COMPORTEMENT ET PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS

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1 COMPORTEMENT ET PERFORMANCES DES SYSTEMES ASSERVIS - CARACTERISTIQUES D UN SYSTEME ASSERVI On conidère un ytème ervi, reréentble r le chém-bloc globl uivnt : H( S( ortie entrée Soumi, r exemle, à une entrée de tye échelon, on obtient une réone de ce tye : trnitoire ermnent Le comortement d un ytème ervi eut e définir r 3 crctéritique : l ridité (titude à tteindre en ortie une réone continûment comrie, r exemle, entre 95% et 5% de l réone finle) l tbilité (titude à tteindre en ortie une réone bornée our une entrée bornée) l réciion (titude à tteindre en ortie une réone correondnt à celle ttendue). À ce troi crctéritique, on eut en jouter une qutrième : l mortiement, titude à tteindre une réone finle n déement «exceif» de celle-ci lor de l he trnitoire. L ridité et l mortiement crctérient le comortement du ytème en régime trnitoire, tndi que l tbilité et l réciion crctérient on comortement en régime ermnent ou étbli. Ce qutre qulité ont en générl comtible ou ntgonite deux à deux. Comtibilité AMORTISSEMENT STABILITE ntgonime RAPIDITE PRECISION M Slette- Lycée Brizeux- Quimer Ce crctéritique de comortement d un ytème vont être influencée r diver élément du ytème ervi. On intéreer en rticulier à l intérêt d un bouclge dn le ytème l incidence du gin de l FT l exitence d une intégrtion dn un ytème bouclé ux ôle de l FTBF : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge ur Créé le 5//

2 - INTERET DU UCLAGE DANS UN SYSTEME ASSERVI A l origine, le ytème indutriel étient motorié. U( Afficheur Ditibuteur Convertieur Proceu S( On eut reréenter un tel ytème r une fonction de trnfert H(. H( S( Le bouclge conite à mettre en lce un cteur et à comrer ce qui et ttendu à ce qui et obtenu. S( Affi r + Ditibuteur Convertieur Proceu - Cteur Le cteur et l fficheur ynt même gin (et ouvent même fonction de trnfert), on eut reréenter le ytème bouclé r le chém uivnt : + - H( S( C où H( et une fonction du er ordre. H ( + T.. Arè bouclge, on obtient une nouvelle fonction de trnfert : S( ' T H '( vec ' et T ' + T '. + + On contte que : Le bouclge du ytème n modifié l ordre de celui-ci. Le gin diminué : en effet '. Il conviendr d introduire une correction du gin. + T L contnte de tem du ytème églement diminué, en effet, T ', donc le + tem de réone églement diminué (c du er ordre). Le bouclge du ytème ccru ridité. Qund et-il de l réciion? ε lim t + e( t) ( t) lim. ε ( lim.( S( ) ' ( ') + T '. lim. lim.. + T '. + T'. Si e(t) u(t) lor : ε '. + + En oumettnt un tel ytème vnt et rè bouclge à un échelon unitire, on obtient le réone uivnte (vec et T ) : : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge ur Créé le 5//

3 Réone du ytème non bouclé Donc un ytème du remier ordre bouclé n et réci. S réciion ugmente vec l vleur du gin en boucle ouverte. Réone du ytème bouclé Réone vec Concluion : le bouclge ne modifie l ordre, le bouclge modifié le gin, le bouclge ccru l ridité, un ytème du er ordre bouclé et fondmentlement imréci. On méliore réciion en ugmentnt le gin de l FT. H( et une fonction du nd ordre : H ( Arè bouclge, on obtient une nouvelle fonction de trnfert.. ξ + + ² ω ω² S( ' H '( vec '. ξ ' +, ξ ξ ' et ω ' ω ² + ω ' ω '² En oumettnt un tel ytème vnt et rè bouclge à un échelon unitire, on obtient le réone uivnte (vec, ξ et ω ) : Réone du ytème non bouclé Réone du ytème bouclé On retrouve le même concluion que récédemment : le bouclge n modifié l ordre du ytème, le bouclge modifié le gin, le bouclge ccru l ridité du ytème r une diminution du coefficient d mortiement, un ytème du nd ordre bouclé et lui ui imréci. Mi l réciion eut être méliorée en ugmentnt le gin de l FT. : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge 3 ur Créé le 5//

4 D une fçon générle, quelle que oit l fonction de trnfert conidérée, on bouclge r un retour unitire entrîne : une conervtion de l ordre du ytème une modifiction du gin qu il fudr éventuellement corriger en l ugmentnt our méliorer l réciion, une ugmenttion de l ridité. 3 - AMELIORATION DE LA PRECISION D UN SYSTEME ASSERVI On conidère un ytème à retour unitire uivnt : + S( H(. N( L FT et de l forme : H ( -, où le terme N( et D( ont de olynôme de l forme uivnte : N ( n n et D( + b + b b m m. Le terme en indique l exitence oible d une ou luieur intégrle. Cette mie en forme ermet de mettre en évidence, le gin globl de l FT :. N( L FTBF écrit donc : FTBF( H BF ( On intéree à l écrt ε(. Son exreion et : ε ( S(. [ H ( ] D où ε (.. D( L limite de ε(t) (dont l trnformée de Llce et ε() lorque t tend ver l infini crctérie l réciion. On étudie le ytème en le oumettnt à différente entrée. er c : l entrée et un échelon unitire : e(t) u(t) Donc. D où ε ( On elle «écrt ttique» ou «erreur de oition» l limite de ε(t) qund t tend ver l infini, et on note cet écrt ε. ε lim ε ( t) lim. ε ( lim t + ) Si lor ε ) + Si lor ε Si > lor ε. ème c : l entrée et une rme unitire : e(t) t.u(t) Donc E (. D où ε ( On elle «écrt dynmique» ou «erreur de trînge» l limite de ε(t) qund t tend ver l infini, et on note cet écrt εv. ε v lim ε ( t) lim. ε ( lim t + ) Si lor ε v Si lor ε v Si > lor ε. v ( ) ) : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge 4 ur Créé le 5// BF

5 3 ème c : l entrée et une ccélértion :. e ( t). t. u( t) 3 Donc E (. D où ε ( 3 On elle «erreur en ccélértion» l limite de ε(t) qund t tend ver l infini, et on note cet écrt ε. ε lim ε ( t) lim. ε ( lim t + ) Si lor Si lor Si lor ε ε.( +. N() ).. +. N() ( ) ε. D où le tbleu récitultif uivnt : e(t) écrt u(t) ε S + t.u(t) ε V (/).t.u(t) 3 ε Concluion : Un ytème ynt u moin une intégrtion dn l boucle ouverte oède un écrt ttique nul. Dn le c contrire, l écrt ttique diminue i le gin en boucle ouverte ugmente. Cette obervtion n et vrie que i le ytème n et oumi à une erturbtion. Dn le c d un ytème vec erturbtion, l erreur ttique er nulle our une entrée et une erturbtion en échelon i l intégrtion dn l FT et ituée en mont de l erturbtion (voir TD et TP). 4 - STABILITE D UN SYSTEME ASSERVI 4- - Définition de l tbilité. ère définition : Un ytème et tble i et eulement i à une entrée bornée correond une ortie bornée. ème définition : Un ytème et tble i et eulement i l réone libre (en l bence de toute conigne) du ytème tend ver zéro à l infini. 3 ère définition : Un ytème et tble i et eulement i fonction de trnfert en boucle fermée n que de ôle à rtie réelle négtive. L dernière définition et équivlente ux deux utre. C et elle qui ert de oint de dért à toute étude ur l tbilité d un ytème, quelle que oit l méthode utiliée. On citer ici troi méthode : : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge 5 ur Créé le 5//

6 Méthode mthémtique : clcul de ôle de l fonction de trnfert H(. Cette méthode, utrefoi longue r mnque de moyen de clcul, et à éviter. Méthode lgébrique : utilition du critère nlytique ou critère de Routh, Méthode grhique : utilition du critère grhique ou critère du rever vec liction dn le ln de Blck, de Nyquit ou ur le digrmme de Bode Critère de Routh. N( On conidère une fonction de trnfert H BF ( D(. Le dénominteur, éqution crctéritique de H(, e met ou l forme uivnte : D( n. n + n. n vec n>. Le critère de Routh ermet de déterminer l tbilité du ytème à rtir de coefficient i. On étudie our cel le olynôme d Hurwitz en formnt le tbleu uivnt : L remière ligne regroue le terme en n-k L deuxième ligne regroue le terme en n-k+ n n n- n n- n- n-3 n n- b b b 3... n-3 c c r Le coefficient b i et c i ont défini de l fçon uivnte : n n n n 4 b., b., etc.. c n n n 3 n n 3., b b b c n idem our de coefficient d i, e i, etc n n 5 n n 5., etc.. b b b3 Énoncé du critère Le ytème et tble i et eulement i tou le terme de l remière colonne (dite colonne de ivot) ont trictement oitif. Dn le c contrire, le nombre de chngement de igne correond u nombre de rcine à rtie réelle oitive Critère du rever (critère grhique). On conidère un ytème modélible r le chém-bloc uivnt : une fonction de trnfert en boucle ouverte FT( G(, bouclée r un retour unitire. L fonction de trnfert en boucle fermée et donc : G( FTBF( + G( L éqution crctéritique et D( + G(. On cherche donc le vleur de telle que FT( G(. On e en nottion comlexe. Dn le lieux de trnfert, FT( jω) correond u oint A(ω) FT( jω) et (ω) G( S( : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge 6 ur Créé le 5//

7 On démontre (et on dmettr) que l tbilité en boucle fermée d un ytème déend de l fçon dont e comorte l FT dn e reréenttion en lieux de trnfert vi-à-vi du oint critique ( A(ω),(ω) 8 ). L condition de tbilité ou d intbilité déduite de l utilition du critère du rever et vrie tnt en temorel qu en fréquentiel. Le critère du rever, elé ui critère grhique cr il uie ur l reréenttion grhique de l fonction de trnfert en boucle ouverte dn le lieux de trnfert, dmet de énoncé différent, uivnt que l on conidère l reréenttion dn le ln de Blck ou de Nyquit., ou bien dn le digrmme de Bode. Enoncé du critère dn le ln de Nyquit. Un ytème et tble en boucle fermée i en décrivnt le lieu de trnfert en boucle ouverte dn le en de ultion crointe, on lie le oint critique à guche du lieu. Dn le c contrire, il et intble. Le ln de Nyquit et le ln comlexe où l rtie réelle de FT( jω) et reréentée en bcie et l rtie imginire en ordonnée. Le oint critique et le oint (,). Im Im Im - Re - Re - Re Sen de ultion crointe Sen de ultion crointe Sen de ultion crointe Sytème tble Sytème tble ou critique Sytème intble Enoncé du critère dn le ln de Blck. Un ytème et tble en boucle fermée i en décrivnt le lieu de trnfert en boucle ouverte dn le en de ultion crointe, on lie le oint critique à droite du lieu. Dn le c contrire, il et intble. Le ln de Blck et le ln où rît en bcie (ω) et en ordonnée Adb(ω) log( A(ω)). Le oint critique correondnt à ( 8,dB) AdB AdB AdB Sen de ultion crointe Sen de ultion crointe Sen de ultion crointe -8,dB -8,dB -8,dB ytème tble Sytème tble ou critique Sytème intble S : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge 7 ur Créé le 5//

8 Aliction du critère dn le digrmme de Bode. Adb db ω ω ω Si our le digrmme de Bode de l fonction de trnfert en boucle ouverte, le trcé ont tel que : our ω, ultion our lquelle AdB(ω) db, (ω) > 8, o et our ω, ultion our lquelle (ω) 8, AdB(ω) < db, ω ω ω lor le ytème et tble en boucle fermée. -8 Adb db ω ω ω Si our le digrmme de Bode de l fonction de trnfert en boucle ouverte, le trcé ont tel que : ω ω ω ou our ω, ultion our lquelle AdB(ω) db, (ω) < 8, our ω, ultion our lquelle (ω) 8, AdB(ω) > db, -8 lor le ytème et intble en boucle fermée. Critère imlifié : Un ytème et tble en boucle fermée i le gin et inférieur à ( Adb < db) lorque l he vut 8. On définit l ultion critique ωc telle que (ωc) C de ytème tble ou critique. Lorque le lieu de trnfert de l FT e r le oint critique, on dit du ytème qu il et tble ou critique en boucle fermée. Ce c de figure eut e trduire r le comortement uivnt : oumi à une entrée finie (échelon), l réone en régime étbli ne er finie de fçon continue, mi réenter en «moyenne» une réone finie. : C35 comortement de yteme ervi.doc- Pge 8 ur Créé le 5//

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