POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section i-prépa -

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2 Chapitre 10 : Oscillateurs mécaniques (II) 5. Oscillateur mécanique libre amorti : En présence de frottements, il n y a plus conservation de l E m, celle-ci se dissipe sous forme de chaleur. a) Régime pseudo-périodique : Dans le cas où les frottements sont faibles (, la période reste sensiblement la même que celle de l oscillateur libre amorti, l amortissement influe uniquement sur l amplitude. Plus les frottements augmentent, plus les oscillations sont amorties : on observe alors également une influence sur la période, elle devient légèrement supérieure à Modélisation : Système : {le dispositif solide-ressort} Référentiel : terrestre considéré comme galiléen Bilan des forces :, 2 ème Loi de Newton : Projection sur : Les solutions sont de la forme : ou

3 Avec : Aspect énergétique : L Energie Mécanique n est plus conservée au cours des oscillations, elle est dissipée par les frottements sous forme de chaleur.

4 b) Régime critique et apériodique : Encas de frottements très importants (forte viscosité du fluide), le solide revient à sa position d équilibre sans même osciller une fois. L amortissement critique correspond à la durée la plus courte pour que le système revienne à l équilibre sans osciller. L amortissement critique est une phase intermédiaire entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. ( régime intermédiaire entre «encore une oscillation» et «plus aucune oscillation»). Régime apériodique : le système n effectue plus aucune oscillation, selon l intensité des frottements, il met plus ou moins de temps pour revenir à l équilibre (système au-dessus des lourdes portes des bâtiments publics pour éviter qu elles ne claquent)

5 Résumé 6. Oscillations forcées ; régime entretenu On part d un oscillateur amorti. Si on le laisse libre d osciller, progressivement il va perdre de l énergie et les oscillations vont diminuer jusqu à devenir nulles. Pour compenser les pertes d Energie Mécanique occasionnée par les frottements, on peut entretenir les oscillations par un agent extérieur composé d un moteur de fréquence réglable : celui-ci applique une force motrice périodique de la forme t) L amplitude des oscillations du système appelé résonateur dépend alors de la fréquence de rotation de l excitateur.

6 Lorsque la fréquence de l excitateur est voisine de la fréquence propre du résonateur, celui-ci oscille avec une amplitude maximale : on dit que le système se trouve à la résonance Pour un faible amortissement, la courbe de résonance est aigüe (résonance pointue). Pour un fort amortissement, la courbe est plus aplatie, la résonance est dite «floue» et l on constate que la fréquence de résonance est plus faible que la fréquence propre du résonateur. Pour des amortissements très élevés, il est impossible à l excitateur de faire entrer le résonateur en résonance.

7 II. Pendule simple : Un pendule simple est constitué d un solide de petites dimensions, de masse m, suspendu à un point fixe O par une tige ou un fil inextensible l de masse négligeable. Ecarté de sa position d équilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g. Oscillations «libres» car le pendule écarté de sa position d équilibre est abandonné à lui-même. : abscisse angulaire Etude du mouvement : En l abscence de frottements, le système est conservatif, donc or, si avec = mgh + ½ mv² = mgl (1 cos + ½ mv² :

8 angulaire des oscillations du pendule pesant Cette équation différentielle est de la forme d un oscillateur harmonique, d expression générale : D où, ici, l expression de la pulsation propre : Période propre du pendule pesant simple : exemple : a) quelle est, sur Terre où g = 9,81 m/s², la longueur d un pendule battant la seconde? b) Quelle serait la période de ce même pendule sur la Lune (

9 Loi des masses : la période lui est accrochée ne dépend aucunement de la masse qui Loi d isochronisme : pour des petites oscillations ( la période est constante ; quelque soit l angle duquel on lâche le pendule, la période restera la même (à condition que cet angle soit petit, c-àd < 20 ) Conclusion : la période d un pendule pesant simple est indépendante de la masse et de l angle de lâcher (avec

10 Enoncé des exercices sur Oscillateurs Mécaniques (II) exercice 1 : Energies d un système {solide ressort} On dispose d'un système solide-ressort constitué d'un mobile de masse m = 250 g accroché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur k = 10 N.m -l. Le mobile assimilé à son centre d'inertie G peut osciller horizontalement sur une tige parallèlement à l'axe Ox (figure 1). On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le point O coïncide avec la position de G lorsque le ressort est au repos. m G O ir x Figure 1 Partie A : Dans un premier temps, on néglige les frottements du mobile sur son rail de guidage. 1. Faire l'inventaire des forces exercées sur le mobile ; sur la figure 1 sur la copie et représenter les différents vecteurs forces sans souci d'échelle. 2. Etablir l'équation différentielle du mouvement. 3. æ k Vérifier que x = x M cos. m t j ö + ç est solution de cette équation différentielle quelles que è ø soient les valeurs des constantes x M et j. 4. Le mobile est écarté de sa position d'équilibre et lâché à l'instant t = 0 s, sans vitesse initiale, de la position x 0 = + 2,0 cm, et x M > 0. Déterminer numériquement x M et j. 5. Calculer la période propre T 0 du mouvement. Partie B : On suppose maintenant que les frottements ne sont plus négligeables et peuvent être modélisés par une force dont la valeur est proportionnelle à celle de la vitesse et dont le sens est opposé à celui du mouvement : (m > 0). Un dispositif d'acquisition de données permet de connaître à chaque instant la position du mobile. (figure 2). Un logiciel de traitement fournit les courbes de variation, en fonction du temps, de l'énergie mécanique (E m ), de l'énergie cinétique (E c ) et de l'énergie potentielle élastique (E p ) du système solideressort (figure 3). 1. À l' aide de la figure 2, déterminer la pseudo-période T du mouvement. Comparer sa valeur à celle de la période propre calculée Partie A. 2. Identifier par leur lettre (A ou B) les courbes E c (t) et E p (t) de la figure 3 en justifiant les réponses. 3. Pourquoi l'énergie mécanique du système diminue-t-elle au cours du temps? 4. Sur les figures 2 et 3 de l'annexe sont repérés deux instants particuliers notés t 1 et t 2.

11 En utilisant la figure 2 et en justifiant la réponse, indiquer auquel de ces instants la valeur de la vitesse du mobile est : a) maximale b) nulle 5. Que peut-on en conclure quant à la valeur de la force de frottement à chacun de ces instants? 20 x (10 3 m) Figure t 1 t 2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 t (s) (mj) 2,0 E c, E p, E m Figure 3 1,5 E m (t) 1,0 0,5 B 0 t 2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 t 1 A t (s)

12 exercice 2 : Un palet P 1 de masse m 1 est propulsé le long d'une piste à coussin d'air. La piste comporte une rampe AB de longueur L inclinée d'un angle a sur l'horizontale, suivie d'un trou T afin de recevoir ce palet. Le palet P 1 est propulsé grâce à un choc avec un palet P 2, de masse m 2 = 4 m 1. Le palet P 2 est lui même relié à un ressort R horizontal, de masse négligeable et de constante de raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixe en O. A l'équilibre, la position du centre d'inertie du palet P 2 est notée G 0 telle que OG 0 = l 0. Données : m 1 = 50 g ; m 2 = 200 g ; k = 20 N/m ; l 0 = 24 cm ; g = 10 m/s² ; a = 30. Tous les frottements sont négligés ; le ressort exerce une force proportionnelle à sa déformation. I. Etude du mouvement du palet P 2 : Un joueur comprime le ressort : la nouvelle position du centre d'inertie G 2 du palet devient G 1 telle que OG 1 = 0,25 l 0 =. Puis ce même joueur le lâche à un instant pris comme origine des dates, sans communiquer de vitesse initiale à P Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du palet P 2. L'origine sur l'axe x'x est G L'équation du mouvement de G 2 est : x(t) = A sin (w 0 t + f) où x est l'abscisse de G 2 sur [G 0 x) a) Quelle est la nature du mouvement de G 2? b) Préciser la signification physique de A, w 0, f. c) Déterminer les valeurs des constantes A et f. d) Etablir l'expression littérale de w 0, de la période T 0 ; faire l application numérique e) En déduire numériquement l'équation horaire x(t) 3. a) Donner l'expression littérale et numérique de la vitesse v(t) de G 2. b) A quel instant t 0, le centre d'inertie G 2 du palet passe-t-il en G 0?

13 c) Déterminer la valeur de la vitesse lors du passage en G Exprimer l'énergie mécanique du système ressort et palet à un instant t quelconque en fonction de A et k ; la calculer a) Que vaut cette énergie à l'instant t 0? b) En déduire de manière littérale puis numérique la vitesse v 0 du palet à l'instant t 0 ; cette valeur est-elle en accord avec celle trouvée en 3? II. Etude du mouvement du palet P 1 Le choc entre les palets a lieu lorsque le centre d'inertie G 2 du palet P 2 passe en G 0. Lors du choc, on considère que le palet P 2 transmet intégralement son énergie cinétique au palet P 1 ; 1. Calculer la vitesse v 1 acquise par du le centre d'inertie G 1 du palet P 1 au moment du choc. 2. En déduire la vitesse v A du centre d'inertie G 1 du palet P 1 au passage en A. 3. Calculer la vitesse v B au passage au sommet de la rampe, sachant que B est situé à une hauteur h B = 25 cm au dessus du plan horizontal passant par A. 4. Quelle doit être la longueur minimale L min de la rampe? Donner l expression littérale en fonction de v A, g et ; faire l application numérique 5. Déterminer l'équation de la trajectoire du centre d'inertie G 1 du palet P 1 au delà de B, dans le repère O'xz. 6. A quelle distance du point O' faut-il percer le trou? 7. Déterminer l'expression littérale, puis numérique, de la vitesse du palet P 1 retombant sur le sol. exercice 3: Un enfant de masse m= 30 kg est assis sur une balançoire. On considère ce système équivalent à un pendule simple de longueur OM = 3m. On choisit comme origine de l 'énergie potentielle de pesanteur le plan horizontal qui contient le centre de gravité de l'enfant lorsqu'il est au repos (point S). A l'instant t = 0 on propulse à la vitesse v 0 = 1,7 m/s l'enfant qui était au repos. 1. A quelle hauteur maximum z 1 le centre de gravité de l'enfant s'élève t-il? 2. Quelle l'amplitude angulaire a des oscillations? 3. Déterminer la période T 0 des petites oscillations.

14 4. Après quelques oscillations on met une butée en B raccourcissant ainsi la longueur du pendule : BM =1 m a) Jusqu'à quelle hauteur l'enfant s'élève t-il? b) Peut-on considérer les oscillations comme petites?

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