Leçon 41 : Suites arithmétiques, suites géométriques

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1 Leçon 41 : Suites arithmétiques, suites géométriques Pré-requis : Raisonnement par récurrence, limites de suite, résolution d'un système d'équations, notions de suites (définition, étude de monotonie), théorème de comparaison Niveau : introduit dans les programmes à partir de la 1ère Première approche avec un tableur: Une société, qui souhaite voir une progression maximale de son chiffre d'affaire mensuel au cours des 3 prochaines années, dispose après diverses études de 3 possibilités d'investissements : - dans le premier cas le chiffre d'affaire de la société aurait une augmentation de 1500 euros chaque mois - dans le deuxième cas le chiffre d'affaire augmenterait de 0,6% plus 600 euros chaque mois - dans le troisième cas le chiffre d'affaire augmenterait de 1,1% euros chaque mois Sachant que la société réalise actuellement un chiffre d'affaire mensuel de euros, quelle est la meilleure stratégie d'investissement pour avoir une chiffre d'affaire mensuel maximal au bout de 3 ans? Quel serait le chiffre d'affaire total sur les 3 prochaines années pour chacune de ces stratégies? I. Suites arithmétiques 1. Définitions et premières propriétés Définitions : Une suite (u n ) n 0 est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que pour tout n : u n+ 1 + r. Si la suite est arithmétique, le nombre r est appelé la raison de cette suite. Propriété 1 : Soit (u n ) n 0 une suite arithmétique de raison r, alors : - Pour tous entiers n, le terme général de la suite est u n =u 0 + n r - Plus généralement, pour tous entiers p et n, u n =u p + (n p) r Propriété 2 : La somme S de n termes consécutifs d'une suite arithmétique est : premier terme+ dernier terme S =(nombre determes) 2 2. Monotonie et convergence Propriété 3 : Soit (u n ) n 0 suite arithmétique de raison r, alors : - si r > 0, la suite est strictement croissante - si r = 0, la suite est constante - si r < 0, la suite est strictement décroissante Représentations graphiques avec Xcas: - Si r > 0 : u n et u 0 = 3

2 - Si r < 0 : u n+ 1 2 et u 0 = 3 Propriété 4 : Si (u n ) n 0 est une suite arithmétique de raison r et premier terme u 0, alors sa limite est : + si r > 0 u 0 si r = 0 si r < 0 3. Application Une entreprise produit chaises par an. Sa production diminue de 2500 chaises chaque année. Au bout de combien de temps ne produira-t-elle plus rien? Combien aura-t-elle produit de chaises en tout?

3 II. Suites géométriques 1. Définitions et premières propriétés Définitions : Une suite (u n ) n 0 est une suite géométrique si et seulement si il existe un réel q non nul tel que pour tout n : u n+ 1 =q u n. Si la suite est géométrique, le nombre q est appelé la raison de cette suite. Propriété 5 : Soit (u n ) n 0 une suite géométrique de raison q non nulle, alors : - Pour tous entiers n, le terme général de la suite est u n =u 0 q n - Plus généralement, pour tous entiers p et n, u n =u p q n p Propriété 6 : La somme S de n termes consécutifs d'une suite géométrique de raison différente de 1 est : de termes 1 raisonnombre S =( premier terme) 1 raison 2. Monotonie et convergence Propriété 7 : Une suite géométrique (u n ) de raison : - q > 1 est strictement croissante si u 0 > 0 et strictement décroissante si u 0 < 0 - q = 1 est constante - 0 < q < 1 est strictement décroissante si u 0 > 0 et strictement croissante si u 0 < 0 Représentations graphiques Xcas: -Si q > 1 : u n+ 1 =2 u n et u 0 = 1 -Si 0 < q < 1 : u n+ 1 =0,5 u n et u 0 = 1

4 Propriété 8 : Si (u n ) n 0 est une suite géométrique, alors sa limite est : + si q > 1 et u 0 > 0, si q > 1 et u 0 < 0 u 0 si q = 1 0 si 0 < q < 1 3. Application M. Martin place 1000 euros sur un compte à intérêts composés, qui lui rapporte 2% par an. Déterminer le capital au bout de n années. III. Suites arithmético-géométriques 1. Définition Définition : Une suite (u n ) n 0 est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux réels q et r tels que pour tous n : u n+ 1 q+ r Cas particuliers : - Si q = 1, la suite est dite arithmétique et nous avons u n+ 1 + r - Si r = 0, la suite est dite géométrique et nous avons u n+ 1 q 2. Étude de la convergence d'une suite arithmético-géométrique (exercice 24p32 Math'x Terminale S obligatoire 2006) Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 0 et pour tout n de IN : u n+ 1 = 1 3 u n+ 1 (E)

5 Voici le graphe que l'on obtient sur Xcas pour cette suite (les 15 premiers termes) D'après ce que l'on voit, on peut conjecturer que la suite (u n ) converge vers 1,5. étape 1 : on cherche une solution particulière x vérifiant l'équation (E) Si x vérifie (E) alors x = 1 3 x + 1, c'est à dire x = 3 2 étape 2 : on obtient le système suivant : u n+ 1 = 1 3 u n+ 1 (1) x = 1 3 x + 1 (2) (1) (2) nous donne pour tout n entier : u n+ 1 x= 1 3 (u n x) étape 3 : on pose v n x et on remarque que v n est une suite géométrique de raison 1 3, on a donc v n=v 0 ( 1 n 3 ), autrement dit u n x=(u 0 x) ( 1 n 3 ) étape 4 : Par l'étape précédente on a u n =(u 0 x) ( 1 3 ) n+ x et on remplace u 0 et x par leur valeur. On obtient u n = 3 2 ( 1 3 ) n étape 5 : On a 1 < 1 donc lim ( 1 n=0 3 n + 3 ) donc lim u n = 3. On a bien vérifié la n + 2 conjecture émise grâce au graphe de la fonction réalisé sur Xcas.

6 IV.Exercices Exercice 1 Suites auxiliaires (exercice 89p40, partie C Math'x Terminale S obligatoire 2006) Soit (u n ) n>0 et (v n ) n>0 deux suites réelles définies par : u 1 =13 v 1 =1 u n+ 1 = u n + 2 v n 3, pour n 1 et v n + 1 = u n + 3 v n 4, pour n 1 0. A l'aide d'un programme, conjecturer sur les limites des suites (u n ) n>0 et (v n ) n>0 1.On pose, pour tout n 1, w n = v n + u n a.démontrer que (w n ) n>0 est une suite géométrique. b.exprimer w n en fonction de n, pour tout n 1 2.On pose pour tout n 1, t n = 3u n +8v n. Démontrer que la suite (t n ) est constante et préciser la valeur de t n pour tout n 1. 3.En déduire les expressions de u n et v n en fonction de n, puis préciser la limite des suites (u n ) et (v n ). Exercice 2 Une entreprise du secteur B.T.P. (Bâtiments et Travaux Publics) doit réduire la quantité de déchets qu elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s engage, à terme, à rejeter moins de tonnes de déchets par an. En 2005, cette entreprise rejetait tonnes de déchets par an. Depuis cette date, chaque année : l entreprise réduit la quantité de déchets qu elle rejette de 5 % l entreprise produit 200 tonnes de déchets supplémentaires en raison du développement de nouvelles activités. Pour tout entier naturel n, on note Un la quantité, en tonnes, de déchets rejetés pour l année ( n), on a donc U 0 = Justifier que pour tout entier naturel n on a U n+1 = 0,95 U n On fournit l algorithme suivant, réalisé avec le logiciel Algobox :

7 a) Supposons que l on fournisse la valeur n = 4 en entrée Quelle est la valeur de U affichée en sortie d algorithme? Arrondir le résultat, si nécessaire, à l unité près. b) Soit n un entier naturel quelconque, fourni en entrée dans cet algorithme. Quel est le rôle de cet algorithme? 3. Etude d une suite auxiliaire : la suite Vn définie pour tout entier naturel n, par Vn = Un a) Montrer que la suite Vn est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer Vn en fonction de n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, on a Un = 36000x 0,95 n d) Calculer une estimation, arrondie à l unité près, de la quantité de déchets rejetée en tonnes par cette entreprise en e) Préciser la limite de la suite Vn, en justifiant. En déduire la limite de la suite Un Interpréter le résultat obtenu. f) Déterminer les variations de la suite Un. Interpréter. 4. En utilisant la calculatrice, déterminer l année à partir de laquelle l entreprise réalisera son objectif, à savoir, rejeter moins de de déchets par an. 5. On veut utiliser l algorithme incomplet suivant : Entrées : U prend la valeur.. n prend la valeur 0 Traitement : Tant que.. faire U prend la valeur.. n prend la valeur.. Fin tant que Sortie : afficher Compléter cet algorithme pour retrouver le résultat obtenu à la question précédente.

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