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1 Exercice Suites umériques u O cosidère la suite ( u ) défiie pour tout par u = et u = + u + O admettra que pour tout etier aturel, u >. a) Calculer u et u b) Cette suite est-elle arithmétique? Est-elle géométrique?. Motrer que la suite ( u ) est décroissate. Soit la suite ( v ) défiie par v =. u a) Motrer que c est ue suite arithmétique dot o précisera la raiso et le premier terme. b) Exprimer v e foctio de et motrer que pour tout, u = + c) E utilisat cette derière expressio, retrouver le résultat de la questio. Corrigé Exercice O cosidère la suite ( u ) défiie pour tout par u = 6 et u = + u +. a) Das u repère orthoormé, représeter par costructio à la règle les quatre premiers termes de ( u ) sur l axe des abscisses ( o tracera les droites d équatios y = x et y = x + ) b) Cojecture sur le ses de variatio de cette suite.. Soit la suite ( v ) défiie par v = u. a) Motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme b) Exprimer v e foctio de et motrer que pour tout, c) A l aide de ce résultat, démotrer la cojecture du. b). O pose pour tout : S = v + v + v v et S = u + u + u u a. Exprimer S e foctio de u = + b. E déduire S e foctio de Corrigé Exercice ( d après bac ES, Liba 4) La médiathèque d'ue petite ville a ouvert ses portes le javier et a eregistré 5 iscriptios e. Elle estime que, chaque aée, 8 % des acies iscrits reouvellerot leur iscriptio l'aée suivate et qu'il y aura 4 ouveaux adhérets. O modélise cette situatio par ue suite umérique (a ) O ote a =5 le ombre d'iscrits à la médiathèque e et a représete le ombre d'iscrits à la médiathèque pedat l'aée +.. Justifier que, pour tout, o a la relatio a + =,8 a +4.. O propose l'algorithme suivat : a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. b) À l'aide, de la calculatrice détermier le résultat obteu grâce à cet algorithme Corrigé

2 Corrigé u / u /6. a) o a u = = = et u = = = u u b) - O a u u= = et u u= = Comme u u u u alors ( u ) e peut être arithmétique u u - O a = / = et = / = u 9 6 u 6 u u Comme alors ( u ) e peut être géométrique. u u. O étudie le sige de la différece u + u : u Pour tout, u u = + u u +. O met au même déomiateur : ( u + ) u u = u + u + = ( u ) u + Or, pour tout etier aturel, u >, doc u + > et ( u ) < Doc u u < + soit u+ < u et par coséquet ( u ) strictemet décroissate sur. a) Pour tout, o a v+ v = ( u > doc u pour tout ) u u + u + = u u u = = u Comme pour tout, v+ v = alors, la suite ( v ) est arithmétique de raiso r = et de premier terme v = = u b) ( v ) est arithmétique, doc v = v + r soit v = + pour tout. v = doc u u = v = + ( avec v = + > doc o ul) c) O peut soit étudier le sige de la différece, ou utiliser la foctio associée sur + Soit la foctio associée défiie sur + par f( x) = + x v C est ue foctio ratioelle dérivable sur f. O a f = doc f = avec vx ( ) = x+ v v /

3 D où f ( x) = (x + ) Or pour tout f, (x + ) >, doc f ( x) < ; doc la foctio est strictemet décroissate sur + et par coséquet, ( u ) strictemet décroissate sur. Exercice Corrigé. a) représetatio graphique y y = x y = x + u u u u x b) Graphiquemet, o a u < u < u < u, o peut cojecturer que cette suite est strictemet décroissate.. a) O a ( v ) défiie par v = u. Pour tout, v+ = u+ v = + u + Or v = u doc u= v + D où v + = ( v ) + soit v = + v Ce qui sigifie que ( v ) est ue suite géométrique de raiso b) ( v ) est ue suite géométrique, doc v = v q soit Comme u= v +, alors, pour tout, u = + q = et de premier terme v = u = v = pour tout. /

4 Pour tout, c) Pour le ses de variatio, o étudie le sige de la différece u + + u = + = = ( + a a a = e vertu de ( o a factorisé par m m a a = a + ) ) = ( ) Comme > pour tout, alors u+ u < ce qui sigifie que la suite ( u ) est strictemet décroissate sur ; ce qui cofirme la cojecture. Remarque : la foctio associée est défiie par ( ) f x = +, c est ue foctio expoetielle qui sera abordée e TS.. a) O pose pour tout : S = v + v + v v O sait que ( v ) est ue suite géométrique de raiso q = et v = Pour tout, est la somme des premiers termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso doc: x btermes ier q q S = terme =v = =9 q q b) Pour tout, doc: Eocé

5 Corrigé. O modélise de la maière suivate : Nombre d adhérets Nombre d adhérets 8 = + ombre de ouveaux adhérets à ue aée doée de l' aée précédete Soit a + = a, Das le cotexte, N correspod à l etier et le ombre A correspod au terme a de la suite. O voit égalemet que a = 5 a) Das le traitemet : «Tat que A > 5» peut s écrire «Tat que A > 5» Cet algorithme permet doc de trouver la valeur de à partir de laquelle a 5 b) Sur la calculatrice, o saisit l expressio de la suite : a + = a,8 + 4 et a = 5 Das la table des valeurs, o détermie la valeur de à partir de laquelle o a a 5 Sur TI O e déduit qu à partir du rag, o a a 5 Ce qui sigifie qu à partir de +, soit 4, le ombre d adhérets sera iférieur à 5 persoes. Remarque : o peut écrire u programme qui doera ce résultat /

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