Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5

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1 Tle des mtières Frctions 1 Propriété des quotients égux 1 Addition, soustrction de deux frctions Produit de deux frctions Comprison de deux frctions Produit en croix 10 6 Quotient de deux frctions. Inverse 10 Introduction Une frction est le rpport de deux nomres entiers. Le quotient de deux nomres et ( 0) est donné pr l églité de même, 1 Une frction peut toujours s écrire comme le produit du numérteur pr l inverse du dénominteur. Exemples : Mis, ce n est ps l seule possiilité : On reconnît, pour chque produit, une pire de diviseurs du numérteur de l frction à décomposer. 1 Propriété des quotients égux Exemple on colorié rngées sur soit les du rectngle on colorié 6 crrés sur 1 soit les 6 du rectngle 1 on colorié crrés sur 60 soit les du rectngle 60 Puisque les prties coloriées ont l même ire, on l églité des trois frctions : Exemples : Soit l écriture frctionnire de pr. On peut multiplier ou diviser et pr un même nomre k non nul sns chnger l vleur du quotient. k k k k : k : k ,,,, 9 0,, 6 0,, 6 1, 9, 8,,, 10,, 1,,, 1,, 0, 0, 1, 6, 6, 6 9, 8 Pierre Delouy Collège Jnson 1 oût 01

2 : 9 81 : 9 9,, 08, : 1, 0, 08 : 181, 0 80 : 80 : 16 1, 1, :, :, : 6 : 6 9,, :, 1,, 08, 08 :, 01, Remrque importnte : Cette propriété permet : ) d otenir des frctions, égles à l frction initile, ynt un dénominteur donné ; ) de simplifier une frction fin d otenir une frction irréductile où et n ont ucun diviseur commun. Frction de dénominteur donné Technique utilisée pour dditionner des frctions n ynt ps le même dénominteur : réduction u même dénominteur. Exemple 1 : Trouver l frction égle à dont le dénominteur est égl à 1. k k k On utilise l propriété des quotients égux Puisqu on multiplié le dénominteur () de l frction pr cr, il fut AUSSI multiplier le numérteur () de l frction pr, ce qui donne 10. Disposition prtique : L frction cherchée est donc 1 1. et on l églité ) Trouver l frction égle à 9 dont le dénominteur est égl à : Puisqu on multiplié le dénominteur (9) pr (cr 9 ), il fut AUSSI multiplier le numérteur () pr, ce qui donne : ) Trouver l frction égle à 6 dont le numérteur est égl à : Puisqu on multiplié le numérteur () pr 1 (cr 6 1), il fut AUSSI multiplier le dénominteur () pr 1, ce qui donne : Trnsformer une écriture frctionnire en frction Exemples : ) Trnsformer l écriture frctionnire, 6 en frction., 8 Multiplier le numérteur ET le dénominteur pr 10, ce qui donne :, 6, 6 100, , , , 8, 6 10, Il y une infinité de possiilités :, 6, 8 0, 0, 100 ) 1, 6 1, , , Remrque importnte : Il fut multiplier le numérteur ET le dénominteur pr le MÊME nomre, indépendmment du nomre de décimle(s) : 0, 000 1, un entier : 0, , et SURTOUT PAS MULTIPLIER chque nomre pr l puissnce de 10 nécessire pour otenir , 000 0, est FAUX. 1, 1, 10 1 Simplifier une frction Exemple Simplifier l frction 6, c est trouver l frction irréductile Cel revient à trouver le nomre k tel que 6 k k égle à 6. irréductile. Autrement dit, à trouver le plus grnd diviseur commun à et à 6. Pierre Delouy Collège Jnson oût 01

3 Méthode utilisnt les critères de divisiilité des nomres entiers Une méthode simple consiste à utiliser les critères de divisiilité des nomres entiers pr ; ; et 6 sont des multiples de (leur chiffre des unités est un nomre pir), on peut donc écrire : 6 : 6 : 1 ou On dit que l on SIMPLIFIÉ l frction pr On recommence vec l frction 1 que l on peut simplifier pr et 18 sont des multiples de, on peut écrire : : 18 : 6 9 On recommence vec l frction 6 que l on peut simplifier pr. 9 ou est un multiple de, mis 9 ne l est ps ; on ne pourr donc ps «simplifier» l frction 6 pr. 9 On continue vec et on remrque que 6 et 9 sont des multiples de, on peut donc écrire : : 9 : ou 6 9. L frction est irréductile, cr et n ont ucun diviseur en commun. On les églités suivntes : On SIMPLIFIÉ l frction 6 pr Remrque : L ordre dns lequel on utilise les «simplifictions» n ucune importnce : ; mis ussi On peut, ien sûr, directement simplifier pr 1 (si on l «vu») : L recherche directe du plus grnd diviseur commun à deux nomres ne ser vue qu en... Troisième. Méthode consistnt à écrire le numérteur et le dénominteur sous l forme d un produit de fcteurs premiers Une utre méthode consiste à écrire le numérteur et le dénominteur sous l forme d un produit de fcteurs premiers (nomre qui n que deux diviseurs, 1 et lui-même) et à simplifier l frction otenue. On dmettr que cette décomposition est toujours possile. 1 6 ; de même, Le plus grnd diviseur commun à et à 6 est donc égl à 1 6 près simplifiction pr 1. Simplifier l frction : près simplifiction pr, pr et pr 1, soit pr 1 8 Ce nomre s ppelle le p.g.c.d. (plus grnd diviseur commun) de 96 et 1 0. cr et et 1 et 11 n ont ps de diviseur commun. On peut ussi utiliser l méthode des diviseurs : dns l liste de tous les diviseurs communs à 96 et 1 0 : 1,,, 6, 1, 6, 9, 8, 8 est le plus grnd Addition, soustrction de deux frctions Les deux frctions ont le même dénominteur, et c sont trois nomres et c 0. On les deux reltions suivntes : c + c + c c c c On dditionne (soustrit) les numérteurs et on conserve le dénominteur. Pierre Delouy Collège Jnson oût 01

4 Remrques Ces églités peuvent s étendre à une somme ou une différence de plus de deux frctions, il suffit d dditionner ou de soustrire tous les numérteurs et de conserver le même dénominteur. Exemple : Il est même possile de «mélnger» dditions et soustrctions, il suffit d dditionner et soustrire les numérteurs (nomres reltifs) Chcune de ces deux églités peut se lire dns les deux sens : De guche à droite, on trnsforme deux frctions en une seule ynt toutes le même dénominteur : De droite à guche, on décompose une frction en deux frctions ynt toutes les deux le même dénominteur : Une utre décomposition possile est : ,,. Ces multiples possiilités de décomposition d une frction en une somme ou une différence de deux frctions permettent de fire du clcul mentl en cherchnt des multiples «simples» du dénominteur. Exemples : , ,. Additionner ou soustrire un nomre entier et une frction C est un cs prticulier de l somme de deux frctions : une des frctions est un nomre entier. Exemple : clculer + 1 Écrire sous l forme d une frction dont le dénominteur est égl à en utilisnt l propriété des quotients égux : En effet, puisqu on multiplié le dénominteur (1) de l frction pr, il fut AUSSI multiplier le numérteur () pr, ce qui donne 1 6. L frction cherchée est 6. Donc 6. Addition de deux frctions de dénominteurs différents Règle importnte : Pour dditionner deux frctions, il fut qu elles ient le même dénominteur, si c est le cs, on utilise l propriété précédente ; sinon, il fut réduire les deux frctions u même dénominteur. Il est toujours possile de prendre pour dénominteur commun, le produit des deux dénominteurs, toutefois, dns le cs où les deux dénominteurs ont un ou plusieurs diviseur(s) commun(s), le dénominteur commun est inférieur u produit des deux dénominteurs. 1) Un dénominteur est un multiple de l utre : étnt un multiple de, il suffit de trnsformer en quinzièmes : 9 1. Donc, On dir que 1 est le plus petit multiple commun à et à 1, cr ) Les deux dénominteurs ont un seul diviseur en commun : On pourrit écrire : et simplifier cette frction pr : ; Mis, on constte que l on simplifié les deux frctions pr ; ce qui n est ps un hsrd, puisque c est un diviseur commun à 10 et à 1 : 10 et 1 et c est même leur plus grnd diviseur commun. On dir que est le plus grnd diviseur commun à 10 et à 1 et on le note : p.g.c.d.(10 ; 1). Pour éviter ces opértions «inutiles», il est préférle de simplifier chcune des deux frctions : Pierre Delouy Collège Jnson oût 01

5 Le plus simple est de choisir le plus petit dénominteur possile, c est-à-dire, le plus grnd diviseur commun à 10 et à Le plus petit multiple commun à 10 et à 1 se note : p.p.c.m.(10 ; 1) est donc égl à : Il suffit donc ici, de diviser le produit des deux dénominteurs pr, ce qui donne comme dénominteur commun : On donc : On multiplie le numérteur et le dénominteur de 10 pr et le numérteur et le dénominteur de 8 1 pr 0. Remrque : p.g.c.d.(10 ; 1) p.p.c.m.(10 ; 1) Cette églité est vrie pour deux nomres entiers quelconques. Le plus petit multiple commun à deux nomres est donc égl à leur produit divisé pr leur p.g.c.d et ; donc, ) Les deux dénominteurs ont plusieurs diviseurs en commun : Un dénominteur commun possile est le produit ; toutefois, 1 et 18 ont des diviseurs en commun et leur plus grnd diviseur commun est 6, cr 1 6 ; 18 6 et et n ont ps de diviseurs communs. Multiples de Multiples de Le plus petit multiple commun à 1 et à 18 est donc égl à 16 6 Il suffit de multiplier le numérteur et le dénominteur de 1 Clculer , cr pr et le numérteur et le dénominteur de pr et 10 sont des multiples de, on peut donc les diviser pr ce qui donne : 9 et et sont des multiples de, on peut donc les diviser pr ce qui donne : 9 et. et n ont ps de diviseur en commun donc, les deux dénominteurs sont des multiples de. En effet : et Le plus petit multiple commun à et à 10 est donc égl à, cr On peut donc écrire et sous l forme de frctions dont le dénominteur est égl à : ; ; donc ) Les deux dénominteurs n ont ps de diviseurs en commun : + On remrque que n est ps un multiple de, le plus petit multiple commun à et à est leur produit, cr et n ont ps de diviseurs communs. 0 Il suffit de réécrire les deux frctions et multiplier chque frction pr le dénominteur de l utre frction Produit de deux frctions Exemple 1 Déut mi, Toto plnté rngées de sldes. A l fin du mois de juin, il lui reste / de ses sldes. Il lui reste donc rngées de sldes soit 1 sldes Pr quel nomre fut-il multiplier 1 pour otenir 1? Pr le quotient 1 1 1, en effet, 1 1 et A l fin du mois de juillet, il lui reste des sldes encore présentes à l fin du mois de juin. On donc multiplié 1 pr : ce qui donne 1 1. O O O O O O O O O O O O O O O Pierre Delouy Collège Jnson oût 01

6 Puisqu il lui reste rngées de sldes, / représentent rngées de sldes. Il lui reste donc 1 8 sldes. On donc multiplié 1 pr, ce qui donne 1 8. Mis si on remplce 1 pr 1, l dernière églité s écrit à présent 1 8. Autrement dit, quel est le nomre qui, multiplié pr 1 donne 8? Il s git du quotient 8 1. Autrement dit, 8 1. Exemple On coupe un gâteu en qutre prts égles, chque prt représente donc un qurt du gâteu. Si un enfnt prend trois prts, c est-à-dire trois qurts ( ) du gâteu et qu un utre souhite prendre les de l prt du premier, quelle est l prt du second enfnt? prt du 1 er enfnt 10 prt du ème enfnt 1 chque nouvelle prt (en rouge) représente 0 du gâteu Puisque le second enfnt prend les de l prt du premier enfnt (les du gâteu), pour déterminer l prt du second enfnt, il fut prtger l prt du premier enfnt (les trois qurts du gâteu) en cinq prts égles, puis prendre deux prts (en rouge). Il y qutre qurts, le gâteu doit donc être coupé en 0 prts égles. L prt du premier enfnt est donc égles à 1 prts soit 1 du gâteu. 0 Prtgeons ces 1 prts en prties égles, chque prtie représente 1 de l prt du premier enfnt et comporte donc prts ( 0 ) de gâteu, on en déduit que l prt du second enfnt est le doule donc 6 0 ou 10. Prendre les / de / se trduit en multiplint ces deux frctions Le prolème peut mintennt se lire de l mnière suivnte : on coupe un gâteu en vingt prts égles, chque qurt du gâteu représente donc cinq prts : 1 0. Si un enfnt prend les trois qurts, c est-à-dire quinze prts : 1 et qu un utre prend les / de l prt du premier, quelle est l 0 prt du second enfnt? 1 est un multiple de, 1 (représente 1/ de l prt du premier enfnt) et 6 On peut ussi risonner de l mnière suivnte : on ppelle N on sit que et ( ) ( ) ; donc 6 ( mis peut ussi s écrire ( ) ) 0 N. Donc 0 N 6 et N 6 0 Ou encore : s il y vit eu gâteux, le 1 er enfnt en urit pris, cr et le second : Mis n est ps divisile pr. On utilise l proportionnlité en cherchnt un multiple commun à et à, soit leur produit : 1. On multiplie tout pr : s il y vit eu 0 gâteux, le 1 er enfnt en urit pris 1, cr 0 1 peut s écrire ( ) 6 1 et le second : Pour tous nomres entiers,, c et d, tels que 0 et d 0, c d c d Pour multiplier deux frctions, il suffit de multiplier les numérteurs entre eux et les dénominteurs entre eux, puis de simplifier le résultt, si c est possile. Toutefois, il est préférle de simplifier les deux frctions AVANT d effectuer le produit. Pierre Delouy Collège Jnson 6 oût 01

7 Exemples : Prendre une frction d une frction Prendre une frction d une frction, c est multiplier les deux frctions entre elles. Exemple : Prendre les 1 de, c est multiplier 1 pr ; Puisque 1, il est possile d écrire Prendre une frction d un nomre Prendre une frction d un nomre est un cs prticulier de l multipliction de deux frctions dont l une d elles est un nomre entier (son dénominteur est égl à 1). Exemple : prendre les de Les deux rngées en june représentent les du rectngle Ce rectngle contient rngées de crreux, donc 1 rngée représente 1 du rectngle et rngées, les. Prendre de 1 revient donc à multiplier pr 1 : Il y donc 10 crreux (en june). mis, on peut ussi écrire 1 1 et utiliser l propriété du prgrphe. 1 Comprison de deux frctions Pour comprer deux frctions, il fut qu elles ient, soit le même dénominteur, soit le même numérteur, ou que l on puisse les comprer à un même nomre. On considère deux enfnts se prtgent deux gâteux identiques. Les deux frctions ont le même dénominteur Exemple : comprer les frctions et. Les deux frctions ont le même dénominteur, on donc coupé les deux gâteux en prts égles ; chque prt représentnt 1 du gâteu. signifie que le 1er enfnt prend prts et, que le ème enfnt prend prts. Puisque <, on en conclut que est plus petit que, ce que l on écrit < ou. est plus grnd que, ce que l on écrit >. Pierre Delouy Collège Jnson oût 01

8 Propriété Si deux frctions ont le même dénominteur, l plus grnde est celle qui le plus grnd numérteur., et c sont trois nomres. Si > c, lors > c réciproquement, si > c, lors > c Deux frctions ynt le même dénominteur sont rngées dns le même ordre que leurs numérteurs. Exemples : 11 > donc, 11 > > 11 donc > 11 > donc, > 8 > 8 donc, > Comprer et ; > donc > Comprer 8 et 8 ; < donc 8 < 8 Démonstrtion : On utilise l reltion : et on multiplie les deux frctions pr > 0. On peut ussi «trnsposer» c dns le memre de guche, ce qui donne c > 0, utiliser l propriété d ddition de deux frctions : c c > 0 ; puisque le dénominteur est strictement positif, il en est de même du numérteur c. Puisque c > 0, on en déduit > c. Un dénominteur est un multiple de l utre Comprer les frctions et 1. Le dénominteur signifie que le 1 er enfnt coupé son gâteu en prts, chcune égle à 1/ du gâteu, lors que le dénominteur 1, que le ème enfnt coupé son gâteu en 1 prts, chcune égle à 1/1 du gâteu. Les prts n étnt ps égles, il fut couper les prts du 1 er gâteu fin d otenir les prts du ème gâteu, mis 1 est un multiple de, ce qui signifie que l on v couper chque prt du 1 er gâteu en trois fin d otenir 1 prts, le nomre de prts du ème gâteu. Les deux prts du 1 er gâteu, coupées en, donnent 6 prts du ème gâteu, 6 1. Les deux frctions ont mintennt le même dénominteur 6 1 et 1 ; on utilise l propriété précédente et 6 1 > 1. Conclusion : pour comprer deux frctions dont un des deux dénominteurs est un multiple de l utre, il suffit de les réduire u même dénominteur. Exemple : Comprer 11 6 et. Puisque 6 est un multiple de, on réduit en sixième, ce qui donne 10 6 On donc à comprer ; 11 > 10 donc 6 6 > 10 6 et 11 6 > Les deux frctions ont le même numérteur Exemple : comprer les frctions et. Les numérteurs sont égux, cel veut dire que les deux enfnts prennent le même NOMBRE de prts (ici ), mis que ces prts n ont ps l même tille cr les dénominteurs sont différents (dns le 1 er cs, le gâteu été prtgé en prts égles et dns le second, en prts égles). Puisque les prts de chque gâteu sont égles, il suffit de considérer une prt de chcun des deux gâteux et donc de comprer 1 et 1. Si on coupe un gâteu en prts égles, les prts otenues seront plus grndes que si on coupe le même gâteu en prts égles ; utrement dit, 1 > 1, donc >. Pour un gâteu donné, plus le nomre de prts ugmente, plus l tille de l prt diminue. Pierre Delouy Collège Jnson 8 oût 01

9 Propriété Si deux frctions ont le même numérteur, l plus grnde est celle qui le plus petit dénominteur., et c sont trois nomres. Si > c, lors < c réciproquement, Si < c, lors > c. Deux frctions ynt le même numérteur sont rngées dns l ordre INVERSE de leurs dénominteurs Exemples : < 6 donc > 6 > donc, 11 < 8 > donc 8 < 11 < donc, 11 > Démonstrtion : On peut «trnsposer» c dns le memre de guche, ce qui donne > 0 et réduire ces deux frctions u même c dénominteur (c), c c et c c, donc, c c c c > 0. c c On fctorise le numérteur pr, ce qui donne : c c (c ). Puisque le dénominteur c est strictement positif, il en est de même du numérteur (c ). De > 0, on en déduit c > 0 et c >. Un numérteur est un multiple de l utre Exemple : comprer les frctions 8 et. Ici, il est possile de fire en sorte que les numérteurs soient égux, c est-à-dire, que les deux enfnts prennent le même nomre de prts même si ces prts sont de tilles inégles, puis d utiliser l méthode du prgrphe précédent ; Le 1 er enfnt prend 8 prts représentnt chcune 1/ du gâteu. Le ème enfnt prend prts représentnt chcune 1/ du gâteu ; comment fire pour que le ème enfnt prenne 8 prts? Il suffit de prtger chque prt en deux, utrement dit de trouver une frction égle à dont le numérteur est égl à 8. Il s git donc de trouver un nomre k tel que k. Puisqu on multiplié le numérteur () de l frction pr (cr 8 ), il fut AUSSI multiplier le dénominteur () de l frction pr, ce qui donne 6. L frction cherchée est donc Ce qui signifie que le ème enfnt prend 8 prts représentnt chcune 1/6 du gâteu. Les deux enfnts prennent le même NOMBRE de prts (8), mis elles sont inégles. Il ne reste plus qu à comprer 1/ et 1/6. Si on coupe un gâteu en prts égles, les prts otenues seront plus grndes que si on coupe le même gâteu en 6 prts égles ; utrement dit, 1/ > 1/6, donc 8/ > 8/6 d où 8/ > /. Exemples : 9 < 11 donc 9 > 11 Comprer les frctions ; ;. Il suffit d utiliser l propriété précédente. Puisque toutes ces frctions ont le même numérteur, il suffit de comprer leurs dénominteurs : < <, donc 1 > 1 > 1 et > >. Comprer une frction vec 1 On considère des enfnts se prtgent équitlement des gâteux : l prt d un enfnt est le nomre de gâteux/le nomre d enfnts. ) S il y utnt d enfnts que de gâteux, chque enfnt mnger un gâteu. S il y gâteux pour enfnts, chque enfnt mnger un gâteu : 1. ) S il y plus de gâteux que d enfnts, chque enfnt mnger plus qu un gâteu. S il y 6 gâteux pour enfnts, l prt d un enfnt ser de 6 gâteux soit, plus grnde qu un gâteu. c) S il y moins de gâteux que d enfnts, chque enfnt mnger moins qu un gâteu. S il y gâteux pour 6 d enfnts, l prt d un enfnt ser de 6 1 gâteu soit, plus petite qu un gâteu. Si on ppelle N le numérteur et D, le dénominteur d une frction f : f > 1 : N > D ou D < N Pierre Delouy Collège Jnson 9 oût 01

10 f 1 : N D ou D N. f < 1 : N < D ou D > N et sont deux entiers nturels et 0 > 1 ( > ) ( < ) < 1 1 ( ) ( ) 1 < 1 ( < ) ( > ) > 1 Exemples : donc 1 ; 1 cr. Puisque >, donc puisque < 1, donc 1 < 1. De même, 1 < 1 cr 1 < 9. 9 > 1. De même, 1 9 > 1 cr 1 > 9. Remrque : Il y un cs ne nécessitnt ucun clcul, c est lorsqu une frction est plus petite que 1 et l utre plus grnde que 1 ; dns les utres cs, suivnt l difficulté des clculs, l idée est de se rmener ux deux cs précédents Exemples : Comprer et 6 : < 1 et 6 > 1 donc, < 6. Comprer 8 et. On v comprer chcune de ces deux frctions vec. 1 1 Il suffit d écrire , donc < ; de même, donc >. Donc, < < 1 On peut ussi comprer les deux frctions vec un nomre entier : l prtie entière du quotient déciml de pr : Exemple : comprer 1 et 0 11 Produit en croix 1 + et <, donc 1 < 0 11,, c, d sont qutre nomres rtionnels vec et d 0. c d est équivlent à d c En effet, si c d, on multiplie les deux memres pr d, ce qui donne : d Réciproquement, si d c, en divisnt pr d ( et d non nuls), on otient c d cd d soit, d c. Exemples ; 6 8 est équivlent à est équivlent à ( ) ( 1) x y (y 0) est équivlent à x y, soit 1x 8y x x + 1 (et x 1 1 ) est équivlent à ( x) (x + 1), soit 1 10x 8x + et 1 18x, d où x 18 + x x x + 1 x (x et ) est équivlent à ( + x)( x) (x )(x + 1), soit 8 1x + x x x + x 10x, ce qui donne : x + x 1 0 ; éqution du second degré dont l résolution ser vue en Première. 6 Quotient de deux frctions. Inverse L opértion inverse de l multipliction est l division, ou l multipliction pr l inverse. Remrque : L multipliction des frctions possède un élément neutre Chque frction (utre que celles de l forme 0/) possède un inverse, cr 1. Pierre Delouy Collège Jnson 10 oût 01

11 deux nomres reltifs non nuls et sont inverses l un de l utre si 1 D près l règle des signes, deux inverses ont le même signe Prendre deux fois l inverse d un nomre revient à ne rien fire. Inverse d un nomre entier et de son inverse Exemples : 1 1 donc, l inverse de est 1 et l inverse de 1 est que l on écrit : 1 1 ( ( ) 1 ) 1 donc, l inverse de est 1 et l inverse de 1 est égl à que l on l écrit : 1 1 Inverse d une frction et sont deux nomres reltifs non nuls. L inverse de l frction est l frction Chque frction (utre que 0 ) possède un inverse, cr 1. Autrement dit, pour trouver l inverse d une frction, il suffit d inverser le numérteur et le dénominteur (les deux nomres doivent être différents de zéro). Démonstrtion : On ppelle ( 0) une frction quelconque, et c (d 0) l inverse de cette frction. d On utilise l propriété de multipliction de deux frctions : c d c 1 soit, c d. d En divisnt les deux memres pr d, on otient c d d d d c d d. Donc, c d Vérifiction : 1 Exemples : L inverse de est cr, 1 ; L inverse de est ( cr, ) ( ) 1 Quotient de deux frctions Rppel : x y x 1 y (y 0) si on remplce x et y pr deux frctions et c d, (, c et d 0), on otient : c d Exemples : ,, c, d sont qutre nomres reltifs vec, c et d 0. On l reltion suivnte : c d c d 1 1 c d ( 9) ( 11) ( ) (9 ) ( 9) ( 11) ( ) ( 9 ) 11 0, 88 d c Pierre Delouy Collège Jnson 11 oût 01

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