Un corrigé du problème d'analyse (Vers la formule de Stirling)

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1 EB : Contrôle continu de l'ue EFM3 épreuve de h3 Un corrigé du problème d'analyse Vers la formule de Stirling). Intégrales de Wallis. On a trivialement W dθ et W cosθ)dθ [sin θ. W, W. Soit n N. On a W n+ cos θ cos n θ dθ sin θ) cos n θ dθ W n + sin θ ) n+ cosn+ θ dθ. Comme les fonctions θ sin θ et θ n+ cosn+ θ sont de classe C [ sur,, on peut eectuer l'intégration par parties suivantes : [ W n+ W n + On peut alors écrire : D'où le résultat. sin θ n + cosn+ θ W n+ W n n + W n+ W n+ cos θ cos n+ θ dθ W n n + n + W n+. + ) n + W n W n+ n + n + W n. n N, n + )W n+ n + )W n.3 Pour tout entier n, on pose v n n + )W n W n+. En vertu du résultat ci-dessus, on peut écrire pour tout entier n : v n+ W n+ n + )W n+ W n+ n + )W n v n. Cela prouve que la suite v n ) est constante, et permet d'écrire pour tout entier n : v n v. n N, n + )W n W n+.4 Soit n un entier et θ dans [,. Puisque cos θ [,, on peut écrire : Par croissance de l'intégrale, on en déduit directement : cos θ cos n θ cos n θ. n N, W n+ W n. Et comme θ cos n+ θ est à valeurs positives et n'est pas nulle, on en déduit encore W n+ >, ce qui donne le résultat. n N, W n W n+ W n+ > En injectant la relation W n+ n+ n+ W n dans la triple inégalité précédente, on obtient alors : W n W n+ n + n + W n, d'où en divisant par W n > : W n+ n + W n n +. ) Wn+ On déduit alors du lemme des gendarmes que la suite W converge vers n. n + W n W n+

2 .5 La relation ci-dessus assure que l'on a W n W n+ au voisinage de +. De la relation obtenue en.3 on déduit alors n + )W n+ ce qui donne directement ) / W n+. n + ) D'où le résultat. W n n + n. Étude d'une suite. Limite de la suite u n ).. On sait que si X, Y sont des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ, µ, alors X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + µ. On en déduit alors par récurrence immédiate que S n suit une loi de Poisson de paramètre n. S n suit une loi de Poisson de paramètre n. On peut alors écrire : n ) P S n n) P S n k k P S n k) k P S n n) u n k n nk e k! u n... Posons X n n X k. Puisque EX ) et σx ), et puisque X,..., X n sont indépendantes et de k même loi, le théorème de la ite centrée assure que X n EX ) σx )/ n X n / n S n n n converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne centrée réduite, c'est-à-dire que quels que soient les réels a < b : ) P Sn n b [a, b e x dx. n,+ n a T n ) converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne centrée réduite..3 On a : P S n n) P S n n ) P ) Sn n P T n ) n On déduit alors de la question précédente la formule : P S n n) e x dx. n,+ Et comme x e x est une densité de probabilité paire, on peut écrire : On a ainsi prouvé e x dx + e x dx. u n) n +, ce qui donne le résultat. n + u n

3 . Expression intégrale du terme général de la suite u.. Initialisation. En n, la propriété s'écrit Celle-ci est trivialement vraie puisque l'on a Héritage. Soit n un entier tel que l'on ait x R, e x + x R, e x e t dt. e t dt [ e t x ex pour tout réel x. k x k k! + x t) n e t dt. Puisque pour tout réel x les fonctions t e t et t x t)n+ n+)! sont de classe C sur [, x, on peut eectuer l'intégration par parties suivante : x t) n ) e t x t)n+ dt e t dt n + )! k x x t)n+ [ e t + n + )! x n+ n + )! + x t) n+ e t dt n + )! x t) n+ e t dt n + )! En injectant alors cette relation que l'on vient de démontrer pour tout x réel) dans l'hypothèse de récurrence, on obtient : x R, e x x k k! + xn+ n + )! + x t) n+ e t dt. n + )! Ce qui prouve la propriété au rang n + et termine la démonstration. n N, x R, e x k x k k! + x t) n e t dt.. Soit n N. En prenant x n, la relation ci-dessus permet d'écrire puis e n n k n e n n k k! k }{{} u n n k k! + e n n n n t) n e t dt, n t) n e t n dt. Il sut alors de poser s n t ce qui donne ds dt) dans l'intégrale ci-dessus pour obtenir le résultat. u n n s n e s ds 3. Mise en place d'un changement de variables 3. La fonction f étant dénie par fx) xe x, elle est clairement C sur [,, en tant que produit et composée de fonctions C. On en déduit trivialement que f est C sur [,. f est C sur [,. Comme f est C sur [,, il est clair qu'elle admet un développement ité à tout ordre au voisinage de ; et comme f est également C sur [,, elle possède la même propriété. f et f possèdent un développement ité à tout ordre au voisinage de. Posons alors h x. Lorsque x tends vers, le réel h tends vers, ce qui permet d'écrire : 3

4 f + h) + h)e h + h) h + h + oh )) h + h + h h + oh ) h + oh ). On en déduit alors le développement ité à l'ordre de f en en remplaçant h par x. fx) x ) + ox ) ) Et comme on sait que f admet un développement ité à l'ordre en, celui-ci est obtenu en dérivant le développement ci-dessus. f x) x + ox ) On en déduit directement des équivalents de f et de f au voisinage de. fx) x ) f x) x) 3. On a f x) x)e x, ce qui permet de donner le tableau de variation suivant pour f. x f x) + f On voit alors que f réalise une bijection de [, sur [,. f réalise une bijection de [, sur [,. f 3.3 y) Il sut de démontrer. y y) Soit y [, [. On déduit de la question précédente qu'il existe un unique x [, [ tel que y fx), ce qui permet d'écrire : f y) x. y) fx)) La relation x f y) assure alors que lorsque y tends vers, le réel x tend également vers car f est continue sur [,, voir la question suivante). Il sut donc de montrer On utilise pour cela la relation fx) x x x. fx)) x ) x, et comme x x on en déduit obtenue à la question 3., qui donne fx)) x, ce qui donne le résultat. x fx)) f y) y) y x 4

5 3.4 Puisque f réalise une bijection continue de [, dans lui-même, il vient que f est continue sur [,. f est continue sur [,. Puisque f est dérivable sur [, [ et puisque sa dérivée ne s'annule pas sur cet intervalle, alors comme f [, [) [, [, il vient que f est dérivable sur [, [ de sorte que l'on ait la relation f ) f f. On en déduit ensuite que f ) est continue sur [, [, puisque f et f le sont. f est de classe C sur [, [ de sorte que f ) f f. 3.5 Si θ [,, alors x cos θ [,, ce qui prouve que f cos θ) est bien déni. Et comme f est à valeurs dans [,, on en déduit que gθ) f f cos θ) ) est bien déni. D'autre part, g est trivialement continue sur [,, en tant que composée de fonctions continues. θ f f cosθ)) ) est dénie et continue sur [,. Posons u cos θ et v f u); il est clair que lorsque θ tends vers +, u et v tendent vers. Or on a gθ) f f cos θ) ) f f u) ) f v). D'après la question 3. on a f v) v, donc d'après la question 3.3 on peut écrire : f f u) ) f u) u). Enn on a u) cos θ) et cos θ θ donc gθ) θ ) /. D'où le résultat. gθ) θ θ On remarque déjà que l'on a pour tout θ dans [, : gθ) f f cos θ) ) f cos θ) cos θ θ. On en déduit alors que h est bien dénie et continue sur,, en tant que quotient d'une fonction continue par une fonction continue ne s'annulant pas. h est dénie et continue sur,. Enn, on déduit de la question précédente que h est équivalent à θ θ lorsque θ tends vers +, ce qui assure qu'elle est prolongeable par continuité au voisinage de +, en associant la valeur en au prolongement. h est prolongeable par continuité en. 4. Une autre expression du terme général de la suite u 4. Un premier changement de variable Il sut de poser t s n dans l'expression intégrale de u n obtenue en..; on obtient alors u n nn+ et par suite le résultat. u n nn+ e n te t ) n dt te t ) n dt, 5

6 4. Un second changement de variable plus délicat 4.. F est l'unique primitive de f n qui s'annule en. En tant que telle, elle est continue sur [,. F est continue en. 4.. On commencer par remarquer que pour tout θ [, on a t f cos θ) θ Arccos ft)), ce qui prouve que θ f cos θ) dénie une bijection sur l'intervalle [,. D'autre part, cette fonction est de classe C sur,, en tant que composée de fonctions C. Soit x [, [. Les remarques ci-dessus prouvent que la fonction θ f cos θ) réalise une bijection C de [ Arccosfx)), sur [, x, ce qui assure que l'on peut opérer le changement de variable t f cos θ) dans l'intégrale F x) ft))n dt. On obtient alors : ft)) n dt Arccosfx)) f f cos θ) ) n d dθ f cos θ) ) dθ On remarque alors que l'on a d dθ f cos θ) ) d dθ cos θ) f ) cos θ) sin θ f f cos θ) hθ). D'où le résultat. F x) Arccosfx)) cosθ)) n hθ)dθ 4..3 On a prouvé que h se prolonge par continuité au voisinage de, ce qui prouve que l'intégrale cosθ))n hθ)dθ est convergente en l'occurrence faussement impropre). On en déduit par dénition : cosθ)) n hθ)dθ X + X Considérons alors la relation suivante, valable pour tout x [, [ : Comme F est continue en et comme dans la relation ci-dessus. F x) Arccosfx)) cosθ)) n hθ)dθ. cosθ)) n hθ)dθ. x Arccosfx)), on obtient le résultat en faisant tendre x vers te t ) n dt cosθ)) n hθ)dθ On déduit alors directement le second résultat en utilisant la question 4.. u n nn+ e n cosθ)) n hθ)dθ 5. Enn la formule de Stirling En utilisant les questions..3 et 4..3 on obtient n n+ e n cosθ)) n hθ)dθ. 6

7 Soit n n+ e n En utilisant le résultat admis après la qustion.5 on peut écrire cosθ)) n hθ)dθ. cosθ)) n hθ)dθ h)w n h) n. Et comme on a prolongé h en lui associant la valeur en on en déduit n n+ e n n, ce qui donne le résultat. n ) n n n + e 7