PROPRIÉTÉ Dans une expression sans parenthèses. les multiplications et les divisions doivent être effectuées avant les additions et les soustractions.

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1 1 Expressions sans parenthèses OBJECTIF 1 PROPRIÉTÉ Dans une expression sans parenthèses, les multiplications et les divisions doivent être effectuées avant les additions et les soustractions. s Calcul de A = A = A = + 20 A = 2 On effectue d abord la multiplication Calcul de B = 12 6 : 2 B = 12 6 : 2 B = 12 B = 9 On dit que la multiplication et la division sont prioritaires sur l addition et la soustraction. On effectue d abord la division PROPRIÉTÉ Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite (on dit aussi «dans le sens de lecture»). Calcul de A = A = A = 4 + = PROPRIÉTÉ Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite (on dit aussi «dans le sens de lecture»). Calcul de B = 0 : 5 2 B = 0 : 5 2 B = 6 2 = 12 PROPRIÉTÉ Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des additions, on peut effectuer les calculs dans l ordre que l on veut. On dit que l addition est commutative. Il y a trois façons de calculer l expression A = qui conduisent toutes au même résultat final. Première façon A = A = = 2 Deuxième façon A = A = = 2 PROPRIÉTÉ Dans une expression sans parenthèses qui ne contient que des multiplications, on peut effectuer les calculs dans l ordre que l on veut. Troisième façon A = A = 20 + = 2 On dit que la multiplication est commutative. Il y a trois façons de calculer l expression B = 10 8 qui conduisent toutes au même résultat final. Première façon A = 10 8 A = 0 8 = 240 Deuxième façon A = 10 8 A = = 240 Troisième façon A = 10 8 A = 80 = 240

2 2 Expressions avec parenthèses OBJECTIF 2 PROPRIÉTÉ Dans une expression contenant des parenthèses, on effectue en premier les calculs contenus dans les parenthèses. Calcul de A = 8 + (10 2 ) A = 8 + (10 2 ) A = 8 + (10 6) A = A = A = 20 Calcul de B = B = ( + 4 2) : (5 + ) + 10 B = = B = 1, = 11, = (2 : ) : 4 = 2 : ( : 4) Dans l expression entre parenthèses, c est la multiplication qui est prioritaire. On calcule donc 2. Pour finir le calcul entre parenthèses, on calcule On termine le calcul de A en respectant les priorités des opérations. Dans une expression contenant des écritures fractionnaires, il faut considérer que le numérateur et le dénominateur sont entre parenthèses. Vocabulaire OBJECTIF DÉFINITIONS Le résultat d une addition s appelle une somme et les nombres utilisés s appellent les termes. Le résultat d une soustraction s appelle une différence et les nombres utilisés s appellent les termes. Le résultat d une multiplication s appelle un produit et les nombres utilisés s appellent les facteurs. Le résultat d une division s appelle un quotient. s L expression est une somme car la dernière opération effectuée est une addition. L expression (5 + 2) 6 est un produit car la dernière opération effectuée est un produit est la somme de 18 et du produit de 1 par est le quotient de la différence entre 8 et 4 par le produit de 12 et de. 12 Selon la dernière opération effectuée, on dit que cette expression est une somme, un produit, une différence ou un quotient. Thème A Nombres et calculs

3 4 Quotient et fraction OBJECTIF 4 DÉFINITION Soit deux nombres n et d (avec d 0). Le quotient de n par d est le nombre qui, multiplié par d, donne n. On peut écrire ce nombre en écriture fractionnaire : n d. s Par quel nombre faut-il multiplier 4 pour obtenir 21? 4 = 21? C est le quotient 21. En effet, = 21. Ce quotient a aussi une écriture décimale : 21 = 21 : 4 = 5,25. 4 Par quel nombre faut-il multiplier pour obtenir 22? = 22? C est le quotient 22. En effet, 22 = 22. En revanche, ce quotient n a pas d écriture décimale exacte, car la division de 22 par ne se termine pas : 22 :, DÉFINITION Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. Parmi les écritures fractionnaires 2,5, 8 5,2,,4 4,8 et 8, seule 8 est une fraction. Fractions et proportions Dans le collège d Arthur, 2 des élèves sont demi-pensionnaires ; dans celui de Yaëlle, 5 1 des élèves sont demi-pensionnaires. Dans quel collège y a-t-il le plus d élèves demipensionnaires sachant que les deux collèges ont le même nombre d élèves? Pour comparer des fractions (et donc des proportions), on peut revenir à leur écriture décimale ou les placer sur une droite graduée : Collège d Arthur Collège de Yaëlle : la proportion d élèves demi-pensionnaires est plus grande dans le collège d Arthur. 5 Écritures fractionnaires égales OBJECTIF 5 PROPRIÉTÉ Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non b nul. b k a b = a k ou a b k b = a k b k s,2 =,2 10 1,5 1,5 10 = = 12 2 = 4, la fraction a été «simplifiée» par.

4 DÉFINITION Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0. «a est divisible par b» signifie : «a est dans la table de b». Il existe des moyens simples pour savoir si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division euclidienne : ce sont les critères de divisibilité. Critères de divisibilité Critère de divisibilité par 2 : un nombre est divisible par 2 s il est pair, ce qui signifie que son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou est divisible par 2 alors que 26 ne l est pas. Critère de divisibilité par : un nombre est divisible par si la somme des chiffres qui le composent est divisible par. s 1 46 est divisible par, car = 18 et 18 est divisible par n est pas divisible par, car = 19 et 19 n est pas divisible par. Critère de divisibilité par 5 : un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. s 2 05 est divisible par 5, car le chiffre des unités est est divisible par 5, car le chiffre des unités est n est pas divisible par 5, car le chiffre des unités n est ni 0 ni 5, mais. Un nombre divisible par 2 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5. 6 Égalité des produits en croix OBJECTIF 6 PROPRIÉTÉ Soit quatre nombres relatifs a, b, c et d (avec b 0 et d 0). Dire que a b = c signifie que a d = c b. d Ceci revient à dire que le tableau a c b d est un tableau de proportionnalité. s Les fractions 4 51 et 2 Compléter l égalité 2 sont-elles égales? Oui, car 4 = 2 51 = = 20?. Compléter cette égalité revient à compléter 2 = = 105, ce qui revient à compléter 2 = 105. Or, = 15, donc 2 15 = : 2 Thème A Nombres et calculs 105

5 Nombres relatifs OBJECTIF DÉFINITION à zéro. Un nombre relatif est formé d un signe + ou et d un nombre appelé distance s (+ ) est un nombre relatif : son signe est + ; sa distance à zéro est. ( 4) est un nombre relatif : son signe est ; sa distance à zéro est DÉFINITIONS + 4 Les nombres comportant un signe sont appelés les nombres négatifs. Les nombres comportant un signe + sont appelés les nombres positifs. 0 Remarque Par convention, on ne met pas de signe devant le nombre 0. 0 est à la fois un nombre négatif et positif. 8 Repérer et comparer des nombres relatifs OBJECTIF 8 DÉFINITION Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif. On dit que ce nombre est l abscisse de ce point. s E La flèche indique le sens croissant des nombres. D C O A B 5, L abscisse de A est (+ ). On note A (+ ). De même, on note B (+ 5), C ( 2), D ( 4) et E ( 5,5). DÉFINITION Un repère orthogonal du plan est composé de deux droites graduées perpendiculaires et de même origine. L une est appelée axe des abscisses et l autre axe des ordonnées. Dans un repère du plan, la position d un point est donnée par un couple de nombres relatifs. + est l abscisse du point A et + 1 est son ordonnée. On dit que le point A a pour coordonnées (+ ; + 1) et on note A (+ ; + 1). +2 E ( 2 ; +1) Axe des ordonnées F (0 ; +) A (+ ; +1) + +4 B (+5 ; 0) Axe des abscisses D ( 2 ; 4) C (+2 ; )

6 PROPRIÉTÉS De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro. De deux nombres de signes contraires, le plus grand est le nombre positif. De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro. s (+ 2), (+ 4) ( 12), (+ 2) ( 5), ( ) 9 Somme et différence de nombres relatifs OBJECTIF 9 A B C Somme de deux nombres relatifs PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme a ce même signe et a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres. s (+ ) + (+ ) = (+ 10) ( 8) + ( 4) = ( 12) PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme : a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres. s ( ) + (+ ) = (+ 4) car :. donc la somme de (+ ) et ( ) a le signe de (+ ) et = 4. (+ 2) + ( 8) = ( 6) car : 8. 2 donc la somme de (+ 2) et ( 8) a le signe de ( 8) et 8 2 = 6. DÉFINITION Dire que deux nombres relatifs sont opposés signifie que leur somme est égale à zéro. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro, mais sont de signes contraires. ( ) + (+ ) = 0 donc ( ) et (+ ) sont opposés. Différence de deux nombres relatifs PROPRIÉTÉ Soustraire un nombre, c est ajouter son opposé. (+ ) ( 8) = (+ ) + (+ 8) = (+ 11) car l opposé de ( 8) est (+ 8). Soustraire ( 8) revient donc à ajouter (+ 8). Convention d écriture CONVENTION Dans une suite d additions de nombres relatifs, on peut : supprimer les signes d addition et les parenthèses autour des nombres ; supprimer le signe «+» devant un nombre s il se trouve en début de ligne. Soit l expression A = (+ 6) + ( ) + (,5) + (+ 9,2). A = (+ 6) + ( ) + (,5) + (+ 9,2) On supprime les signes d addition et les parenthèses. A = + 6,5 + 9,2 On supprime le signe «+» en début de ligne. A = 6,5 + 9,2 Les signes qui apparaissent dans l expression finale sont donc les signes des nombres. Thème A Nombres et calculs

7 10 Opérations sur les nombres relatifs OBJECTIF 10 A Rappels sur l addition et la soustraction PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme : a ce même signe ; a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres. s (+1) + (+8) = +21 ( 12) + ( 5) = 1 PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur somme : a le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; a pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres. s ( ) + (+19) = +12 (+5) + ( 1) = 8 PROPRIÉTÉ Soustraire un nombre, c est ajouter son opposé. (+5) ( 9) = (+5) + (+9) = +14 B Multiplication PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur produit : est positif ; a pour distance à zéro le produit des distances à zéro des deux nombres. s (+5) (+) = +5 ( ) ( 4) = +12 PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur produit : est négatif ; a pour distance à zéro le produit des distances à zéro des deux nombres. s (+6) ( 2) = ( 12) ( ) (+8) = ( 24) PROPRIÉTÉ Dans un produit de plusieurs nombres relatifs différents de zéro : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ; Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif. s ( 1) ( 2) (+) ( 4) ( 5) = +120 Il y a quatre facteurs négatifs dans ce produit, il est donc positif. ( 1) (+2) ( ) ( 4) (+5) = 120 Il y a trois facteurs négatifs dans ce produit, il est donc négatif.

8 C Division PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur quotient : est positif ; a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro des deux nombres. s = = +5 PROPRIÉTÉ Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors leur quotient : est négatif ; a pour distance à zéro le quotient des distances à zéro des deux nombres. s = 2, = 4,5 D Valeurs approchées d un quotient DÉFINITIONS À un rang donné : la troncature d un nombre est sa valeur approchée par défaut ; l arrondi d un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est le plus proche du nombre. s En effectuant 25 sur une calculatrice, elle affiche : Rang Encadrement par les valeurs approchées par défaut et par excès Troncature Arrondi À l unité, 25, 4 4 Au dixième,5, 25,,6,5,6 Au centième,5, 25 Au millième,51, 25,,58,5,5,,52,51, = 2,125. Par convention, l arrondi au centième de 1 8 est 2,1. 11 Enchainements d opérations OBJECTIF 11 PROPRIÉTÉ Pour calculer une expression, on effectue : les carrés, les cubes, etc., les calculs entre parenthèses, les multiplications et les divisions, et enfin les additions et les soustractions. Quand des opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite. s A = ( 11) A = ( 8) A = 1 + ( 40) A = 2 A = 4 B = B = B = B = B = 0 Thème A Nombres et calculs

9 Additionner et soustraire des nombres en écriture 12 OBJECTIF 12 fractionnaire PROPRIÉTÉ Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur : on additionne (ou soustrait) leurs numérateurs ; on garde leur dénominateur. a, b et c étant trois nombres relatifs (avec c 0) : a c + b c = a + b et a c c b c = a b c s 4 + = 4 + = ( 6 ) = 9 ( 6) = = 15 Pour calculer 2 5 +, on remarque que 15 est un multiple de On peut mettre les deux fractions au dénominateur 15 : = = = = 1 15 Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire n ayant pas le même dénominateur, on commence par les mettre au même dénominateur. Additionner et soustraire des nombres en écriture 1 OBJECTIF 1 fractionnaire dans le cas général s Pour calculer 1, il faut écrire 8 ces deux fractions avec le même dénominateur : 1 8 = = = = 1 56 Le produit des dénominateurs est toujours un dénominateur commun possible. Pour calculer , il faut écrire ces deux 12 fractions avec le même dénominateur = = = 68 + ( 15) 6 6 = 5 6 Dans cet exemple, on pourrait prendre comme dénominateur commun le résultat de 9 12, mais on préfère prendre un dénominateur plus petit en choisissant 6.

10 Multiplier et diviser des nombres en écriture 14 OBJECTIF 14 fractionnaire A Multiplication PROPRIÉTÉ Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : on multiplie leurs numérateurs entre eux ; on multiplie leurs dénominateurs entre eux. a, b, c et d étant quatre nombres relatifs (avec b 0 et d 0) : a b c d = a c b d = = 45 2 B Inverse d un nombre DÉFINITION est égal à 1. Dire que deux nombres sont inverses l un de l autre signifie que leur produit s 2 0,5 = 1. Les nombres 2 et 0,5 ( ou 1 2) sont inverses l un de l autre. 1 = 1. Les nombres et 1 sont inverses l un de l autre. 4 4 = 1. Les nombres 4 et 4 sont inverses l un de l autre. PROPRIÉTÉ de a b est b a. a et b étant deux nombres relatifs non nuls, l inverse de a est 1 a et l inverse s L inverse de 9 est 1 9. En effet, = 9 9 = 1. L inverse de 1 6 est 6. En effet, = 6 6 = 1. L inverse de 6 est 6. En effet, 6 6 = = 1. C Division PROPRIÉTÉ Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse. a, b, c et d étant quatre nombres relatifs (avec b, c et d non nuls) : a b = a : b = a 1 b et a b : c d = a b d c s 2 5 : 9 = = = : 4 11 = = = 4 11 = Thème A Nombres et calculs

11 15 A Puissances entières d un nombre relatif Puissances positives a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul. OBJECTIF 15 DÉFINITION a n désigne le produit de n facteurs tous égaux à a : a n = a a. a a n facteurs CONVENTIONS Pour tout nombre a non nul, a 0 = 1. Pour tout nombre a, a 1 = a. Vocabulaire a n se lit «a puissance n» ou «a exposant n». s 2 5 = = 2 ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = + 81 Cas particuliers Si n = 1, a 1 = a. 5 1 = 5 Si n = 2, a 2 se lit «a au carré». 5 2 = 5 5 = 25 Si n =, a se lit «a au cube». ( 5) = ( 5) ( 5) ( 5) = 125 B Puissances négatives DÉFINITION a n désigne l inverse de a n. a n = a 1 n, où a est un nombre relatif différent de zéro. s 2 = 1 2 = = 1 8 Cas particulier : Si n = 1, a 1 = 1 a ( ) 2 = 1 ( ) 2 = 1 ( ) ( ) = 1 9 est l inverse de a. 16 Puissances de 10 OBJECTIF 16 A n désigne un entier positif non nul. Calcul d une puissance de 10 PROPRIÉTÉ PROPRIÉTÉ 10 n désigne le produit de n facteurs tous égaux à 10 : 10 n = = n facteurs n zéros 10 n désigne l inverse de 10 n. 10 n 1 = 10 n = 0, n zéros s 10 6 = = = 1 10 = = 0,001

12 B Calculs avec les puissances de 10 PROPRIÉTÉ m et p désignent des entiers relatifs : 10 m 10 p = 10 m + p 10 m 10 p = 10 m p (10 m ) p = 10 m p s = = = ( 8) = = = = ( 4) = 10 9 (10 4 ) = 10 4 = (10 ) 2 = 10 2 = 10 6 C Préfixes scientifiques Les deux tableaux ci-dessous permettent d indiquer, à l aide des puissances de 10, par quel facteur est multipliée une unité pour obtenir des multiples ou sous-multiples de cette unité. Préfixe giga méga kilo milli micro nano Symbole G M k m µ n Signification s Un gigaoctet, noté Go, correspond à une quantité de données numériques de 10 9 octets, soit un milliard d octets. Un microgramme, noté µg, correspond à une masse de 10 6 grammes, soit un millionième de gramme. 1 Notation scientifique d un nombre OBJECTIF 1 A Écriture d un nombre en notation scientifique DÉFINITION La notation scientifique d un nombre décimal positif est la seule écriture de la forme a 10 n dans laquelle le nombre a est compris entre 1 et 10 exclu (1 < a, 10) et n est un entier relatif. s La distance de la Terre au Soleil est d environ km, soit 1, km en notation scientifique. La taille du virus de la grippe est d environ 0, m, soit m en notation scientifique. B Utilisations de la notation scientifique La notation scientifique est utile pour donner un ordre de grandeur ou un encadrement du résultat d un calcul et pour comparer des nombres. Soit A = et B = 0, Nombre Notation scientifique Encadrement Ordre de grandeur A = , , A, 10 8 A 10 B = 0, , , B, 10 B 5 10 Ordre de grandeur du produit A B Thème A Nombres et calculs

13 18 Multiples, diviseurs et nombres premiers OBJECTIF 18 A Multiples et diviseurs DÉFINITION Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul. 0, 1, 2 et sont des entiers naturels. DÉFINITION Dire que l entier naturel a est multiple de l entier naturel b signifie qu il existe un entier k tel que a = b k. On dit aussi : «b est un diviseur de a» ou «a est divisible par b». 15 = 5 donc 15 est un multiple de 5. Autrement dit, 5 est un diviseur de = 12 2 = 2 1 Remarque Remarque Tout nombre est multiple de 1. En effet, quel que soit le nombre entier naturel n, on a : n 1 = n, donc 1 est diviseur de tout nombre entier. Tout nombre est multiple de lui-même, donc tout nombre est divisible par lui-même. B C Nombres premiers DÉFINITION Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. Début de la liste des nombres premiers : 2,, 5,, 11, 1, 1, 19, 2, 29, 1 Mais le nombre 1 n est pas premier, car il n a qu un seul diviseur. Critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 s il est pair, donc s il se termine par 0, 2, 4, 6 ou est divisible par 2, mais 5 ne l est pas. Un nombre est divisible par 5 s il se termine par 0 ou est divisible par 5, mais 921 ne l est pas. Un nombre est divisible par si la somme de ses chiffres est un multiple de. 564 est divisible par, car = 15 qui est un multiple de. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de est divisible par 9, car = 18 qui est un multiple de 9.

14 D Diviseurs communs à deux nombres entiers DÉFINITION Dire qu un nombre d est un diviseur commun de deux nombres entiers a et b signifie que a et b sont divisibles par d. 1, 2, et 6 sont les diviseurs communs à 12 et 18. DÉFINITION Dire que deux nombres entiers sont premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1. Les diviseurs de 12 sont : 1, 2,, 4, 6 et 12. Les diviseurs de 5 sont : 1, 5, et 5. Le seul diviseur commun de 12 et 5 est 1. Donc 12 et 5 sont premiers entre eux. 19 Décomposition et fractions irréductibles OBJECTIF 19 PROPRIÉTÉ On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers. On peut décomposer 588 en produit de facteurs premiers : 588 = Ainsi, 588 = 2 2 = DÉFINITION Soit a et b deux entiers. On dit que la fraction a a et b sont premiers entre eux. b est irréductible lorsque 5 est un fraction irréductible car 5 et sont premiers entre eux. Remarque On peut simplifier facilement une fraction et la rendre irréductible en décomposant son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers. On veut simplifier la fraction = = = = est une fraction irréductible. = 2 5 = 10 Thème A Nombres et calculs

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