La construction du concept de nombre à l école maternelle. Bruno Canivenc, ESPE, Université d Aix-Marseille

Transcription

1 La construction du concept de nombre à l école maternelle Bruno Canivenc, ESPE, Université d Aix-Marseille

2 Plan Quelques constats Repères psychologiques et didactiques Les programmes Des pistes de travail prioritaires Bibliographie

3 Quelques constats provenant des évaluations et de recherches

4 Constats En début de GS: pas de difficulté remarquable dans l'approche des quantités et des nombres Au milieu et en fin de GS: difficultés dans l'approche des quantités et des nombres: résoudre des problèmes portant sur les quantités en utilisant les nombres connus sans recourir aux opérations usuelles En CE1: les difficultés portent plus particulièrement sur le dénombrement de quantités, l exploitation des données numériques, les relations arithmétiques entre les nombres.

5 Constats (suite) Des outils déterminants pour faciliter les apprentissages ultérieurs en numération et en résolution de problèmes : - les compétences en calcul construites en maternelle (décomposition, recomposition) - la pratique précoce de la résolution de problème en maternelle.

6 Repères psychologiques et didactiques

7 Ce que l'on peut supposer: Les difficultés en calcul et exploitation de données numériques viennent du fait que les enfants ont mal conceptualisé le nombre. Mais qu'est-ce qu'un nombre entier? Les hommes ont inventé des nombres (entiers, puis fractionnaires ) pour résoudre des problèmes de quantité et de mesure dans le monde réel. Les nombres et les calculs qu on peut réaliser avec eux permettent de modéliser le réel et de répondre à des questions en l absence des objets sur lesquels on se pose des questions, c est-à-dire résoudre des problèmes

8 Le concept de nombre Plusieurs dimensions en interaction : - quantité physique (quatre cubes) - position (quatrième case d un chemin) - mot nombre (quatre) - des représentations (doigts, dé ) - symbole numérique (le chiffre 4)

9 La place du comptage oral en débat Brissiaud minore la place du dénombrement systématique avec comptage oral pour donner beaucoup plus de place en PS/MS à la construction de collections par analogie et à la reconnaissance immédiate de collections organisées, puis en GS à la décomposition et recomposition. Ceci semblerait faciliter la perception du cardinal et mieux préparer le calcul

10 Les fonctions du nombre Les nombres servent à : Conserver la mémoire d une quantité Conserver la mémoire d une position Comparer des quantités ou des positions Anticiper Les nombres constituent un outil (extraordinaire!) qui permet de penser et prévoir des phénomènes en l absence des objets sur lesquels ils s exercent. Voici donc les directions de travail pour les problèmes.

11 Les programmes

12 Ce que dit le programme Dans le domaine «Approcher les quantités et les nombres», insistance sur la place du sens construit autour de l utilisation des nombre :. «Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l enseignant de comparaison, d augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. C est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe «égal») et les techniques.»

13 Ce que dit le programme (suite) Les quatre grandes compétences de fin de GS - Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités - Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu à 30 - Dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus - Associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée

14 Et pour le CP et le CE1 Connaître les nombres entiers naturels jusqu à 100 (1000) Comparer, ranger, encadrer (et les repérer et placer sur une droite graduée) Décompositions et tables d addition Ecrire une suite de nombres dans l ordre croissant ou décroissant (écrire ou dire une suite de 10 en 10, de 100 en 100 ) Connaître les doubles et moitiés jusqu à 20 (puis d usage courant)

15 Des pistes prioritaires

16 Préparer l approche du nombre en PS Notion de collection d objets identiques ou ayant une caractéristique commune : tri, classement. Notion de désignation : remplacer un objet ou une collection par un symbole qui permet de conserver une connaissance de cet objet (dessin, un représentant) Notion d ordre : repérer selon une direction avec un sens (mouvement dans la chronologie, début/fin Notion d énumération : organisation de l exploration de la collection

17 Déterminer le cardinal d une collection Plusieurs techniques à pratiquer et sur lesquelles construire des automatismes : Reconnaissance immédiate de petites quantités (jusqu à 3) appelée aussi «subitizing» Reconnaissance globale de collections organisées (constellations, doigts, matériel de numération, cartes de 10, boîtes de Picbille ) Dénombrement Estimation

18 Principes du dénombrement (Gelman) La connaissance de la comptine est préalable. Cinq principes régissent le dénombrement : Abstraction : toutes sortes d éléments peuvent être rassemblés et dénombrés ensemble (c est la notion de collection et de désignation) Correspondance terme à terme (à chaque objet correspond un mot-nombre) Suite stable des mots nombres Cardinal (dernier mot nombre) Indifférence à l ordre des objets (mais problème d énumération)

19 La préparation au calcul en maternelle Activités de reconnaissance et production immédiates de collections organisées Bonne connaissance de la suite (à partir de 1, jusqu à m, à partir de n, à l envers) Correspondance entre les suites orale et écrite Mémorisation de quelques décompositions additives (doigts, constellations, album à calculer ) Mémorisation des premiers doubles

20 Des problèmes en maternelle, vraiment? Les mathématiques en maternelle s apprennent - par l imprégnation, - par la répétition, - et par la résolution de problème Pierrard Alain : Faire des mathématiques à l école maternelle, Sceren, Académie de Grenoble (2002, réédition 2011)

21 Quels problèmes résoudre? Liés aux techniques de dénombrement : énumération Liés aux fonctions du nombre: mémoire d une quantité, mémoire d une position, comparaison de quantités ou de positions, et pour l anticipation, : Liés au champ additif : augmentation/retrait, réunion Liés au champ multiplicatif : distribution, partage, double Liés aux autres domaines : formes et grandeurs, temps, espace

22 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser Activité «Allumettes en PS» Objectif : travailler l énumération (organisation de collections) Matériel : 5 à 10 boîtes d allumettes d abord mobiles puis fixes, autant d allumettes que de boîtes Consigne : «Place une allumette dans chaque boîte».

23 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser initiale. Ne pas forcer la procédure, on tuerait l activité! Activité «Wagons» ou «Le couvert» MS/GS Activité fondamentale pour le nombre mémoire d une quantité. Les élèves doivent aller chercher à l autre bout de la pièce «juste assez» de voyageurs pour occuper les places dessinées dans le wagon, ou «juste assez» de couverts pour que tout le monde puisse manger. Plusieurs réalisations nécessaires avant l apparition, puis la diffusion de la technique de dénombrement de la collection

24 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser Activité «Train des lapins» Activité fondamentale pour le nombre mémoire d une position. Un lapin est posé dans un des wagons du «train modèle» (train d environ 25 wagons). Après avoir observé leur «train modèle», les élèves doivent se déplacer jusqu à leur «train personnel» et placer un lapin dans le même wagon que celui du «train modèle». La validation se fait individuellement en mettant en correspondance l un en dessous de l autre son «train personnel» et le» train modèle». Poursuite avec 2 ou 3 lapins (compter à partir de la locomotive ou d un autre lapin)

25 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser faisant sortir 1 voiture. Activité «Ajouter ou retirer 1» en MS et «Ajouter ou retirer de 1 à 3» en GS L enseignant place 1 à 3 voitures dans une boîte opaque. Puis, il fait entrer 1 voiture et demande de «montrer avec ses doigts puis de dire le nombre de voitures» présentes dans la boîte maintenant. On fait ensuite sortir 1 voiture. Même situation avec des nombres compris entre 1 et 5 en

26 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser «Ces jetons, c est comme ceux, c est à la place de ceux qui sont dans la boîte», «Les doigts de cette main, c est comme les voitures qui étaient dans la boîte au début» Représentations «papier» très ressemblantes dans un premier temps aux objets avec lesquels a été effectuée la manipulation et nouvel accompagnement langagier («ce trait, c est comme», «ce rond, c est à la place de»,

27 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser Activité «Charger des camions en GS» Trois à cinq camions à charger avec 15 à 25 cubes en respectant les contraintes suivantes : - tous les camions doivent être chargés - tous les cubes doivent être utilisés - chaque camion transporte plus de 3 et moins de 6 cubes (par exemple) Un élève charge, un contrôleur aidé du reste du groupe lève la barrière pour chaque camion, quand les conditions sont remplies.

28 De la manipulation vers l abstraction en passant par des langages : utiliser des représentations et verbaliser Et l évaluation? Elle peut (doit?) d abord se faire en situation de manipulation, surtout en PS et MS, mais aussi en GS. Si l évaluation se fait sur papier, ce ne peut être la première réalisation de la tâche sous cette forme, sinon on teste que des élèves ne réussissent pas un type de tâche nouveau sur lequel ils n ont pas été entraînés, ce qui n est pas très étonnant La même compétence est testée plusieurs fois avec des

29 Les 4 grands types de problèmes du champ additif abordés au cycle 1 et étudiés au cycle 2 - transformation d une collection 8 billes, j en perds 2, combien en ai-je maintenant? - transformation d une position sur la case 8, je recule de 2, sur quelle case? - réunion de collections 2 billes dans une main, 6 dans l autre, combien en tout? - comparaison d états j ai 8 billes, tu as 2 billes de moins que moi, combien en as-tu?

30 Des situations de référence dans le champ additif (1) Transformation d une collection Situation : une boîte fermée avec une fente contient une collection initiale de jetons : on en met ou on en sort. On cherche l état final ou la transformation ou l état initial. La situation de la boîte (ou du garage) est introduite dès la MS, les procédures évoluent progressivement vers l addition ou la soustraction au CP.

31 Des situations de référence dans le champ additif (2) Transformation d une position Situation : déplacement d un pion sur une piste graduée (type jeu de l oie) On cherche la position finale ou le déplacement ou la position initiale. La situation est abordée dès la MS/GS, d abord en avançant, puis avec un dé «avance/recule» et un dé indiquant la valeur du déplacement. Les procédures évoluent progressivement vers l addition ou la soustraction au CP.

32 Des situations de référence dans le champ additif (3) Réunion de collections Situation : des billes dans la main gauche, des billes dans la main droite, on réunit ou on sépare les deux collections Situation introduite dès la fin de la MS et la GS : jeu de greli-grelo d Ermel On calcule la valeur de la réunion ou de celle d une main. Les procédures évoluent progressivement vers l opération experte au CP.

33 Et en guise de conclusion Les élèves vont s approprier les nombres aux cycles 1 et 2 par le biais d un rapport au réel en résolvant des problèmes et en construisant des automatismes ce qui les outille et les prépare, par ailleurs, à comprendre à quoi on «joue» quand on devra résoudre des problèmes en mathématiques!

34 Bibliographie

35 Activités numériques à la maternelle, Descaves et Vignaud, Hachette Education (2006) Faire des mathématiques à l école maternelle, Pierrard, Sceren Grenoble (2002, réédité) Découvrir le monde à la maternelle avec les mathématiques, 2 tomes PS/MS et GS, Dominique Valentin, Hatier (2005) Mathématiques en PS, Accès Edition (2010) Mathématiques en MS, Accès Edition (2009) Mathématiques en GS, Accès Edition (2009) L album 1, 2 et 3 PS, Brissiaud, Retz (2005) L album à calculer GS, Brissiaud, Retz (2002) Découvrir les quantités et les nombres avec des albums, Guitton, Vouhé et Renault-Girard, Sceren Poitou-Charentes (2008)