des séries plus fies, comme celles de RIEMANN. 2.4 Théorème des séries alterées Nous ous doos u seul théorème das u cas très particulier de séries à termes o positifs. 9

10 DÉFINITION 3. Ue série de la forme ( ) u, u est dite alterée. Bie etedu, o pourrait décaler les siges d u cra sas embarras. Ue défiitio plus géérale mais mois pratique serait u u + <. Ex : ( )! Celle-ci est grossièremet divergete. THÉORÈME DES SÉRIES ALTERNÉES. Si ue série alterée ( ) u vérifie de plus [critère spécial] : La valeur absolue du terme gééral, u, décroît ; u ; alors la série coverge. De plus, le reste de la série est majoré par le premier terme égligé, et il a so sige, c est à dire que ( ) k u k k ( ) u = u ( ) R > Ce qui démotre par exemple la covergece de la série harmoique alterée, et plus gééralemet celle de toute série de la forme ( ), avec b >. b O utilise ce théorème Pour établir la covergece d ue série alterée, bie sûr, ou ecore pour majorer le reste (sachat déjà la série covergete). Démostratio. Pour ( ) u, o itroduit les sous-suites paires et impaires de s = u u +...+( ) u : a = s 2 = u u + u 2 + u 2 b = s 2+ = u u + u 2 u 2+ = a u 2+ Elles sot adjacetes, e effet : b, et a (o a b b = u 2 u 2+, idem pour a ) a b = u 2+ Doc elles coverget, vers ue même limite, et par u résultat classique (s ) aussi. Exemple : pour tout x [, ],la série ( ) x 2+ est alterée, et coverge car les hypothèses sot vérifiées. 2 + De plus, si o ote f(x) sa somme o a f(x) N ( ) x 2+ x2n N + 3 2N + 3 = O verra das le cours sur les séries de foctios que cela prouve la covergece uiforme de la série vers f sur [, ]. EXERCICE. Motrer que s = ( ) coverge grâce au théorème 6, puis que sa limite + est l 2, puis que la série de terme gééral l 2 s coverge (o pourra observer que x dx = + ). Ue autre forme de la secode partie de la coclusio : la somme de la série a le sige du premier terme. 3 Covergece absolue Les armes que ous avos trouvées das les cas très particuliers des séries à termes positifs vot maiteat ous servir das u cotexte plus gééral. 3. Critère de covergece absolue 3.. Le théorème fodametal Commeços par la DÉFINITION 4. Ue série umérique ( ) ( u ) est absolumet covergete quad u coverge (das R +). Plus gééralemet, ue série d u espace vectoriel ormé est absolumet covergete quad ( u ) coverge. O a doc trasféré u problème la covergece de la série das R +. Cela est efficace :

11 THÉORÈME 7. Das R ou C, et même das tout ev de dimesio fiie, toute série absolumet covergete est covergete. L importace pratique de ce théorème est cosidérable. Démostratio. ( ) Vue e sup : o pose u = u + u où u = u + + u, o a doc par majoratio les séries u + ( ) et u ( ) qui coverget et e repassat aux sommes partielles o trouve que u coverge. Pour la dimesio fiie, o motre que les séries des coordoées k emes coverget car (u ) k u et o e déduit par liéarité que la série vectorielle coverge. Remarquos que (par passage à la limite des sommes partielles) o a pour toute série absolumet covergete u u REMARQUE 6. Ce est pas ue raiso pour travailler sur la quatité u avat d avoir démotré qu elle a u ses! par exemple, la série ( ) est borée (toute somme partielle vérifie u ) N mais cela e la red pas covergete. O est rameé par ce théorème au cas des séries à termes réels positifs, qui est substatiellemet plus simple. O peut paraphraser alors les théorèmes de covergece, e gardat toujours la coditio de positivité pour la série de comparaiso : PROPOSITION. Soit (u ) ue suite à valeurs das E, domiée par la suite réelle positive a, ie o a u = O(a ). Alors la covergece de a etraîe celle de u. Pratiquemet, o utilise souvet le critère de RIEMANN (étude de α u ). PROPOSITION (CRITÈRE DE D ALEMBERT, LE RETOUR). Si la suite de terme gééral u + est bie défiie (à partir d u certai rag) et coverge vers ue u limite l, alors la série u coverge dès que l < diverge (grossièremet) dès que l >. La morale de ce critère (de covergece absolue) est la suivate : la première chose à faire pour tester la covergece d ue série doée est d essayer de majorer la valeur absolue (orme) du terme gééral. Nous avos pas fii d etedre cette atiee! Cocrètemet, o essaye de trouver a, suite coue, telle que u a ou u = O(a ) ou u a, avec a qui coverge. Si cela e marche pas, il est temps d essayer d autres méthodes (par exemple, voir si le théorème des séries alterées e s appliquerait pas). LA SÉRIE EXPONENTIELLE DANS C. La série z coverge pour tout z C (absolumet). Sa somme est par défiitio l expoetielle de z :! e z = exp(z) = z! Démostratio immédiate par D ALEMBER T. O verra que pour tous a, b C e a+b = e a.e b ce qui mèe vers la otatio d EULER z = r.e it. Mais o utilisera aussi, otammet pour les systèmes différetiels liéaires, l expoetielle d u edomorphisme (das l algèbre A = L(E)) ou de sa matrice (A = M (R)). REMARQUE 7. Tout ceci est ecore vrai das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie (e fait, das u BANACH).

12 3.2 U exemple difficile O désire coaître la ature de la série ( si( ) ). O peut essayer umériquemet... qu e pesez-vous?. Motrer que la série de terme gééral + f(t) dt f(), où o a posé f() = si( ) pour >, est ecore covergete. Pour cela o pourra observer que f(t) f() Sup f 3 [,+] 2 = O(/3/2 ). 2. Motrer que si( t) dt = 2 2 t + (vers π, icidemmet). 3. Coclure! si x x dx. O admettra que cette derière itervalle coverge quad 2