Chapitre 12 : Opérations sur les fractions

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1 Chapitre : Opérations sur les fractions ) Egalité de deux fractions (rappel) : Exemple : Exemple : 4 = 8 Le numérateur et le dénominateur de la fraction 4 ont été multipliés par. 4 = x 4 x = 8 C est vrai dans «l autre sens» : 8 = : 8 : = 4 Le numérateur et le dénominateur ont été divisés par. C est vrai pour, pour 3 et pour n importe quel nombre différent de zéro. Si l'on multiplie ou divise le numérateur ET le dénominateur d une fraction par un même nombre différent de zéro, on obtient une fraction égale. Pour simplifier une fraction, on repère dans quelle table de multiplication se trouvent le numérateur et le dénominateur et on les divise tous les deux par ce nombre. Exemple : 8 4 = 8 : 4 : = 9 = 9 : 3 : 3 = l3 4 La fraction est simplifiée au maximum. On entoure le résultat final.

2 On a aussi 8 4 = 8 : 6 4 : 6 = l3 4 Diviser par puis par 3 revient à diviser directement par 6. Il y a souvent plusieurs manières de simplifier une fraction. On peut toujours essayer de simplifier par, par 3 et par 5. Cela suffit en général pour obtenir la fraction la plus simple possible. Remarques : Attention, on n a pas le droit d ajouter ou soustraire! On s arrête de diviser avant d avoir une virgule. Le numérateur et le dénominateur d une fraction doivent toujours être des nombres entiers. On multiplie pour changer un dénominateur. La calculatrice en mode «math» donne la fraction simplifiée au maximum. La barre de fraction s écrit sur la grosse interligne. ) Multiplication de deux fractions (rappel) : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. Il est inutile d avoir les mêmes dénominateurs : = = l 8 5 On transforme facilement un nombre entier en une fraction. En effet 3 = = = = l 5 S il y a des nombres négatifs, les signes s éliminent deux à deux. (Quand on multiplie ou divise deux nombres négatifs, le résultat est positif). - 3 x 4-5 = - 3 x 4 5 = - x 4 3 x 5 = l-8 5

3 3) Addition et soustraction de fractions : Pour ajouter ou soustraire deux fractions, on les met au même dénominateur, puis on ajoute ou soustrait les numérateurs EN GARDANT LE DENOMINATEUR. (On n ajoute surtout pas les dénominateurs!) Exemples : = + = l = = l On réécrit toujours la fraction qu on ne transforme pas : = x 4 x = = + 6 = l Lorsque les dénominateurs ne sont pas multiples l un de l autre, on cherche un multiple commun ou alors on les multiplie l un par l autre : = x 4 3 x 4 + x 3 4 x 3 = = l Remarque : Pour additionner un nombre entier et une fraction, on transforme le nombre entier en une fraction : = = 5 x x + 3 = = = l 3

4 4) Inverse d un nombre et division : L inverse de 5 est 5 ou se lit «5 puissance -». Chaque nombre x différent de zéro a un inverse. L inverse de x se note x ou x- x - se lit «x moins un» ou «x puissance moins un». On peut utiliser la touche lx - de la calculatrice. Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse. Exemple : 9 5 = 9 5 = 9 x x 5 = 9 5 donc dans l autre sens, 9 5 = 9 5 Ce résultat est vrai pour tous les nombres : pour b 0 l a b = a x b Remarques : Un nombre multiplié par son inverse est toujours égal à : 5 x 5 = 5 x 5 = 5 5 = l et pour x 0 x x x = x x x = x x = l Zéro est le seul nombre qui n a pas d inverse car on ne peut pas diviser par zéro. Il ne faut pas confondre l inverse de 5 qui est avec l opposé de 5 qui est 5! 5

5 5) Inverse d une fraction et division : L inverse d une fraction est obtenue en échangeant son numérateur avec son dénominateur : L inverse de 5 est 5 L inverse de 7 5 est 5 7 Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse Attention, on ne change surtout pas la première fraction! Exemples : 3 : 7 5 = 3 x 5 7 = = l0 3 : 7 5 = 3 : 7 5 = 3 x 5 7 = l5 7 Remarque : 3 : 7 5 peut s écrire et 3 : 7 5 peut s écrire 3 7 5

6 Annexe : extraits du programme officiel : Produit de nombres positifs en écriture fractionnaire. Les élèves ont une pratique de la multiplication des positifs en écriture décimale ou fractionnaire. Les calculs relevant de ces opérations sont étendus au cas des nombres relatifs. * Opérations (+,, ) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée). - * Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire. *L addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas où un calcul mental est possible. Savoir additionner et soustraire des entiers relatifs et multiplier deux nombres positifs écrits sous forme décimale ou fractionnaire deviennent des capacités exigibles dans le cadre du socle commun. Division de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire. - Diviser des nombres relatifs en écriture fractionnaire. - Connaître et utiliser l égalité : a b a b * Un travail est mené sur la notion d inverse d un nombre non nul ; les notations x et x sont utilisées, ainsi que les touches correspondantes de la calculatrice.

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