Schwarzschild. Denis Gialis. s dr 2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θ dϕ 2, , peut se mettre sous la forme, 2h r s u 2,

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1 [Poblème] Géodéique dan l epace-temp de Schwazchild Deni Giali On conidèe un epace-temp de Schwazchild muni de la métique, d = c ) dt ) d dθ in θ dϕ, avec = G M/c A - Géodéique de paticule maive A- - Détemine le équation de géodéique, en utiliant le pincipe vaiationnel, pou une paticule maive A- - Monte que l équation de la tajectoie d une paticule, de mae m non nulle, dan le plan équatoial θ = π, peut e mette ou la fome, avec u /, et h ϕ dφ + u = c h + 3 u, A-3 - Expime la quadivitee d une paticule maive en chute libe elon un mouvement adial, et aivant de l infini an vitee initiale, c et-à-die meuant un temp pope τ, tel que τ loque + En déduie l expeion de en fonction de τ, pui de t, la coodonnée tempoelle d un obevateu tationnaie itué à gande ditance de l objet cental, en fonction de Quelle duée de voyage va meue la paticule pou pae de τ = 0) à = 0? Que e pae-t-il pou l obevateu? A-4 - Détemine l énegie totale et le moment cinétique pécifique d une paticule maive en chute libe elon un mouvement ciculaie unifome en = 0 Quelle condition doit véifie 0 pou qu une telle tajectoie exite? A-5 - Monte que pou une paticule maive en chute libe autou d une mae centale, on peut écie ) d + V eff) = K, dτ avec V eff ), le potentiel effectif pa unité de mae, et K une contante que l on péciea Détemine quelle valeu de coepond à la denièe obite ciculaie table Docteu en Atophyique - Univeité J Fouie, Genoble

2 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali B - Géodéique de paticule de mae nulle B- - Détemine le équation de géodéique, en utiliant le pincipe vaiationnel, pou une paticule de mae nulle comme le photon B- - Monte que l équation de la tajectoie d une paticule de mae nulle, dan le plan équatoial θ = π, peut e mette ou la fome, dφ + u = 3 u, avec u / En déduie qu il exite une unique tajectoie ciculaie pou une telle paticule B-3 - Détemine l équation du mouvement d un photon e déplaçant uniquement uivant la coodonnée B-4 - Monte que, pou une paticule de mae nulle, on peut écie ṙ h + V eff) = b, ) en explicitant V eff ) et la contante b Dicute de l évolution de pou une paticule aivant de l infini, uivant la valeu de b, et expime on angle de déviation ou la fome d une intégale B-5 - Expime la déviation d un ayon lumineux aivant de l infini loque b 3 3/) C - Effet Shapio On conidèe un photon qui et émi pa un obevateu A depui une ditance, qui pae au plu pè du cop cental à une ditance 0, et qui et envoyé ve A au point B itué à une ditance 0 C- - En utiliant l équation ), monte que /) 3 ) d + c b c dt / = 0 En déduie l expeion de 0, en fonction de b et 0, au pemie ode en C- - Expime la difféence de coodonnée tempoelle, t, 0 ), ente un point de la ligne d unive du photon itué à une ditance, et le point d appoche minimale en 0 Effectue un développement au pemie ode en / pou obteni [ + c t, 0 ) 0) / + ln 0) / ] + 0 ) / C-3 - En déduie le etad tempoel, meué pa l obevateu A, pa appot au ca où l epacetemp eait conidéé comme étant plat C et l effet Shapio ou etad de l écho ada Deni Giali c 00

3 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali Solution A- - Suivant la métique de Schwazchild, nou pouvon conidée le lagangien uivant, noté L, tel que L = c ) ṫ ) ṙ θ in θ ϕ ), dan lequel le déivée tempoelle ont pie pa appot au temp pope τ, paamète de la ligne d unive de la paticule maive : autement dit, on notea ẋ µ = dx µ /dτ Le pincipe vaiationnel écivant δ L dτ = 0, le équation d Eule-Lagange donnent, x µl d τ ẋµl = 0, avec x µ {t,, θ, ϕ}, ce qui et équivalent au ytème, ) c + ṫ ) ṫ = C, ) ṙ θ + in θ ϕ ) = 0, θ + ṙ θ avec C et C, deux contante que nou allon identifie in θ co θ ϕ = 0, in θ ϕ = C, A- - La toiième équation admet pou olution paticulièe θ = π/ : la métique de Schwazchild étant, pa contuction, à ymétie phéique, cela monte que le tajectoie de paticule ont plane ou, plu péciément, ont contenu dan une hypeuface coodonnée d équation θ = θ 0 On peut étudie le géodéique, pa exemple, dan le plan ou hypeuface d équation θ = π/, et généalie le éultat obtenu à n impote quelle hypeuface coodonnée Le équation pécédente e implifient alo pou obteni le ytème : ) c + ṫ ) ṫ = C, ) ṙ ϕ = 0, ϕ = h, avec h = ϕ = C Une aute équation peut emplace la deuxième équation de ce ytème, qui et donnée pa la métique d dτ = ) ṫ ) ṙ ϕ = c En utiliant le deux aute équation, on peut élimine le coodonnée t et ϕ, pou obteni ṙ + h ) c = c C ) ) Pa ailleu, d apè ce ytème, et pa conevation du vecteu quadi-impulion, p µ = m ẋ µ, d une paticule, de mae m, le long d une géodéique, on peut écie p 0 = m g 00 ṫ = C m c, p 3 = m g 33 ϕ = m h Deni Giali c 00 3

4 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali Un obevateu au epo en l infini, de quadi-vecteu vitee u µ =, 0, 0, 0) meuea pou cette paticule une énegie E égale à p µ u µ, c et-à-die C m c La contante C n et donc ien d aute que le appot ente l énegie totale de la paticule u on obite, et on énegie au epo : C = E/m c Quant à la contante h, elle peut ête définie comme le moment cinétique pécifique de la paticule Enfin, on peut é-expime ṙ comme étant d dτ = d dϕ dϕ dτ = h ce qui pemet de é-écie l équation ) ou la fome d dϕ, ) h d + h dφ = c C ) + c + h 3 En poant u /, on obtient facilement ) du + u = c dφ h C ) + c u h + u 3 En déivant pa appot à ϕ, on aive à l expeion demandée dφ + u = c h + 3 u 3) A-3 - Soit [ẋ µ ], le quadi-vecteu vitee de la paticule La paticule et an vitee initiale à l infini, donc on énegie et E = m c, c et-à-die C = : cela implique ẋ 0 = ṫ = ) Le mouvement conidéé et puement adial donc ẋ 3 = ϕ = 0, ẋ = θ = 0, et h = 0 L équation ) devient donc ẋ = ṙ = c Cette équation intège facilement pou obteni Enfin, comme on peut écie τ) = d dt = d dτ 3c ) /3 τ + 0) 3/ 4) dτ dt = c ), on touve, en intégant, t) = 0 3 3c 3 + c ) [ 0 + c ln / + ) ] 0 / ) / ), 5) 0 / + ) avec = 0 loque t = 0 On emaque que cette expeion n et valable que pou > D apè la elation 4), pou pae de = 0) à = 0, la paticule va meue une duée pope finie qui et égale à /3c) 0) 3 / Pou l obevateu, et d apè la elation 5), t +, Deni Giali c 00 4

5 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali loque : la paticule va donc mette une duée infinie pou aive à = A-4 - Pou une obite ciculaie de ayon 0, u = / 0, donc l équation 3) devient / 0 = c h + 3 / 0 ) On en déduit le moment cinétique pécifique, 0 h = c 0 3/) ), et l équation ) donne alo l énegie, E = C m c = / 0 ) m c 3/) / 0 Enfin, comme 0 ϕ = h, on a ϕ = c 0 0 3/) ), ce qui monte que, pou que l obite ciculaie exite, 0 doit ête tel que 0 > 3 A-5 - L équation ) peut e é-écie ou la fome uivante : avec le potentiel effectif, V eff ) = c c ) d + V eff) = K, dτ + h h 3 = c ) ) + h c, et l on peut défini une énegie mécanique pa unité de mae, qui et bien une contante du mouvement, pa K = c ) E m c Contaiement au potentiel effectif de la dynamique newtonienne, le potentiel effectif elativite peut péente un maximum pou une coodonnée finie, et tend ve loque 0 Pou une obite ciculaie, étant contant, on a la condition dv eff /d = 0, c et-à-die, c h + 3 h = 0 Le deux extema du potentiel effectif ont donc itué en ext = h c h ± ) h 3 c Il n exitent que i h 3 c, et ont confondu i h = 3 c De plu, la condition de tabilité pou l obite ciculaie et donnée pa d V eff /d = 0, c et-àdie, c 3 h + 6 h = 0 Deni Giali c 00 5

6 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali La denièe obite ciculaie table coepond donc la eule coodonnée, véifiant ce deux condition, qui et = 3 B- - Le calcul de géodéique et identique à celui de la quetion A-, mai le déivée ne ont plu pie pa appot au temp pope de la paticule, ca celui-ci n exite pa pou une paticule de mae nulle : on choiit donc, à la place de τ, un paamète affine quelconque noté λ pou la ligne d unive de la paticule On a donc ) c + ṫ avec C et C, deux contante qu il ete à identifie ) ṫ = C, ) ṙ θ + in θ ϕ ) = 0, θ + ṙ θ in θ co θ ϕ = 0, in θ ϕ = C, B- - Le aionnement et le même que pou la quetion A- ; dan le plan équatoial θ = π/, on a le ytème uivant ) ṫ = C, ) c + ṫ ) ṙ ϕ = 0, ϕ = h, avec h = ϕ = C Là encoe, la deuxième équation peut ête emplacée pa d /dλ = 0, c et-à-die, ) ṫ ) ṙ ϕ = 0 6) Avec le deux aute équation, on obtient facilement ṙ + h ) = c C, 7) ce qui, loqu on change la vaiable pa /u, et qu on déive pa appot à ϕ, conduit à dφ + u = 3 u 8) Pou une obite ciculaie /u = 0 et donc une contante unique qui et égale à 3/) B-3 - Lo d un mouvement adial, φ = θ = 0, et la elation 6) devient donc ) ṫ ) ṙ = 0, c et-à-die, d c dt = ± ) Le igne du membe de doite coepond aux deux en de pacou poible pou le photon En intégant, on obtient c t = ± + ln ) + contante Deni Giali c 00 6

7 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali B-4 - L équation 7) e é-écit avec le potentiel effectif, ṙ h + V eff) = b, 9) V eff ) = ), et, la contante b = h/c C ) Le potentiel V eff ne poède qu un extemum, qui et un maximum, loque = 3/) : il vaut alo 4/7 ) L unique obite ciculaie définie à la quetion B- et donc intable Pa ailleu, comme h = ϕ, on déduit ϕ ṙ = dϕ d = [ b ) ] /, ce qui implique, loque b >, dϕ = ±b/ ) d, c et-à-die = b/ϕ, avec ϕ 0 pou + Ce éultat n et valable que pou ϕ Cependant, loque, on peut conidée que 3/) u et négligeable devant le aute teme de l équation 8), ce qui donne dφ + u = 0, ce qui conduit à = A/ in ϕ, avec la condition ϕ 0 pou +, et A une contante La compaaion avec le éultat pécédent monte que A = b La contante b peut donc ête définie comme le paamète d impact de l obite de la paticule loqu elle aive ou epat à l infini Aini, d apè la elation 9) : a) Si /b > V eff ) pou tout, c et-à-die i b < 3 3/), la paticule an mae et captuée pa l objet cental b) Si /b = V eff 3 /) = 4/7 ), la paticule uit une obite ciculaie intable c) Si la paticule aive de l infini, et qu il exite min tel que /b = V eff min ), alo la paticule ne peut pa appoche en-deçà de = min, la ditance minimale d appoche de la paticule, et elle epat à l infini Dan ce ca, la déviation de la paticule écit ϕ = + min [ b ) ] / d B-5 - Loque b 3 3/), le ayon et faiblement dévié en atteignant la ditance minimale d appoche Nou avon vu que, dan l équation 8), le teme de doite pouvait ête négligé pou obteni la olution u = in ϕ/b Effectuon un développement petubatif de cette équation, à l ode en δu, en poant u = in ϕ/b + δu, avec δu u : on obtient facilement l équation, d δu dφ + δu 3 in ϕ b Cette équation admet pou olution paticulièe, δu = 3 4 b + 3 ) co ϕ, Deni Giali c 00 7

8 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali ce qui implique, u = in ϕ b b + 3 ) co ϕ Loque +, ϕ 0, et on a in ϕ ϕ et co ϕ : on déduit donc, de l équation pécédente, ϕ /b La déviation totale vaut donc δϕ = ϕ = /b C- - On expime d abod ṙ = d/dλ) en fonction de d/dt) : d apè la pemièe équation de géodéique de la quetion B-, on a ) d = dλ dt dλ ) ) d = dt C /) ) d dt En emplaçant ṙ pa cette expeion dan l équation 9), avec b diectement = h /c C ), on obtient /) 3 ) d + c b c dt / = 0 0) En 0, au point minimal d appoche, d/dt = 0, donc 0 obéit à l équation c et-à-die, c b 0 c / 0 = 0, 3 0 b 0 + b = 0 Le acine de cette équation e touvent analytiquement gâce, pa exemple, à la méthode de Tataglia, mai le calcul exact n a aucun intéêt ici On e popoe plutôt de touve une appoximation de 0 avec un développement petubatif à l ode en A l ode 0, comme 0, on touve que 0 b Poon alo 0 = b + δ 0, avec δ 0 0, pou touve autement dit, δ 0 / b 3 + 3b δ 0 b 3 b δ 0 + b 0, C- - En emplaçant c b pa c 0)/ / 0 ) dan l équation 0), on peut écie ce qui implique, d dt = c c t, 0 ) = 0 / ) [ ] / 0 /), / 0 ) [ ] / 0 /) d / 0 ) En développant l intégande au pemie ode en /, on touve / [ ] / 0 /) = / 0 ) L intégale pécédente peut donc ête calculée, et on obtient [ 0 + )/ + ) )] ) + o [ + c t, 0 ) 0) / + ln 0) / ] + 0 ) / Deni Giali c 00 8

9 Epace-temp de Schwazchild - Deni Giali C-3 - Dan le ca d un epace-temp plat, la ditance ente A et B écit implement d AB = 0) / + 0) / Dan note ca, cette même ditance et, d apè la quetion pécédente, c t, 0 ) + c t, 0 ) La difféence de ditance, u l alle-etou, e taduit pa un etad u le coodonnée tempoelle pou A, qui et t A = [ t, 0 ) + t, 0 ) d AB /c] En uppoant que 0 et 0, on a [ )] c t i, 0 ) i 0) / + ln i 0 pou i {, } Le etad tempoel peut alo écie t A = [ )] + ln c L obevateu en A meuea donc un etad u on hologe égal à 0 τ A = / ) / t A Comme, on peut implement die que τ A t A, Deni Giali c 00 9