Additions et soustractions (activités initiales)

Transcription

1 Additions et soustractions (activités initiales) Activité 1 De nombreux problèmes peuvent être résolus en calculant simplement une somme ou une différence. L objet de cette activité est d engager une réflexion sur une classification possible de ces problèmes. Voici une liste de problèmes, dont certains sont extraits de Ermel CE1. Proposez une ou plusieurs classifications de ceux-ci en fonction de critères que vous préciserez. P1. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant, que marque le compteur? P2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 dans son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant? P3. Paul joue au jeu de l oie. Son pion est sur une case bleue. Il avance de 14 cases. Il arrive sur une case rouge marquée 37. Quel était le numéro de la case bleue? P4. La maîtresse a 42 cahiers dans l armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a maintenant en tout 67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers? P5. Dans une école, il y a 68 filles et 52 garçons. Combien y a-t-il d enfants dans cette école? P6. Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe? P7. Pierre a 25 billes. Marc a 32 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus? P8. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l âge de Thomas? P9. Je pense à un nombre. Je lui enlève 17. Je trouve alors 42. Quel était le nombre de départ? P10. Hervé voit un livre luxueux qui lui plaît. Il n a que 45 euros. Il dit : «Il me manque 28 euros pour l acheter». Quel est le prix du livre? P11. Pierre joue deux parties de billes à la suite. Au cours de la deuxième partie, il gagne 13 billes. Au total après les deux parties, il se rend compte qu il a perdu 7 billes. Que s est-il passé au cours de la première partie? P12. Entre 1970 et 1980, la population du village a diminué de 154 habitants. Entre 1980 et 1990, elle a augmenté de 78 habitants. Que s est-il passé pour la période ? 1

2 I. Additions et soustractions Voir diaporama «additions et soustractions», didactique1, sous power point, pour la classification des problèmes L essentiel des compétences concernant l addition et la soustraction sur les naturels se construisent entre le CP et le CE. Compétences : - être capable de résoudre des problèmes relevant de ces deux opérations, d abord par des procédures personnelles (dessins, schémas) puis en utilisant les procédures standard (reconnaissance du problème) - être capable de produire le résultat de tout calcul additif ou soustractif, en choisissant la méthode la plus adéquate, compte tenu des nombres en jeu et des outils disponibles (calcul réfléchi, algorithme, calculatrice, cf : généralités sur le calcul) En maternelle Compétences relatives aux quantités et aux nombres Résoudre des problèmes portant sur les quantités (augmentation, diminution, réunion ) en utilisant les nombres connus, sans recourir aux opérations usuelles Au cycle 2 Traitement de données numériques Problèmes résolus en utilisant une procédure experte - Déterminer par addition ou soustraction la quantité (ou la valeur) obtenue à la suite d'une augmentation ou d'une diminution. - Déterminer par addition ou soustraction la position atteinte sur une ligne graduée après un déplacement en avant ou en arrière. - Déterminer par addition la quantité (ou la valeur) obtenue par réunion de deux quantités (ou de deux valeurs) connues. Problèmes résolus en utilisant une procédure personnelle - Dans des situations où une quantité (ou une valeur) subit une augmentation ou une diminution, déterminer la quantité (ou la valeur) initiale, ou trouver la valeur de l'augmentation ou de la diminution. - Déterminer une position initiale sur une ligne graduée, avant un déplacement en avant ou en arrière, ou déterminer la valeur du déplacement. - Dans des situations où deux quantités (ou valeurs) sont «réunies», déterminer l'une des quantités (ou l'une des valeurs). - Dans des situations où deux quantités (ou deux valeurs) sont comparées, déterminer l'une des quantités (ou l'une des valeurs) ou le résultat de la comparaison. I. Champ conceptuel des structures additives Champ conceptuel (Vergnaud) «On appelle champ conceptuel un ensemble de situations dont le traitement implique des schèmes, concepts, théorèmes, en étroite connexion, ainsi que les représentations langagières et symboliques susceptibles d être utilisées pour les représenter» Il s agit à la fois de pouvoir rendre compte, pour un domaine donné (ici le domaine additif et soustractif) de l ensemble des problèmes relevant de ce domaine ainsi que de l ensemble des procédures et des représentations (schémas, écritures, langage) que peuvent utiliser les élèves. a) Classification des problèmes : Il est important de connaître cette partie Voir Diaporama pour la synthèse Différents sens (catégories, selon G. Vergnaud) Dans les structures additives, Gérard Vergnaud distingue six relations de base. Les quatre premières catégories de relations seront ici précisées, les autres relevant plutôt du collège. Chaque relation peut donner plusieurs types de problèmes selon la place de l'inconnue et l'orientation positive ou négative des données numériques en jeu. 2

3 Les catégories sont rangées dans l'ordre croissant des difficultés rencontrées par les élèves pour résoudre les problèmes de chacune d'elles et non dans l'ordre initial prévu par Gérard Vergnaud. Catégorie 1: relation «état initial - transformation - état final» Une transformation opère sur une mesure (état initial) pour donner une autre mesure (état final). La transformation peut être positive ou négative. Cette relation produit six types de problèmes selon la place de l'inconnue et le fait que la transformation est positive ou négative ; le plus facile étant quand l'inconnue est l'état final, le plus difficile quand l'inconnue est la transformation. Exemples (par ordre de difficulté croissante) : Jean avait 12 billes avant de jouer. Il a gagné 5 billes. Combien a-t-il de billes après la partie? Au cours d'une partie, Pierre a gagné 6 billes; il a maintenant 15 billes. Combien avait-il de billes avant de jouer? Loïc avait 12 billes avant de commencer à jouer; il a maintenant 5 billes. Que s'est-il passé au cours de la partie? Les situations de ce type peuvent être représentées par des «opérateurs». Par exemple, pour le deuxième problème, on peut réaliser le schéma ci-dessous : Catégorie 2 : relation «partie - partie - tout» Deux mesures (états) se composent (se combinent) pour donner une mesure (un état). Exemples: Jean n'a que des billes en terre et des billes en verre; il a trois billes en terre et cinq billes en verre. Combien Jean a-t-il de billes en tout? Dans un bouquet il y a 13 fleurs; 5 sont des roses et les autres des tulipes. Combien y a-t-il de tulipes dans le bouquet? Pour représenter ce type de situation, on pourrait réaliser un diagramme de Venn. Le deuxième problème peut être schématisé ainsi : Catégorie 3 : relation de comparaison avoir «x de plus» ou «x de moins» Une relation de comparaison relie deux mesures (états). Exemples : Loïc a 8 billes et Pascal en 0 5 de plus. Combien Pascal a-t-il de billes? Clémence a 18 billes; elle en a 6 de moins que Baptiste. Combien Baptiste a-t-il de billes? Il n'y a pas de schéma standard pour représenter ce type de situation. Certains auteurs feraient, pour représenter le deuxième problème, le schéma ci-dessous : C'est avec les problèmes de cette catégorie que les élèves ont le plus de difficultés et sont le plus sensibles aux mots indicateurs (de plus, de moins). Catégorie 4 : la composition de transformations Deux transformations se composent pour donner une transformation. Cette catégorie génère une grande variété de problèmes selon que les transformations sont positives ou négatives, de même sens ou non et que varie la place de l'inconnue. De nombreux élèves de sixième ont encore des difficultés pour résoudre un problème tel que celui-ci. Exemple. 3

4 Marie a joué deux parties de billes à l'école. Elle a gagné en tout 15 billes et pourtant la journée avait mal commencé; elle a perdu 4 billes à la première partie. Que s'est-il passé à la deuxième partie? Le traitement des problèmes de cette catégorie ne sera vraiment maîtrisé qu'avec l'utilisation des équations et après un travail effectué avec les nombres relatifs. (donc au collège) II. Quelques lignes directrices pour l apprentissage L'apprentissage des techniques opératoires ne peut être dissocier de celui de la numération et de la résolution de problèmes additifs et/ou soustractifs, qui donnent du sens aux techniques de calcul. On peut envisager l'apprentissage successif de plusieurs techniques ; des études sur des adultes ont montré que ceux-ci n'utilisent pas toujours la même technique. Ne pas négliger le calcul réfléchi de différence : En avançant à partir du plus petit nombre, En reculant à partir du plus grand nombre, Avec la droite numérique. Donner aux élèves des outils de vérification (qui pourront différer en fonction de la technique utilisée) : L'addition, Le saut de puces en avançant ou en reculant, Le résultat est-il inférieur au nombre de départ? III. Procédures utilisées par les élèves a) Les types de procédures Procédure s appuyant sur une figuration de la réalité (schémas, dessins, doigts,) et comptage Procédure utilisant le décomptage mental ou le surcomptage (aide : doigts) Procédure utilisant un calcul sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer (traduction mathématique de l énoncé avant d effectuer les calculs nécessaires) b) Raisonnements utilisés par les élèves Il peut utiliser un raisonnement qui s appuie sur le contexte évoqué (il transforme le problème posé pour retrouver un problème qu il connaît) Il peut utiliser un schéma intermédiaire Gain +5 avant maintenant - 5 : il faut reculer donc soustraire Il peut aussi traduire par une équation : opération à trou Il peut encore procéder par essais en faisant une hypothèse sur la réponse c) Techniques de calcul de la soustraction Différentes techniques de calcul apparaissent dans les programmes ; le comptage, le recomptage, le surcomptage et le décomptage. Les techniques de calcul réfléchi utilisent des décompositions des nombres (en privilégiant 5, 10 et 100) et 4

5 implicitement des propriétés des opérations. Le choix d'une technique posée pour la soustraction (en fin de CE2) est fait en fonction du niveau de connaissances des élèves et du temps réservé à sa construction. Il n'y a pas une technique unique pour la soustraction; les techniques ont évoluées au fil du temps et, selon les pays, la technique usuelle diffère ; dans la société française du début du XXI ème siècle, plusieurs techniques sont en usage, avec chacune leurs avantages et leur inconvénients. Chacun a naturellement tendance à considérer que la plus simple est celle qu'il utilise, l'impression de simplicité étant souvent fortement liée à la force de l'habitude. Voici les trois les répandues présentées à partir du calcul de Technique par addition: Le point de départ est l'addition à trous La difficulté de cette technique réside dans le fait que le lien entre addition à trous et soustraction est loin d'être évident pour l'élève. Un préalable est d'avoir compris que des problèmes qui parlent d'ajouter, de gagner, de mettre ensemble deux collections,... peuvent être résolus à l'aide d'une soustraction. Sinon le passage de l'une à l'autre risque d'être un jeu d'écriture sans justification. Technique par emprunt : Elle s'appuie sur la numération et la règle d'échange 10 contre 1 ; elle est la traduction symbolique des manipulations réalisées sur un abaque ou un boulier: «Unités : 1 moins 8 ; je ne peux pas J emprunte une dizaine ; il m'en restera 2-1=1 ; 11 (1 dizaine et 1 unité) moins 8, cela fait 3 Dizaines : 1 moins 4 ; je ne peux pas J emprunte une centaine ; il m'en restera 3-1=2 ; 11 moins 4, cela fait 7 Centaines: 2 moins 5 ; je ne peux pas J emprunte un millier; il m'en restera 5-1 =4 ; 12 (1 dizaine et 1 unité) moins 5, cela fait 7 Milliers : 4 moins 2, cela fait 2.» Inconvénients : on barre et l'écrit est un peu lourd ; cette technique sera donc peu pratique pour une utilisation dans la technique opératoire de la division. Sauf si on mentalise les échanges... La plus classique en France Cette technique s'appuie sur la conservation de l'écart entre deux nombres lors d'une translation sur la droite numérique «1 moins 8 ; je ne peux pas ; j'ajoute 10 unités au nombre du haut et une dizaine à celui du bas, d'où 11 moins 8 qui donne 3 ; 2 moins 5 (4+1) ; je ne peux pas ; j'ajoute 10 dizaines au nombre du haut et une centaine à celui du bas, d'où 12 moins 5 qui donne 7 ; 3 moins 6 (5+1) ;je ne peux pas; j'ajoute 10 centaines au nombre du haut et un millier à celui du bas, d'où 13 moins 6 qui donne 7 ; 5

6 5 moins 3 (2+1) donne 2 pour les milliers.» Une technique peu utilisée aujourd'hui : Elle se fonde sur la même propriété que ci-dessus, ne nécessite aucune retenue, mais une bonne maîtrise de l'addition associée à la connaissance des compléments à 10. Avantages et inconvénients de chaque technique «posée» Les techniques d'utilisation des retenues et leur justification sont différentes. Ces techniques s'appuient toutes sur les mêmes connaissances en numération (essentiellement les règles d'échange) mais font aussi appel à d'autres connaissances plus ou moins accessibles aux élèves. S'appuie surtout sur Procédures techniques, avantages et inconvénients de chacune d elles Emprunt Addition à trou Technique usuelle Connaissances en numération (règles d'échange) Technique de l'addition qui nécessite des connaissances en numération (règles d'échange) Propriété des écarts constants Connaissances en numération (règles d'échange) Avantages Simple à comprendre et à appliquer et donc à enseigner Se prête à manipulations (abaques) Simple à enseigner et facile à comprendre (simple transposition d'une technique connue) Facile à appliquer une fois débarrassée de sa partie explicative : on écrit la retenue sans dire qu'elle provient d'un ajout d'un même nombre (dix unités... aux deux termes de ta différence Inconvénients Surcharge de ratures Difficile à gérer en cas de zéros intermédiaires Non socialement reconnue (par les parents) Difficile à appliquer pour les élèves le basculement entre le traitement de l'addition lacunaire et celui de la soustraction ne va pas de soi. Sa pratique prématurée fait obstacle à l'acquisition d'autres techniques Difficile à comprendre et donc à enseigner la propriété des écarts constants est très difficile d'accès à la plupart des élèves Supports matériels privilégiés Abaques Monnaie. Abaque(pour l'addition à trou) Droite numérique pour montrer la propriété des écarts constants IV Difficultés rencontrées par les élèves De nombreux facteurs influencent la réussite des élèves dans la résolution des problèmes additifs : le contexte (familier ou pas), la présence ou non de mots indicateurs (induisant une opération), la place de la question, le nombre d'informations. Quant aux problèmes : La structure relationnelle du problème et la place de l inconnue (cf I) La difficulté des calculs (en cas de recherche, il est conseillé de laisser la calculatrice!) L ordre d apparition des données dans le texte La présence de mots souvent inducteurs d une opération 6

7 Quant aux calculs : Difficultés dues à une méconnaissance des résultats de base (non connaissance des tables) Difficultés dues à une maîtrise insuffisante de la numération décimale (décomposition des nombres) Difficultés à mettre en œuvre les propriétés des opérations Difficultés liées à des conceptions erronées relatives à certains nombres ou écritures Des exemples : Calculs additifs Des élèves devaient calculer la somme : Un élève a trouvé 268 en additionnant chiffre à chiffre de la gauche vers la droite. Les autres élèves additionnent bien chiffre à chiffre de la droite vers la gauche (les unités entre elles, puis les dizaines... ), mais : - un élève trouve 241, car il écrit les résultats de la gauche vers la droite - un autre trouve 132, car il ne tient pas compte de la retenue sur les dizaines; - un troisième trouve 1312, car il juxtapose les résultats sans tenir compte de la retenue ; - un quatrième trouve 232, car il ne reporte pas la retenue sur le bon rang. Calculs soustractifs Lors d'une étude expérimentale, des élèves de CE1 et de CE2 devaient effectuer des calculs soustractifs écrits en ligne. Un entretien a permis d'observer que presque tous les élèves avaient essayé d'appliquer mentalement la technique «posée» apprise. Leurs erreurs permettent de reconstituer l'ordre dans lequel se fait l'apprentissage de l'algorithme. À part le premier, tous les élèves soustraient chiffre à chiffre de la droite vers la gauche. Certains, encore, savent utiliser la retenue à une étape du calcul mais l'oublient à l'étape suivante. La présence de zéro perturbe certains élèves qui, par exemple, orientent bien les écarts, sauf lorsqu'un zéro est : - neutre : o - a = a, ce qui donne : = 124; - ou «absorbant» : o - a = o et a - o = o, ce qui donne, par exemple, = 80. Enfin, nombre d'erreurs constatées en calcul mental sont dues à une surcharge de la mémoire de travail de l'élève, qui doit utiliser conjointement beaucoup de calculs, des retenues, l'ordre des étapes, etc. V. Les variables didactiques Taille des nombres et taille relative constituent des variables didactiques fondamentales Configuration des nombres L utilisation ou non d outils de calcul : calculatrice 7