de l exemple pour arriver à la règle). C est l objet de notre première séance. Puis dans un deuxième temps, essayer de comprendre cette règle

Transcription

1 Nota bene : la démarche choisi ici, vue la difficulté de la technique, est d abord d établir la règle en privilégiant une démarche inductive (partir de l exemple pour arriver à la règle). C est l objet de notre première séance. Puis dans un deuxième temps, essayer de comprendre cette règle en s appuyant sur la connaissance des fractions, fractions décimales et du calcul sur celles-ci. C est l objet de notre deuxième séance.

2 Multiplication de deux nombres décimaux : la technique. Niveau de classe : CM2 Domaine d activités : calculs Pré-requis : calculer une aire en utilisant les formules de l aire du carré et du rectangle, connaître les unités de mesures d aires, les relations qui les lient et les convertir, savoir encadrer un nombre décimal par des entiers, décomposer une figure en sous figures, savoir multiplier un décimal par un entier et notamment comprendre que dans la technique on ne tient compte de la virgule qu au moment d écrire le résultat. Objectif : savoir multiplier deux nombres décimaux. Déroulement prévu Situation problème : le problème posé est de calculer l aire d un rectangle dont les deux dimensions sont des nombres décimaux. Faire remarquer ce qui change par rapport au calcul habituel (une des deux dimensions seulement est un nombre décimal). Poser le problème de calculer l aire de la figure dont les dimensions sont 6,5 X 7,5 cm Pour aider les élèves, faire donner un encadrement de chaque dimension par excès et par défaut (6<6,5<7 et 7<7,5<8) et calculer l aire des deux rectangles obtenus (6x7 et 7x8). A partir des résultats et en calculant 6,5x7,5, faire trouver la place de la virgule. Pour la validation, faire tracer le rectangle par groupe sur un des supports proposés, pour vérification de l encadrement. Toutes les recherches se font par groupe de trois. Mise en commun : afficher les différents résultats. Le maître placera lui-même les affiches en deux catégories : les échecs et les réussites. A partir des réussites, on tirera la règle de positionnement de la virgule et l on tentera de trouver les causes des échecs. Objectifs de capacités et connaissances par phase Emettre des hypothèses Réinvestir les notions précédemment apprises (cf. prérequis) Mettre en place des méthodes et stratégies. S exprimer à l oral comme à l écrit dans un vocabulaire mathématiques. Elaborer une règle à partir de résultats de la recherche : le positionnement de la virgule dans la multiplication de nombres décimaux Argumenter, justifier Objectifs de Méthode (M), Technique (T), Attitude (A). questions, exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, présenter des arguments. Respecter et suivre une consigne. S impliquer dans un projet collectif et être persévérant. Accepter de ne pas trouver le résultat. (A) soutenir une écoute prolongée Savoir échanger, débattre. Exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, (M) émettre des hypothèses, argumenter. Organisation de la classe : matériel, durée, forme de travail puis par groupe de. Durée : 25 min. Matériel : papier millimétré pour tracer les différents rectangles, affiche pour les recherches et la mise en commun.. Matériel : les affiches contenant les résultats des recherches des élèves, calculatrice. Consigne «Vous allez travailler par groupes de trois. Vous allez calculer l aire d un rectangle dont les deux dimensions sont 6,5 cm pour la largeur et 7,5 cm pour la longueur. Que remarquez-vous? Pour vous aider, puisque nous n avons pas encore appris à multiplier deux nombres décimaux, vous allez d abord un encadrer chaque dimension par excès et par défaut. Ensuite vous calculerez l aire des deux rectangles obtenus (6x7 et 7x8). A partir de ces résultats vous allez essayer de donner celui de 6,5x7,5 pour trouver la place de la virgule. Vous pouvez tracer les différents rectangles sur le papier millimétré pour valider vos encadrements et vos résultats, Vous pouvez en prenant comme unité un carreaux de 1cm de côté, en pavant, retrouver le résultat de votre calcul.» «J ai placé les affiches en deux colonnes d un côté celles qui ont le bon résultat et de l autre celles qui ne l ont pas trouvé. On va d abord s intéresser à celles qui ont le bon résultat. Comment avez vous fait? Comment place t-on la virgule? Quel est le rapport entre les nombres du départ et le placement de la virgule dans le résultat? quelle différence y a-t-il par rapport aux additions de nombres décimaux notamment? Pourquoi les autres groupes n ont-ils pas Bilan par phase

3 Application immédiate de la règle à travers une nouvelle recherche : reconstitution des mêmes groupes. Faire rappeler la méthode des encadrements. En appliquant cette méthode, faire calculer l aire du rectangle de dimensions,27 dm x 2,4 dm pour trouver le positionnement de la virgule et confirmer la règle précédemment élaborée. Les élèves ont à nouveau la possibilité de tracer Mise en commun : les résultats sont mis en commun. Retour rapide sur les échecs et validation de la règle précédemment élaborée. Vérification à l aide de la calculatrice. Application individuelle : au cahier du jour, les élèves doivent calculer des multiplications où les termes sont des nombres décimaux exclusivement. Le but est d appliquer la règle de positionnement de la virgule. Pour cela donner des multiplications dont le nombre de chiffres après la virgule Correction. Ces exercices servent d évaluation immédiate pour l élève pour savoir si il a intégré la règle et pour le maître en vue d ateliers de remédiation. Utiliser des méthodes et stratégies reconnues comme efficaces. S exprimer à l oral comme à l écrit dans un vocabulaire mathématiques. Elaborer une règle à partir de résultats de la recherche : le positionnement de la virgule dans la multiplication de nombres décimaux Appliquer et retenir la règle du positionnement de la virgule. questions, exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, présenter des arguments. Respecter et suivre une consigne. Accepter de ne pas trouver le résultat. (T) utiliser une technique nouvellement apprise. (A) soutenir une écoute prolongée Savoir échanger, débattre. Exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, (M) émettre des hypothèses, argumenter. Utiliser un vocabulaire mathématiques. (T) utiliser une technique nouvellement apprise. puis par groupe de. Matériel : papier millimétré pour tracer les différents rectangles, affiche pour les recherches et la mise en commun.. Durée : 5 min. Matériel : les affiches contenant les résultats des recherches des élèves, calculatrice. Forme de travail : individuelle puis collective. Matériel : cahier du jour. trouvé le résultat?» «Vous allez cette fois calculer l aire d un rectangle dont les deux dimensions sont,27 dm pour la largeur et 2,4 dm pour la longueur. Le résultat final doit être exprimé en dm. Qui peut me rappeler la méthode que je vous avez demandé d appliquer précédemment. Vous allez donc un encadrer chaque dimension par excès et par défaut et calculez l aire des rectangles obtenus. A partir de ces résultats vous allez donner celui pour l aire de notre nouveau rectangle et trouver la place de la virgule. Vous pouvez tracer les différents rectangles sur le papier millimétré pour valider vos encadrements et vos résultats. Vous pouvez en prenant comme unité un carreaux de 1cm de côté, en pavant, retrouver le résultat de votre calcul. ««Quelle est l aire de la nouvelle figure? Pouvait-on sans passer par les encadrements et en calculant directement trouver le résultat?» «Vous allez calculer au cahier du jour les multiplications suivantes (ex : 7,45 x 2,61 )»

4 Multiplication de deux nombres décimaux : le sens Niveau de classe : CM2 Domaine d activités : calculs Pré-requis : savoir passer d un décimal à une fraction décimale et inversement, savoir que l écriture fractionnaire correspond à une division, savoir que multiplier une fraction c est multiplier uniquement le dénominateur, savoir additionner des fractions de même dénominateur, savoir multiplier un décimal par un entier, savoir diviser un décimal par 10,100,1000 et savoir que diviser par 10,100,1000 c est multiplier par 0,1 ; 0,01 Objectif : comprendre le sens de la multiplication de deux nombres décimaux. Déroulement prévu Objectifs de capacités et connaissances par phase Objectifs de Méthode (M), Technique (T), Attitude (A). Organisation de la classe : matériel, durée, forme de travail Situation problème très dirigée : la technique étant difficile et pas naturelle, le travail est fortement guidé et accompagné par le maître à partir du calcul 24,67 x 1,2 Phase préparatoire : multiplier Utiliser ses connaissances sur puis une fraction par un entier. l addition de fractions simples de individuel. Chercher le résultat de 2/x5 ; même dénominateur. 4/5x2 ; 6/8x7. Matériel : ardoise, papier quadrillé Première mise en commun : arriver à formuler que lorsqu on multiplie une fraction par un entier on ne multiplie que le numérateur. (a/b)xc=(axc)/b Phase 1 : Produit d une fraction décimal par un nombre décimal Mettre le produit 24,67x1,2 sous forme d un produit d une fraction décimale par un nombre décimal [24,67x1,2=(2467/100)x1,2 ou 24,67x(12/10)] et en s appuyant sur le résultat de la phase préparatoire amener au fait que (2467/100)x1,2 = (2467x1,2)/100 ou 24,67x(12/10)=(24,67x12)/10 pour arriver à 2960,4/100 ou 296,04/10 Emettre des hypothèses Mettre en place des méthodes et stratégies. Comprendre que lorsque l on multiplie une fraction par un entier on ne multiplie que le numérateur Utiliser les résultats précédemment établis, les réinvestir. Passer d une écriture fractionnaire décimal à un nombre décimal et inversement Effectuer le produit d un décimal par un entier. questions, respecter et suivre une consigne. S impliquer dans un projet collectif et être persévérant. (A) poser des questions, exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, Respecter et suivre une consigne. questions, respecter et suivre une consigne. S impliquer dans un projet collectif et être persévérant. Accepter de ne pas trouver le résultat. Durée : 5 min. Matériel : les résultats des recherches Forme de travail : individuelle. Matériel : ardoise, papier quadrillé Consigne «Vous allez chercher le résultat sous forme de fraction de 2/ x5, 4/5 x 2, 6/8 x 7.» «Qu avez vous trouvé? «Vous allez chercher à récrire ce calcul sous la forme d une fraction décimale multipliée par un nombre décimal où le numérateur sera un nombre décimal» Bilan par phase

5 Deuxième mise en commun : elle a pour but de recenser les différentes décompositions et de vérifier les résultats obtenus pour les uniformiser suivant les décompositions. Phase 2 : diviser un nombre décimal par 10,100 A partir de 2960,4/100 ou 296,04/10, trouver le résultat final de la multiplication. Dernière mise en commun et formulation du produit d apprentissage : Pour calculer 24,67 x 1,2, comme 1,2 est égal à 12/10 c est à dire 12 :10, il faut diviser le résultat obtenu de 24,67x12 par 10. Pour calculer 24,67 x 1,2, comme 24,67 est égal à 2467/100 c est à dire 2467 :100, il faut diviser le résultat obtenu par 100. Application : à partir de différents multiplication de nombres décimaux du type 1,25 x 5,6, les récrire sous la forme 125 x 5,6 ou 1,25 x 56 et dire par quoi on devra diviser le résultat. Savoir que l écriture fractionnaire correspond à une division (division-fraction) Diviser par 10,100 un nombre décimal Comprendre le sens de la multiplication de deux décimaux en s appuyant sur la connaissance des nombres décimaux. Utiliser les connaissances précédemment établies. (A) poser des questions, exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, Respecter et suivre une consigne. questions, respecter et suivre une consigne. S impliquer dans un projet collectif et être persévérant. Accepter de ne pas trouver le résultat. (A) poser des questions, exprimer son point de vue. Prendre la parole devant d autres élèves pour expliciter un raisonnement, Respecter et suivre une consigne. (T) utiliser une technique nouvellement apprise. Durée : 5 min. Matériel : les résultats des recherches Forme de travail : individuelle. Matériel : ardoise, papier quadrillé Matériel : les résultats des recherches Matériel : classeur du jour. «Qu avez vous trouvé? «A partir des fractions obtenues, vous allez devoir retrouver le résultat que l on obtiendrait si l on avait directement effectué le calcul 24,67x1,2 comme lors de la séance précédente.» «Que devons nous retenir?» «Vous allez récrire les fractions suivantes sous la forme ex : 1,25 x 5,6, c est 125 x 5,6 ou 1,25 x 56 et dire par quoi on devra diviser le résultat.»

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