Licence Science de la Mer et de l Environnement. Physique Générale
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- Fabienne Lesage
- il y a 7 ans
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1 Licence Science de a Mer et de Environnement Physique Générae Chapitre 1 :L osciateur harmonique 1- Les équations aux dimensions Quand on écrit des équations en physique, i est important de vérifier es erreurs de cacu éventuees. Une des méthodes est de vérifier que es dimensions sont correctes. Par aieurs cette technique permet de connaître es unités d une randeur physique inconnue. Depuis a Révoution Française, et a mise en pace du système métrique, pusieurs systèmes ont été éaborés. Le dernier en date, e Système Internationa (SI) s appuie sur es randeurs suivantes : M Le mètre a pour dimension une onueur L K Le kioramme a pour dimension une masse M S La seconde a pour dimension un temps T A L ampère a pour dimension un courant I C est ancien système MKSA qui porte maintenant e nom de SI. Auparavant on utiisait e système CGS (Centimètre, Gramme, Seconde). Exempes : La vitesse, exprimée en mètres/seconde, on écrit [vitesse] = LT -1 L accéération, exprimée en mètres/seconde/seconde, on écrit [accéération] = LT - La force, déduite de a formue f = ma on écrit [force] = MLT - L énerie, déduite de a formue E = (1/)mv on écrit [énerie] = ML T - - L osciateur harmonique L osciateur harmonique est un système très utiisé en physique. On retrouve ce formaisme dans de nombreux systèmes, par exempe une masse attachée à un ressort, ou un pendue simpe. Pour iustrer équation du mouvement, nous aons étudier e pendue simpe..1. Le pendue simpe Soit une masse «m» supposée ponctuee attachée par une tie de masse néieabe au point «M»et de onueur à un point «O». Initiaement on dépace a masse de sa position d équiibre d un ane «θ» comme montré sur a fiure 1. Sur a masse «m» s exercent deux forces : d une part e poids P = m, et d autre part a traction sur a tie T. En appiquant e principe de a dynamique du point, on trouve : P+ T= ma Si nous projetons ces a force due au poids d une part e on du rayon OM, et d autre part sur a tanente au point M, on trouve : F = m cos(θ) 1
2 Et f = - m sin(θ) Cette force est néative, car ee est de sine opposé à ane θ. Comme e point «M» reste en permanence sur e cerce de rayon, i faut que T+F. I ne reste donc pus comme force que «f». L équation du mouvement est donc : -m sin(θ) = ma θ où a θ est accéération anuaire. I n y a pas d accéération radiae, car e point M reste sur un cerce de rayon constant. Dans un mouvement circuaire, a vitesse tanentiee est donnée par : et accéération tanentiee sera : v θ =θ a θ = θ Donc, m sin( θ) =m θ En simpifiant, on obtient équation du mouvement : θ + sin( θ) (1) Cette équation est difficie à résoudre à cause du sinus. On constate tout de même qu ee ne dépend pas de a masse. Ee ne dépend que de a onueur du pendue et de accéération de a pesanteur. O θ Un cas particuier est ceui des petits mouvements où ane «θ» est petit. Dans ce cas, sin(θ) = θ L équation du mouvement (1) devient : θ + θ=0 () f T M m F P Fiure 1 Nous aons maintenant chercher a soution θ(t) de a forme : En dérivant par rapport au temps, on obtient : θ(t)= θ 0 cos(ω 0 t+ (3)
3 θ ( t) = θ ω0sin( 0 En dérivant une deuxième fois par rapport au temps, on obtient : θ ( t ) = θ0ω 0 cos( (4) En rempaçant (3) et (4) dans () nous obtenons : θ 0 ω0 cos( + θ0cos( que on peut réécrire en reroupant es termes : ( ω0 )cos( Cette équation doit être vérifiée que que soit «t» donc ω 0 donc ω 0= (5) ω 0 est a pusation propre du pendue. Sachant que ω 0= π, on en déduit que a période propre du pendue simpe pour des petits T0 mouvements est : T π 0 = (6) On peut vérifier a vaidité de cette reation en reardant équation aux dimensions : [T 0 ] = T et T LT L = = La reation (6) est donc homoène du point de vue des dimensions. 1/ Pour déterminer compètement équation du mouvement, i manque a connaissance de θ 0 et ϕ. Pour es trouver, i faut connaître es conditions initiaes, c est à dire ane et a vitesse anuaire à t=0. Ce sera vu en exercice au cours des Travaux Diriés. Appication numérique Lonueur =1m et =9,81ms - Cacuer a période Quee doit être a onueur pour que a période soit de 1seconde? 1/ 3
4 .1. Le ressort horizonta Le mouvement d un ressort est identique à ceui du pendue dans approximation des petits mouvements. Afin de s affranchir de a force ravitationnee, nous paçons e ressort horizontaement sur axe Ox. Une masse «m» isse sur axe Ox sans frottements. Soit «O» a position de a masse «m» au repos. Soit «M» a position de a masse «m» quand e ressort est aoné de «x» comme indiqué sur a fiure. O x M x La raideur du ressort étant «k», a force de rappe «F»est proportionnee à aonement «x». Dans cette appication a onueur du ressort n intervient pas. Nous avons : F = -kx, mais éaement avec comme pour e pendue F = ma «x» et «a» étant des fonctions du temps, on obtient : m x( t) = kx( t) cette reation se réécrit : Fiure x ( t) + x( t) (7) La reation (7) est formeement identique à a reation (). On a résout de a même manière en posant : x(t) = x 0 cos(ω 0 t+ (8) En dérivant par rapport au temps, on obtient : x ( t) = x ω 0sin( ) (9) 0 ϕ En dérivant une deuxième fois on obtient : x ( t) = x ω cos( ) (10) 0 0 ϕ En reportant es reations (8) et (9) dans a reation (7), on obtient : x 0 ω0 cos( + x0cos( 4
5 En reroupant es termes, on obtient : On obtient : ( 0 x0 )cos( ω t+ ω 0= et T m 0 = π (11) k De a même manière que pour e pendue simpe, on peut vérifier que es dimensions sont correctes. En effet : [T 0 ] = T et 1/ 1/ M T [ ] [ F M k ] L MLT M = = = = 1 = L= 1 De a même manière pour déterminer compètement équation du mouvement, i faut connaître es conditions initiaes, c est à dire a position et a vitesse au temps t=0. par exempe si on suppose qu à t=0, ampitude x(0)=x 0, et que a vitesse initiae est nue : x ( 0), aors en repaçant ces deux vaeurs dans es équations (8) et (9), on obtient : X 0 = x 0 cos( Et 0=x 0 ω 0 sin( donc sin(=0 Donc ϕ ou π et cos( = 1 ou =1, donc On trouve x 0 = X 0 ou x 0 = -X 0 En fait ces deux soutions sont équivaentes, et équation du mouvement s écrit : x(t) = X 0 cos(ω 0 t) avec ω 0 = Si on trace sur a courbe de x(t) en fonction du temps, on obtient a fiure 3 X 0 O T/4 T/ 3T/4 T -X 0 Fiure 3 5
6 On peut montrer que énerie de osciateur se conserve, c est à dire que a somme entre énerie potentiee et énerie cinétique est constante. L énerie cinétique est donnée par : Ec = 1 mv L énerie potentiee est donnée par : Ep= 1 kx L énerie totae est donc : E 1 T = 1mv + kx En rempaçant v et x par eurs vaeurs, on obtient : E 1 sin( ) 1 cos T = mx0ω 0 ϕ + kx0 ( on déduit de (11) : m ω0 = k Donc : E 1 (sin( ) cos T = kx0 ω 0t+ ϕ + ( ) Finaement : ET = 1 kx 0 Ceci correspond à énerie potentiee quand e ressort est tendu au maximum avec une vitesse nue 6
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