Sxxx ( ) Miroirs sphériques Ex-O3.1 Tracé de rayon pour un miroir concave

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1 Eercices Optique géométrique PTSI Miroirs sphériques E-O3. Tracé de rayon pour un miroir concave ompléter le tracé du rayon : ) En utilisant des rayons parallèles à (deu méthodes) 2) En utilisant des rayons coupant le plan focal objet (deu méthodes) 3) En envisageant un objet AB fictif, judicieusement choisi, et son image A B. O3 E-O3.2 Tracé d image pour un miroir convee Soit un miroir convee de rayon S = +60 cm. Quelle est la position de l image A B, sa nature et le grandissement transversal correspondant dans les deu cas suivants ) l objet AB est tel que SA = 30 cm 2) l objet AB est tel que SA = +5 cm. Peut-on se servir de la question précédente pour éviter les calcul? 3) Trouver la position de l objet AB qui conduit à un grandissement transversal G t =. Quelle est sa nature? 2 On fera une figure à l échelle pour chacune des questions. Rép : ) SA = +5 cm, G t = 2 ; 2) SA = 30 cm, G t = 2 ; 3) SA = +60 cm E-O3.3 Pinceau lumineu sur un miroir Reproduire les schémas suivants et répondre au questions correspondantes. ) onstruire le pinceau lumineu réfléchi par le miroir sphérique convee de sommet S et de centre S. 2) Même question avec un miroir sphérique concave de sommet S et de centre. 3) onstruire le pinceau lumineu incident correspondant au pinceau lumineu émergent du miroir de la question précédente. S E-O3.4 Petite cuillère Un individu a son œil placé à 25cm du creu d une petite cuillère considérée comme un miroir sphérique convergent. ) Sachant que l individu voit son œil inversé et réduit d un facteur 9, calculer le rayon de courbure de la cuillère. 2) Quel est le grandissementde la nouvelle image si l individu retourne la cuillère, tout en jpqadri@gmail.com S

2 PTSI Eercices Optique géométrique conservant la même distance de 25cm? Rép : ) S = 5 cm ; 2) G t = 9/00 E-O3.5 Tintin et Haddock Dans Le Trésor de Rackham le Rouge, Haddock découvre les lois de l optique géométrique... À l aide de deu schémas, justifiez les eplications de Tintin. À travers quel miroir Haddock pourrait-il s observer la tête en bas et les pieds en l air? Faire un schéma. En considérant la case dessinée par Hergé, évaluer alors la focale du miroir correspondant. E-O3.6 Autocollimation : On considère un miroir sphérique concave, de centre et de rayon R = S < 0. Un objet transverse AB est placé avant le miroir, et celui-ci en fait une image A B. ) EprimerlegrandissementG t = A B dumiroirenfonctiondelapositiondel objet(p = SA) AB et celle de l image (p = SA ) sur l ae optique. 2) On veut que l image se forme dans le plan de l objet. Quel est le grandissement du miroir? 3) Quelle position particulière occupe alors l objet? En déduire une méthode de détermination epérimentale de la distance focale d un miroir concave. 4) ette méthode est-elle transposable au cas d un miroir convee? Rép : ) f. ours G t = A B AB = p p ; 2) A = A, donc p = p et G t = ; 3) En utilisant la relation de conjugaison avec origine au centre, on obtient : A = ; 4) Pas de manière très pratique car l objet doit être virtuel, et donc l image aussi. E-O3.7 Télescope à deu miroirs concaves Un télescope est formé de deu miroirs sphériques de même ae optique. On cherche à obtenir la formation del imaged unastreparcesystèmedansleplantransverse passant par S. On note R = S = 6 cm. L astre, en l occurrence la Lune, est vu sous un angle 2α = 0,5, symétriquement par rapport à l ae optique. ) Déterminer la position et le rayon du miroir M 2 pour que l image finale soit trois fois plus grande que l image intermédiaire et renversée par rapport à cette dernière. (M 2 ) S 2 S (M ) 2) Représenter sur un schéma les rayons lumineu issus de la Lune et leur chemin dans le télescope. L image finale est-elle droite ou renversée? 3) Si l on veut observer l image donnée par le télescope directement à l œil, il faut que l image finale soit à l infini pour que l œil n accommode pas. Où doit-on placer le miroir M 2? 4) Dans le cas précédent, calculer le grossissement obtenu, rapport des angles sous lesquels la Lune est vue avec et sans télescope. Rép : ) S S 2 = 2 cm et R 2 = S 2 2 = 6 cm 2) image droite; 3) G = jpqadri@gmail.com

3 Eercices Optique géométrique PTSI E-O3.8 Le portrait des Arnolfini Selon des recherches récentes, les peintres du XV ème siècle seraient parvenus à un réalisme inégalé en projetant le sujet à peindre sur la toile. On suppose que Jan Van Eyck utilisa en 434 un miroir concave M de sommet S pour peindre le portrait de Giovanni Arnolfini et de sa femme. Tableau de Van Eyck et détail du miroir du fond. Les personnages (objet AB) sont projetés sur la toile à l aide du miroir concave M. ) Sur la toile, les personnages mesurent A B = 64 cm et mesuraient en réalité AB =,60 m. Déterminer le grandissement G t. 2) Les règles de l optique géométrique permettent de déterminer la position du miroir de projection (S A = 3 m). Déterminer puis calculer la distance focale f du miroir M. 3) En déduire la position du chevalet S A l. 4) On étudie maintenant le miroir convee M 2 de sommet S 2 situé sur le mur du fond faisant l image des personnages (objet AB), comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Les personnages étant à une distance S 2 A = 2,5 m du miroir et le miroir ayant un rayon de R 2 = 36 cm, préciser la position et la taille de l image de AB par le miroir M 2 et les calculer. 5) Déterminer la position du chevalet S A 3 pour peindre l image de AB par les miroirs M 2 puis M. Quelle est alors la taille de l image A 3 B 3 sur la toile? Rép : ) G t = 0,4; 2) f = 0,86 m; 3) S A =,2 m 4) A 2 B 2 = cm; 5) A 3 B 3 = 2 cm E-O3.9 Principe du télescope de assegrain (*) Un miroir sphérique concave de sommet S et de distance focale f = 00 cm, percé au voisinage du sommet et un petit miroir sphérique convee, de sommet S 2 et de distance focale f 2 sont disposés de telle sorte que leur ae principal commun S S 2 soit aligné avec le centre du soleil. Sachant que le soleil est vu de la terre sous un angle 2α = 0 2 rad et que le diamètre de son image, qui se forme en S, est 5 cm : ) Étudier l image intermédiaire du soleil donnée par le miroir concave supposé seul. 2) Représenter la marche des rayons provenant du disque solaire et se réfléchissant sur les 2 miroirs. 3) alculer f 2 et S S 2. jpqadri@gmail.com 3

4 PTSI Eercices Optique géométrique E-O3.0 Téléobjectif à deu miroirs (*) Un téléobjectif est constitué de deu miroirs : un miroir concave M de 30cm de focale, percé d un trou en son sommet S, et d un miroir M 2. ) Quel doit être le rayon de courbure de M 2 pour que l image d un objet placé à l infini sur l ae se forme sur le plan du film? 2) Quel doit être le diamètre d 2 de M 2 pour que tous les rayons réfléchis par M de diamètre d = 0 cm soient collectés par M? 3) Quel doit être le diamètre d 3 du trou pour que les rayons atteignent le film? Solution E-O3.8 ) L image est réelle puisqu elle est projetée; elle est éalement renversée et réduite : G t = A B AB = 0,4 2) En utilisant la relation du grandissement avec origine au foyer F du premier miroir, on obtient : D où : f = G t G t.s A = 0,86 m 3) On utilise la relation de conjugaison : On trouve : S A = f.s A S A f =,2 m G t = F S F A = f f +S A + S A S A = 2 = S f 4) L image A 2 B 2 est virtuelle, droite et réduite. En utilisant la relation de conjugaison avec origine au sommet on trouve : + S 2 A 2 S 2 A = 2 S 2 A 2 = S 2A.S 2 2 = 0,7 m S S 2 A S 2 2 Par définition : G t2 = S 2A 2 S 2 A = 0,077 D où : A 2 B 2 = G t2.ab = cm 5) En utilisant la relation de hasles : S S 2 == S A+AS 2 = 5,5 m Toujours en appliquant la relation de conjugaison avec comme objet virtuel A 2 B 2, on obtient, avec S A 2 = S S 2 +S 2 A 2 = 5,67 m : S A 3 =,0 m omme G t3 = S A 3 S A 2 = 0,8, les personnages mesurent alors : A 3 B 3 = 0,8 = 2 cm 4 jpqadri@gmail.com

5 Eercices Optique géométrique PTSI Solution E-O3. ) On trace un rayon 2 parallèle à passant par (il n est pas dévié) ou par F (il émerge parallèlement à l ae optique). Les deu rayons et 2 incidents peuvent être supposés venir d un objet ponctuel placé à l infini dont l image est un foyer image secondaire. le plan focal objet. ette intersection peut être considérée comme un foyer objet secondaire dont l image est à l infinie. Les rayons émergents doivent donc être parallèles entre eu. Le rayon 2 émerge en passant par F = F ;ilindiqueladirectiondurayon émergent. 2) On trace un rayon 2 incident venu de et passant par l intersection de avec le plan focal objet. ette intersection peut être considérée comme un foyer objet secondaire dont l image est à l infinie. Les rayons émergents doivent donc être parallèles entre eu. Le rayon passant par n étant pas dévié, il indique la direction du rayon émergent. On trace un rayon 2 incident parallèle à l ae optique passant par l intersection de avec 3) On imagine un objet AB dont l etrémité B est traversée par. On construit l image A B de AB en utilisant les rayons utiles issus de B et on complète sachant qu il passe aussi par B. Solution E-O3.0 M ) A F = A M 2 A Film L objet A est à l infini, son image intermédiaire est au foyer de M, soit : S A = S F = 30cm, d où : p 2 = S 2 A = S 2 S + S A = = 0cm. De plus, comme A, image de A à travers M 2, doit appartenir au film photographique, on a : p 2 = S 2A = S 2 S +S A = = +28 cm. alors, en utilisant ( la relation de conjugaison pour M 2 p + = = 2 ), on 2 p 2 f 2 S 2 2 obtient : S 2 2 = R 2 = 2 p 2 p 2 p 2 +p 2 = 3,cm Rq : le miroir M 2, pour la lumière incidente est un miroir concave (comme M ), mais c est en tant que miroir convee qu il est utilisé puisqu il agit sur les rayons réfléchis par M! 2) Pour que tous les rayons réfléchis par M soient collectés, il faut qu ils frappent tous M 2 pourensuiterevenirsurm.pourcela,ondoit avoir : tanα = d 2 2S 2 A = d 2S A d 2 = d S 2 A S A = = 3,33cm 3) Pour que tous les rayons atteignent le film, on doit avoir : tanα = d 2 2S 2 A = d 3 2S A S A d 3 = d 2 S 2 A = 3, = 0,95cm jpqadri@gmail.com 5