PRÉPARATION AU CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEUR DES ÉCOLES

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1 PRÉPARATION AU CONCOURS DE RECRUTEMENT DE PROFESSEUR DES ÉCOLES Mars 2009 Devoir commun N 2 MATHÉMATIQUES Durée : 3 heures Rappel de la notation : Il est tenu compte, à hauteur de trois points maximum, de la qualité orthographique de la production des candidats. Toute réponse devra être justifiée. Ce sujet contient 5 pages, numérotées de 2/6 à 6/6. Assurez-vous que cet exemplaire est complet. S'il est incomplet, demandez un autre exemplaire. L'usage de tout ouvrage de référence, de tout document et de tout matériel électronique est rigoureusement interdit. L'usage de la calculatrice est autorisé : Calculatrice électronique de poche y compris calculatrice programmable et alphanumérique ou à écran graphique à fonctionnement autonome non imprimante (cf. circulaire n du 16 novembre 1999 publiée au B.O n 42). Le candidat n'utilise qu'une seule machine sur la table. Toutefois, si celle-ci vient à connaître une défaillance, il peut la remplacer par une autre. Afin de prévenir les risques de fraude, sont interdits les échanges de machines entre les candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que les échanges d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices. N.B : Si vous estimez que le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes comporte une erreur, signalez lisiblement votre remarque dans votre copie et poursuivez l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement. Page 1 sur 6

2 Exercice 1 (4 points) 1) Convertir les durées suivantes en secondes : a) deux tiers d heure. b) 1,2 heure. 2) Convertir les durées suivantes en heures, minutes et secondes : a) 5532 secondes. b) 1,87 heure. 3) Quelle durée faut-il à la grande aiguille d une montre pour parcourir un angle de 54? 4) Depuis sa position initiale à midi et dix-sept minutes, la petite aiguille d une montre a parcouru un angle de 68. Quelle est la nouvelle heure indiquée en heure, minutes et secondes. 5) Armand part de Paris à 23h00 pour Rio de Janeiro. Son avion se pose à Houston à 03h00(heure locale) pour une escale d une heure. Le vol entre Houston et Rio de Janeiro dure 10 heures. Houston est à l ouest de Paris et il y a 7 heures de décalage horaire entre ces deux villes. Rio de Janeiro est à l est de Houston et il y a 3 heures de décalage horaire entre ces deux villes. (Pour indication : quand il est 12h à Londres, il est 13h à Paris et 19h à Moscou.) a) Quelle est la durée du vol Paris-Houston? b) À quelle heure (heure locale) Armand arrive-t-il à Rio de Janeiro? Question complémentaire 1 (3 points) Voici deux recettes de cuisine à compléter. Ces exercices ont été proposés lors d Évaluations Nationales. Problème 1 (Évaluations Nationales CM2 2009) Pour faire des crêpes pour 6 personnes, il faut : 250g de farine 1litre de lait 4 œufs 1 cuillerée à soupe d huile 2 pincées de sel Calcule la quantité de chacun des produits pour faire des crêpes pour 9 personnes. Tu peux faire tes calculs à droite du tableau.... g de farine... litre de lait... œufs...cuillère(s) à soupe d huile... pincées de sel Problème 2 (Évaluations Nationales 6 ème 1999?) Pour faire un gâteau pour 9 personnes, on utilise 6 œufs Pour faire le même gâteau pour 15 personnes, on utilise 10 œufs Combien faudra-t-il d œufs si veut faire ce gâteau pour 27 personnes? Pour 30 personnes? Page 2 sur 6

3 Questions 1) Quelle est la notion mathématique sous-jacente à ces deux situations? 2) Quelle est la procédure de résolution attendue des élèves pour chacun de ces deux problèmes? 3) Proposer, pour le problème 2, une variable didactique qui amène les élèves à changer de procédure 4) Pour le problème 1, les codages de correction sont les suivants : codage 99 : les résultats (0 si une erreur, 1 si aucune erreur) codage 100 : la procédure (0 si procédure incorrecte, 1 si procédure correcte) Analyser rapidement les réponses des élèves A,B et C remplir les codages pour chacun d eux. (voir Annexe 1), puis Exercice 2 (4 points) Deux villes A et B se situent du même côté d une voie ferrée rectiligne (CD), comme l indique le schéma ci-dessous. On cherche où construire une gare G pour que le trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G soit le plus court possible. 1) Représenter les points A, B, C et D sur une figure pour laquelle 1cm correspond à 1km. Quelle est l échelle de cette représentation? Justifier la réponse. 2) Construire le point E symétrique du point B par rapport à la droite (CD). 3) On appelle F le point d intersection des droites (AE) et (CD). Soit M un point quelconque du segment [DC] distinct du point F. Démontrer que AM+MB > AF+FB. 4) En déduire l endroit où l on doit construire la gare G. 5) Démontrer que : FD = 3 2 FC 6) En déduire que FC = 5,6 km 7) Calculer, au mètre près, la longueur du trajet de la ville A à la ville B en passant par la gare G. Page 3 sur 6

4 Question complémentaire 2 ( 5 points) Étude des documents 1 et 2 de l annexe 2. 1) On considère d abord le document1. a) Décrire deux procédures possibles des élèves en réponse à la question1. b) Quelle propriété souhaite-t-on faire émerger en proposant cette situation? Citer une difficulté qui peut faire obstacle à l émergence de cette propriété. c) Pourquoi la consigne préalable aux questions 2, 3 et 4 précise-t-elle que la droite tracée ne doit pas être parallèle aux bords de la feuille? d) En prolongement de la question 4 du document1, indiquer quel est l ensemble constitué par tous les points situés à 7cm de la droite. 2) On considère maintenant le document2. Pour procéder à une synthèse de l activité précédente, l enseignant décide de projeter sur tableau blanc une figure réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique. Le point P peut alors être déplacé sur la droite, et la distance AP s afficher, comme sur la copie d écran. Le point A et la droite peuvent également être déplacés. Quel avantage peut apporter ce support, pour la connaissance visée, par rapport au dessin sur feuille des élèves? Exercice 3 (4 points) 1) Trois boîtes ayant la forme de pavés droits s emboîtent les unes dans les autres. La plus petite a ses dimensions égales aux cinq sixièmes de la boîte moyenne, qui, ellemême, a ses dimensions égales aux cinq sixièmes de la grande boîte. Le volume de la plus grande boîte est de 1866,24 cm 3. a) Quel est le volume de chacune des deux autres boîtes? b) Exprimer, en pourcentage, le volume de la petite boîte par rapport à celui de la plus grande. 2) On considère une boîte parallélépipédique à base carrée. Le côté du carré mesure 17 3 cm et la hauteur 9cm. On décide de doubler les dimensions de cette boîte. Quel est le volume de la nouvelle boîte? Page 4 sur 6

5 ANNEXE 1 Page 5 sur 6

6 ANNEXE 2 Document 1 : Extrait d un manuel de cycle 3 (Cap Maths, éd. Hatier, 2004.) 1) Place, sur la droite, le point qui est le plus proche du point A (le dessin ci-contre est une réduction d une fiche format A4 fournie aux élèves) : Pour les questions 2, 3 et 4, utilise à chaque fois une feuille de papier uni et trace une droite. La droite que tu traces ne doit pas être parallèle aux bords de la feuille. 2) Avec ton équipe, propose une méthode qui permet de placer, du premier coup, un point qui est exactement à 7 cm de la droite. A 3) Place un point en dehors de la droite, nomme-le A. Comment faire pour déterminer rapidement le point de la droite qui est le plus proche du point A? 4) Place rapidement et avec précision 24 points à 7 cm de la droite. Document 2 : Copie d écran (logiciel de géométrie dynamique) Page 6 sur 6

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