THEME : ANGLES ET PARALLELISME EXERCICES CORRIGES. Exercice 1 : Exercice 2 : Sur le schéma ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

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1 THEME : ANGLES ET PARALLELISME EXERCICES CORRIGES Exercice 1 : Calculer l angle ˆ C. ˆ A : ˆ A et xc ˆ y sont opposés par le sommet. A ˆ = xc ˆ y = 35 Dans le triangle C, la somme des angles est égale à 180. C ˆ = 180 ( BA ˆ C + ˆ A ) = 180 ( ) = = 70 C = 70 Exercice 2 : Sur le schéma ci-contre, les droites () et (CD) sont parallèles. Calculer les angles E ˆ, EBA, ˆ ADC ˆ, D ˆ et DEˆ C. ˆ B : ˆ B et BA ˆ D sont supplémentaires ( les points E, A et D sont alignés ) E ˆ = 180 BA ˆ D = = 70

2 ˆ B : ( autre façon plus rapide de rédiger ) EBA ˆ = 180 ˆ C = = 50 ( EB ˆ A et ˆ C sont supplémentaires ) AD ˆ B et AD ˆ C sont correspondants. Comme les droites () et (DC) sont parallèles (voir énoncé), ces angles ont même mesure. ˆ D : Les droites () et (DC) sont parallèles. EB ˆ A et ˆ D sont correspondants. donc ces angles ont même mesure. DE ADC ˆ = ˆ B = 70 ˆ D = EB ˆ A = 50 Dans le triangle EDC ( ou dans le triangle E ), la somme des angles est égale à 180. DEC ˆ = 180 ( ED ˆ C + DC ˆ E ) = 180 ( ) = = 60 Récapitulation : E ˆ = 70 ; EB ˆ A = 50 ; AD ˆ C = 70 ; ˆ D = 50 et DE ˆ C = 60 Exercice 3 : a) Tracer xo ˆ y un angle de 120, puis sa bissectrice [Oz]. b) Placer sur [Oz) un point A et sur [Oy) un point B tel que OA = OB. c) Calculer les angles du triangle O d) Prouver que la droite () et la demi-droite [Ox) sont parallèles. a)tracés d un angle et de sa bissectrice : cf. dessin b)tracés des points A et B : cf. dessin Confer, souvent abrégée «conf.» ou «c.f.» ou «cf.» dans les textes est une expression latine utilisée par un rédacteur pour inviter son lecteur à consulter un autre passage ou un autre ouvrage. Elle vient du verbe confero signifiant «rapprocher», «joindre», «réunir», dont elle est la forme à l'impératif présent. Elle peut donc se traduire en français par «se reporter à» ou «voir», ou dans un sens voisin par «comparer à». Ainsi «cf. dessin» signifie «Voir dessin» c)calcul des angles du triangle AÔB : Calcul de AÔB ( et de xôa ) : La demi-droite [Oz) est la bissectrice d e l angle xoy ˆ, donc : A OB ˆ = xoa ˆ = xoy ˆ :2 = 120 :2 = 60 Calcul de OÂB ( et de OB ˆ A ) : Comme OA = OB ( voir énoncé ), le triangle O est isocèle en O.

3 , comme dans un triangle isocèle, les angles à la base ont même mesure, nous avons : O ˆ = OBA ˆ = ( ) :2 = 120 :2 = 60 En conclusion, nous avons AOB ˆ = O ˆ = OBA ˆ = 60 ( Le triangle O est donc un triangle équilatéral ) d)la droite () et la demi-droite [Ox) sont-elles parallèles? BÂO et xôa sont alternes internes. De plus BÂO = 60 et xôa = 60 ( cf. question précédente ), donc BÂO = xôa. Les deux angles BÂO et xôa sont alternes internes et de même mesure, par conséquent, la droite () et la demi-droite [Ox) sont parallèles. () et [Ox) sont parallèles Exercice 4 : Les droites (xx ) et (yy ) sont-elles parallèles? ˆ y' : yb ˆ A et ˆ y' sont supplémentaires. ˆ y' = yb ˆ A = = 54 Les droites (xx ) et (yy ) sont-elles parallèles? xa ˆ B et ˆ y' sont des angles alternes-internes. xa ˆ B = ˆ y' = 54 donc les angles xa ˆ B et ˆ y' ont même mesure. les droites (xx ) et (yy ) sont parallèles. Les droites (xx ) et (yy ) sont parallèles. Exercice 5 : On considère deux cercles concentriques ( c est à dire deux cercles de même centre ). Soit O ce centre. A et B sont deux points du cercle C et M et N sont deux points du cercle C. Les points A, O et M sont alignés ainsi que les points B, O et N. a) Quelle est la nature du triangle O? du triangle ONM? b) Calculer les angles du triangle ONM. c) Calculer les angles du triangle O. d) Montrer que les droites () et (MN) sont parallèles. a)nature des triangles O et OMN : OA = OB ( rayons du cercle C ), donc le triangle O est isocèle en O

4 OM = ON ( rayons du cercle C ) donc le triangle OMN est isocèle en O b)calcul des angles du triangle OMN : MON ˆ = 110 ( voir énoncé ) Comme le triangle OMN est isocèle en O ( question a ), les angles à la base ont même mesure. Nous avons donc : OMN ˆ = ONM ˆ = ( MON ˆ ) :2 OMN ˆ = ONM ˆ = ( ) : 2 = 70 : 2 = 35 c)calcul des angles du triangle O : AOB ˆ et MOˆ N sont opposés par le sommet. : AOB ˆ = MO ˆ N = 110 De la même façon que précédemment, comme le triangle O est isocèle en O, nous avons : O ˆ = OBA ˆ = ( AOB ˆ ) :2 = ( ) :2 = 70 :2 = 35 d)les droites () et (MN) sont-elles parallèles? O ˆ et OMˆ N sont alternes internes et de même mesure ( O ˆ = OMN ˆ = 35 ), donc Les droites () et (MN) sont parallèles. Exercice 6 : On considère la figure ci-contre : Nous avons : Dans le triangle C, la somme des angles est égale à 180. A ˆ = ( BAC ˆ + ACB ˆ ) = ( ) = = 90 CB ˆ D : C BD ˆ = D ˆ - C ˆ = = 35 Les droites () et (ED) sont-elles parallèles? CB ˆ D et BD ˆ E sont des angles alternes internes. De plus ces deux angles ont même mesure (35 ) les droites () et (ED) sont parallèles. La droite () est-elle perpendiculaire à la droite (DE)? () (ED) ( question précédente ) BA ˆ C = 35 ; AC ˆ B = 55 ; D ˆ = 125 et BD ˆ E = 35 La droite () est-elle perpendiculaire à la droite (DE)? ( Aide : Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. )

5 () (AE ) ( ˆ C = 90 ) donc (ED) (AE) ( Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. ) La droite (AE) et la droite () sont confondues ( même droite ) (ED) ( ) La droite () est-elle perpendiculaire à la droite (DE) Exercice supplémentaire 1 : CD est un carré. Nous avons de plus AI = IB =. Calculer tous les angles de cette figure. Exercice supplémentaire 2 : Soit C un triangle. a)tracer la bissectrice de l angle BÂC. Elle coupe le segment [] en E. b)tracer la parallèle à la droite () passant par C. Elle coupe la droite (AE) en F. c)en utilisant certains angles, démontrer que CF = CA ( c est à dire démontrer que le triangle CAF est isocèle en C )