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1 ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de M vers N ; - une longueur (appelée aussi la norme) : la distance MN du point M au point N Ce choix définit un vecteur MN, représenté par : On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité Remarques:- Les vecteurs MN et NM sont appelés deux vecteurs opposés, en effet, ils ont même direction, même longueur et des sens opposés - Lorsque M et N sont confondus MN devient MM ; on dit que MM est le vecteur nul, noté par 0 I-- vecteurs égaux Définition : Deux vecteurs sont égaux, si et seulement, s ils ont même direction, même longueur et même sens De la définition précédente, on en déduit immédiatement les deux propriétés suivantes : Théorème (admis): Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors ses sommets définissent quatre paires de vecteurs égaux : AB = DC, BC = AD, BA = CD, CB = DA Réciproquement Théorème (admis): Si quatre points non alignés forment des vecteurs égaux, ils sont les sommets d un parallélogramme Exemple : Dans la figure ci-dessous, les vecteurs MN et OP sont égaux, donc le quadrilatère MNPO est un parallélogramme

2 I-3- Caractérisation vectorielle du milieu d un segment Théorème 3 (admis): Si I est le milieu d un segment [ MN ] alors Réciproquement, si MI = IN alors I est le milieu du segment [ ] MI = IN MN On en déduit facilement, les égalités suivantes : IM + IN = 0 et MI = MN II- Translation Définition d une translation Définition 3: On dit que qu un point M a pour image un point M dans la translation de vecteur u notée t, lorsque M M = u u Théorème 4 : Soient A, B et C, trois points du plan, il existe un unique point M tel que : AM = BC Démonstration : III- Somme de deux vecteurs Ayant deux vecteurs u et v, on peut leur associer un vecteur et de v, ce vecteur est défini suivant les deux règles suivantes : III- - Relation de Chasles u + v appelé somme de u Quels que soient les points A, B et C, on a : AB + BC = AC avec u = AB et v = BC Les deux vecteurs u et v sont tels que l extrémité de l un est l origine de l autre

3 Exercice : Démontrer que pour tous points A, B, C et D du plan, on a Solution : AD + BC = AC + BD III- - Règle du parallélogramme La somme AB + AC est un vecteur AD tel que, ABDC soit un parallélogramme Les deux vecteurs u et v sont tels que le point A est leur origine commune III- 3- Propriétés algébriques de l addition Théorèmes 5 (admis): Quels que soient les vecteurs u, v et w, on a : - u + 0 = 0 + u ; - u + v = v + u ; - ( u v ) + w = u + ( v + w ) = u + v + w + IV- L opposé d un vecteur Définition 4: L opposé d un vecteur u est le vecteur de même direction et de même norme, mais de sens contraire Ce vecteur est noté u On note par exemple BC = CB V- Différence de deux vecteurs Définition 5: Quels que soient les vecteurs u et v, la différence : ( v ) u + u v est le vecteur : 3

4 IV-Produit d un vecteur par un réel Définition 6: Soit u un vecteur non nuls et k un réel non nul Le produit de u par k, noté k u est un vecteur tel que : - sa direction est celle de u ; - son sens est celui de u si k est positif et de sens contraire, si k est négatif ; - sa norme est k u, si k est positif et k u, si k est négatif Exercice : On considère les vecteurs u, v, w représentés sur la figure ci-dessous et les points A, B,C ) Construire le point M tel que AM = u + v + w ) Construire le point D tel que AD = AB + AC 3) Construire le point E tel que AE = BA + v + w Solution : Exercice 3: Les points A, B et C sont donnés Construire le point M vérifiant l égalité suivante : MA + MB = AC Solution: 4

5 IV- Colinéarité de deux vecteurs Soient M, N, O et P quatre points du plan Définition 7: Dire que deux vecteurs non nuls MN et OP sont colinéaires signifie que MN et OP ont la même direction (c est-à-dire que les droites ( MN ) et ( ) parallèles) OP sont Définition, théorème 8: Dire que deux vecteurs non nuls MN et OP sont colinéaires équivaut à dire qu il existe un réel non nul α tel que MN = α OP Démonstration : VII- Condition d alignement de trois points Théorème 6 (admis):trois points M, N et P du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs MN et MP sont colinéaires En résumé, si M, N, O et Psont quatre points du plan, alors on a les équivalences suivantes : MN et OP sont colinéaires ( MN ) et ( ) OP sont parallèles Il existe un réel non nul α tel que MN = α OP 5

6 Exercice 4: ABCD est un parallélogramme 4 4 ) Construire les points M et N tels que : BA = MD et NA = DA 3 3 ) Montrer que les droites (AM) et (BN) sont parallèles Solution : Exercice 5: Soit ABC un triangle Construire un point E tel que BE = BC 3 ) Démontrer que AE = AB + AC 3 3 ) Construire un point F tel que AF = AB + AC 3) Démontrer que A, E et F sont alignés Solution : 6

7 VIII- Caractérisation vectorielle du centre de gravité d un triangle Rappel : Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle, ce point est situé au 3 de chacune d elles à partir des sommets Théorème 7 : Soit ABC un triangle quelconque donné Soient A, B et C les milieux respectifs des côtés : [BC], [AC] et [AB] Soit G un point du plan Les propriétés suivantes sont équivalentes : ) G est le point d intersection des médianes (AA ), (BB ) et (CC ) ; ) GA + GB + GC = 0 ; 3) AG = AA, BG = BB et CG = CC Démonstration : ) ) 3) 3) ) 7

8 Exercice 6: ABC est un triangle La figure sera complétée au fur à mesure de l avancement de l exercice ) Placer le point M tel que AM = AB + AC ) a) Soit N le point défini par BN = BC Montrer que AN = AB + AC b) En déduire que les point A, M et N sont alignés 3) Soient I le milieu du segment [AC] et J le point tel que CJ = CB 3 Montrer que les droites (IJ) et (AN) sont parallèles Solution : 8

9 ❷ - Vecteurs Coordonnées d un vecteur I- Définition d un repère Définition 9: On appelle : - base tout couple de vecteurs non colinéaires du type ( i, j ) - repère, le triplet ( O i, j ) ;, où O est un point du plan appelé origine du repère Remarque : Un repère peut être défini à l aide d un triplet ( O I, J ) qui ne remet pas en cause la définition précédente avec II- Vocabulaire et notations Soit (x,y) les coordonnées d un point M dans le repère ( O i, j ) Définition 0:-Dans un repère ( O i, j ) M tel que u = OM, avec u ( x, y) - Si A ( x A, y A ) et B ( B y B ) coordonnées : AB( x x y y ) ; de points non alignés, i = OI et j = OJ ; Soit u = OM ;, les coordonnées d un vecteur u sont celle du point x, sont deux points du repère, alors le vecteur AB a pour B ; x On écrit indifféremment : u ( x, y) ou u y Ecriture d un vecteur dans un repère Définition : Dans un repère ( O i, j ) décompose de façon unique sous la forme : A B A ;, tout vecteur u de coordonnées u ( x, y) se u = x i + Exemple : On considère dans un repère orthonormé ( O i, j ) y j ; les points A( ; 4), B(3 ; 5) Les coordonnées du vecteur AB sont données par AB( xb x A ; y B y A ) AB ( 3 ; 5) AB ( ; 3), ainsi u = i 3 j III- Propriétés algébriques Soient u et v deux vecteurs de coordonnées u ( x, y) et ( x', y' ) u = 0 équivaut à x=0 et y=0 ; u = v équivaut à x = x' et y = y' u + v a pour coordonnées ( x + x', y + y' ) et ainsi ce vecteur sera noté ( u + v )( x + x', y + y' ) Pour un réel α, α u a pour coordonnées ( α x, αy) Exercice 7: On considère dans un repère orthonormé ( O i, j ) v, dans un repère ( O i, j ) ; ; les points A( ; ), B(3 ; ) et C(0 ; 4) ) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme ) Soit E et F les points définis par BE = BC et BF = AB Calculer les coordonnées de E et F 3) Montrer que les points E, D et F sont alignés 4) Prouver que les droites (AC) et (EF) sont parallèles 9

10 Solution : 0

11 Exercice 8: ABCD est un parallélogramme de centre O et I est le milieu du segment ( AB ) ) Montrer que DB + CA = 4OI ) La droite (CI) coupe (OD) en L et la droite (DI) coupe (OA) en K a) Montrer que L est le centre de gravité du triangle CAB Que peut-on dire du point K? b) En déduire que KL = DC Que peut-on dire 3 des droites (KL) et (DC)? Exercice 9: ABC est un triangle On désigne par : I le milieu du segment [AB] G le centre de gravité du triangle ABC O le point tel que : OA + OB + OC = 0 ) Placer O sur une figure Montrer que O est le milieu du segment [CI ] ) a) Montrer que, quel que soit le point M du plan, on a : MA + MB + MC = 4MO b)en déduire l ensemble (E) des points M tel que : 3 MA + MB + MC = 4 MA + MB + MC Exercice 0: Soient deux points A et B distincts, I le milieu du segment [AB] et n N* On suppose que AB=9, et on désigne par F le point tel que : n FA + ( n + ) FB = 0 ) On suppose que n= a) Montrer que : AF = AB Placer le point F sur la droite (AB) 3 b) Montrer que : FI + FB = 0 c) Justifier que pour tout point M du plan, on a : MA + MB = 3MF d) En déduire l ensemble (E) des points M du plan tel que : MA + MB = Dans la suite de l exercice, on désigne par F le point tel que : AF = AB 3 ) Plus généralement, on suppose que n est un entier naturel non nul a) Exprimer le vecteur AF en fonction du vecteur AB Le point F peut-il être confondu avec I? b) En déduire que : n N*, F ]AB[ {I} c) Plus précisément, montrer que :, n N*, F ]IF [

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