CALCUL INTÉGRAL. 1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b] Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a.

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1 CALCUL INTÉGRAL. Défiiio de l'iégrle ds le cs d'ue focio coiue posiive sur u segme [, ].. Défiiio L'uié d'ire Soi P u pl mui d'u repère orhogol (O ; i, j ). Soie I, J e K les pois défiis pr : OI = i, OJ = j e OK = i + j O ppelle uié d'ire (oée e régé u..) l'uié de mesure des ires elle que : J j O u.. i I K Aire(recgle OIKJ) = u.. Remrques : OIKJ peu êre u crré lorsque le repère (O ; i, j ) es orhoormé. Si l'o, pr eemple, OI = 3 cm e OJ = cm, lors ue uié d'ire correspod à 6 cm... Défiiio Noio d'iégrle d'ue focio coiue posiive e qu'ire Soi P u pl mui d'u repère orhogol (O ; i, j ). Soie : e deu réels vec. ƒ ue focio coiue (ou coiue pr morceu () ) e posiive sur le segme () [, ]. O ppelle iégrle de ƒ de à l'ire, eprimée e u.., du domie D suiv : D = {M(, ) P els que e } (D es le domie délimié pr l coure de ƒ, l'e des scisses e les deu droies vericles d'équios = e = ) O oe cee quié : Les réels e s'ppelle les ores de l'iégrle. Illusrio : d ou ƒ( )d u.. = ue uié d'ire L'ire de D es de mesure C ƒ FINIE. E effe, ƒ es coiue sur le segme [, ] doc D mjorée. Il eise doc u recgle coe D. O Remrques : L vrile (ou ou ure) figur ds l'iégrle es "muee" ; elle peu êre oée pr oue ure lere. Le smole d (ou d) e joue ucu rôle pour le mome, si ce 'es de préciser quelle es l vrile. () Cee hpohèse es idispesle pour défiir l'iégrle d'ue focio e esclier. () U segme es u iervlle fermé oré. Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

2 Premiers eemples : Rpporos le pl à u repère orhoormé (O ; i, j ) vec i = j = cm. (Aisi u.. correspod à cm ) Cs d'ue focio ƒ égle à ue cose posiive (oée k + ) sur [, ] lors : d = k d= ( )k u.. (O simpleme ppliqué l formule logueur lrgeur pour clculer l'ire d'u recgle!) k C ƒ J u.. D O I E priculier, si ƒ es ulle sur [, ] lors : d = Cs d'ue focio ƒ ffie (oos = m + p) supposée posiive sur [, ] lors : d = Aire du rpèze ABB'A' = (peie se + grde se) hueur m + p C ƒ B' m + p J u.. O I A' A D B d = ( AA + BB ) AB = ( m+ p+ m+ p )( ) = m( ) + p( ) L formule ci-core 'es ps à coîre pr cœur. Cs de l prole. Soi ƒ l focio défiie sur pr : = O vu (voir le DM sur l qudrure de l prole) qu'lors : d= 3 Cs d'ue focio e esclier (oujours supposée posiive) sur [, ] : Il s'gi des focios pour lesquelles il eise des réels,,..., vérifi : = < <... < = els que ƒ soi cose sur chcu des iervlles ouvers ] i, i+ [ ( i ) L'esemle { ; ;... ; } es ppelé ue sudivisio dpée à ƒ. Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

3 E o λ i l vleur cose de ƒ sur ] i, i+ [, o lors : d = ( + ) λ i= i i i (Ps de pique, cee formule 'es qu'ue somme d'ires de recgles!) Illusrio vec = 4. λ Remrque : ƒ peu predre des vleurs quelcoques e les pois de l sudivisio, cel 'ur ps d'icidece sur l'ire. des recgles. λ λ 4 λ 3 O = 3 4 = Remrques : ƒ peu predre 'impore quelle vleur e chcu des pois i ; cel e modifie ps l'ire. L formule doée ci-dessus pour les focios e escliers e fodmele. C'es cee formule (géérlisée à des λ i réels quelcoques) qui ser prise e défiiio plus rd (clsses pos-c). E effe, d'ue pr, il es fcile de prouver les propriéés (elle que l liérié) des iégrles pour les focios e escliers. D'ure pr, il u résul rès for qui es que "oue focio coiue sur u segme peu êre pprochée pr des focios e escliers" ce qui perme d'éedre les propriéés oeues sur les focios e escliers u focios coiues. C'es isi que l'o cosrui, pr eemple, l'iégrle die de Riem. Eemple fodmel : qudrure de l'hperole Noos, pour ou [, + [, S() l'iégrle : S() = D'près l défiiio.., S() es l'ire du domie : d D() = {M(, ) P els que e } (D() es le domie délimié pr l coure de l focio iverse, l'e des scisses e les droies vericles d'équios = e = ) Soi u réel fié de l'iervlle [, + [. Soi u réel de l'iervlle [, + [. Disiguos deu cs : Clcul iégrl. Pge 3 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

4 O Cs :. Alors S() S( ) es l'ire du domie délimié pr l coure de l focio iverse, l'e des scisses e les deu droies vericles d'équios = e =. Or, pr décroissce de l focio iverse, o : S() S( ) es ecdrée pr l'ire de deu recgles, de lrgeur ( ) e de hueurs respecives O doc : S() S( ) S () S ( ) e : E pss à l limie lorsque ed vers, le héorème des gedrmes perme d'ffirmer que l'ccroisseme S () S ( ) moe dme ue limie e égl à, l focio S es doc dérivle à droie e. Cs :. U risoeme logue à ci-dessus more que S es dérivle à guche e. Bil : o doc : S'( ) = Ce risoeme é vlle pour ou réel de [, + [, o doc pour ou de [, + [ : S'() = Cosidéros mie l focio ƒ défiie sur [, + [ pr : = S() l L focio ƒ es dérivle sur [, + [ (cr l focio S e le logrihme épérie le so) e o : E coséquece, ƒ es cose sur [, + [ : ƒ'() = S'() (l )' = = = k Or, = S() l = D'où k = e ƒ es ulle sur [, + [, o coclu : S = l O moré que pour ou réel de [, + [ : d = l O more, de même, ce résul pour ] ; [. Clcul iégrl. Pge 4 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

5 Eercice : Soi ƒ l focio défiie sur [ ; ] pr : =. Vérifier que l coure C ƒ représe ƒ es le demi-cercle de cere O e de ro qui es siué ds le demi-pl des ordoées posiives.. E déduire : Soluio : d= 4. Soi M(, ) u poi de C ƒ. O lors : = Doc M es siué ds le demi-pl des ordoées posiives. De plus : OM = + E comme OM (c'es ue disce) : OM = = + = Doc M es siué sur le demi-cercle de cere O e de ro correspod u ordoées posiives. Réciproqueme, soi N(, ) u poi de ce demi-cercle. O lors : e ON = e + = e = E comme [, ], o, d'où : = = N C ƒ O moré que l coure C ƒ coïcide vec le demi-cercle de cere O e de ro qui es siué ds le demi-pl des ordoées posiives.. L quié dreprésee l'ire du domie délimié pr C ƒ, l'e des scisses e les droies vericles d'équios respecives = e =. Ce domie es u qur de disque de ro. So ire es doc égle à : 4 d= u.. 4 C ƒ O Clcul iégrl. Pge 5 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

6 .3. Propriéé Clcul de l'ire siuée ere deu coures Soie ƒ e g deu focios coiues e défiies sur u segme [, ]. O suppose que : g ƒ sur [, ] Alors, l'ire du domie D défii pr D = {M(, ) P els que e g() } es doée, e u.., pr : d g ()d Démosrio : Noos, pour oue focio coiue ƒ sur [, ] : D(ƒ) = {M(, ) P els que e compris ere e } Aisi, o l priio : D(g) D = D(ƒ) ( : uio disjoie) E pss u ires : Aire(D(g)) + Aire(D) = Aire(D(ƒ)) g ()d + Aire(D) = d D'où le résul. Eemple : Avec ƒ e g défiies sur [ ; ] pr : = e g() = C g C ƒ L'ire D hchurée ci-core es doée pr : Aire(D) = d d= 3 = 6 Eercice : Démorer que : d= 3 (O pourr se plcer ds u repère orhoormé e uiliser l fi que les coures représeives des focios défiies sur + pr e so smériques pr rppor à l droie d'équio = ).4. Défiiio Permuio des ores Soi P u pl mui d'u repère (O ; i, j ). Soie e deu réels vec e ƒ ue focio coiue sur [, ]. O covie lors que : = Aureme di, permuer les ores de l'iégrle chge le sige de celle-ci. Clcul iégrl. Pge 6 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

7 . Eesio u focios de sige quelcoque sur u segme [, ].. Défiiio Cs d'ue focio égive Soi P u pl mui d'u repère (O ; i, j ). Soie e deu réels vec. Soi ƒ ue focio coiue (ou coiue pr morceu) e égive sur le segme [, ]. O ppelle iégrle de ƒ de à l'opposé de l'ire, eprimée e u.., du domie D suiv : D = {M(, ) P els que e } Cee quié es ecore oée. Aureme di, lorsque ƒ es égive sur [, ], o : = Eemple : Clculer l'iégrle : ( )d O vérifie que l'pplicio ( ) es ie égive sur [ ; ]. Le domie D = {M(, ) P els que e } es ici u rpèze d'ire 3 u.. (eercice) Comme l focio iégrée es égive sur [ ; ], o e dédui : ( )d= 3.. Défiiio Cs d'ue focio de sige quelcoque Soi P u pl mui d'u repère (O ; i, j ). Soie e deu réels vec. Soi ƒ ue focio coiue (ou coiue pr morceu) sur le segme [, ]. O défii deu ouvelles focios coiues () (ou coiues pr morceu) ƒ + e ƒ pr : ƒ + ƒ( )si () = e ƒ () = sio O ppelle lors iégrle de ƒ de à l quié (Évidemme ƒ + es posiive e ƒ es égive) ƒ( )si sio + = ƒ ()d + ƒ ()d Cee derière iégrle es égive (cr ƒ l'es). E d'ures ermes, se clcule e comp posiiveme l'ire des domies où ƒ es posiive e égiveme l'ire des domies où ƒ es égive. () Le leceur cosciecieu pourr vérifier que ƒ + + ƒ = ƒ e ƒ + ƒ = ƒ. Il e déduir les relios ƒ + = ƒ+ƒ e ƒ = ƒ ƒ. Esuie, comme ƒ es supposée coiue (ou coiue pr morceu), l'pplicio ƒ l'es égleme (pr composiio) ; e comme l somme (e l différece) de focios coiues (ou coiues pr morceu) l'es ecore, o e dédui que les pplicios ƒ + = ƒ+ƒ e ƒ = ƒ ƒ so ie coiues (ou coiues pr morceu). Clcul iégrl. Pge 7 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

8 Illusrio e représeio des focios ƒ + e ƒ : C ƒ O + + C ƒ+ O O C ƒ Eemple : Clculer : I = 5 ( 3)d C ƒ + Après u clcul élémeire, o oie : I = + = 3 O Clculer l'ire A du domie hchuré. Cee fois-ci : A = + = 5 3 Clcul iégrl. Pge 8 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

9 Remrques : L'iégrle (d'ue focio coiue sur u segme) es doc ue ire lgérique. O verr, plus loi, ue méhode plus rpide de clcul des iégrles à l'ide des focios primiives. 3. Premières propriéés de l'iégrle d'ue focio ƒ sur u segme [, ] 3.. Propriéé Posiivié de l'iégrle Si ƒ es coiue e posiive sur le segme [, ] vec, lors : d Démosrio : C'es immédi puisque ue ire es posiive. Remrques : Évidemme, si ƒ es égive sur [, ] lors so iégrle es égive. Pr core, o e peu rie dire, priori, du sige de l'iégrle d'ue focio chge de sige sur [, ]. 3.. Propriéé Compiilié vec l'ordre (iégrio d'ue iéglié) Si ƒ e g so coiues sur le segme [, ] vec lors : ƒ g sur [, ] d g ()d Démosrio : Éudios d'ord le cs où ƒ e g so posiives (o doc ƒ g sur [, ]) : Noos pour oue focio coiue ƒ sur [, ] : D(ƒ) = {M(, ) P els que e } e D = {M(, ) P els que e g()} D C g C ƒ D(ƒ) O Vu les hpohèses, o l priio suive : D(g) = D(ƒ) D D'où : g ()d = + Aire(D) Clcul iégrl. Pge 9 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

10 E comme Aire(D), ous oeos : g ()d Éudios mie le cs où ƒ e g so de siges quelcoques sur [, ]. O suppose oujours que : ƒ g sur [, ] Comme ƒ es coiue sur [, ], elle es orée (e ei ses ores). Noos m le miimum de ƒ sur [, ]. Aisi les focios ƒ m e g m so posiives sur [, ]. Il es clir que l'ire du domie D compris ere les coures de ƒ e de g es égle à celle du domie compris ere les coures rslées de ƒ m e g m : Aire(D) = g ()d = ( g () m)d ( m)d O e dédui, là ecore que : g ()d Eemple :. Démorer que pour ou réel + :. E déduire que pour ou + : + l( + ) Soluio :. Comme +, o peu écrire : E e divis pr + > : + ( )( + ) + +. Soi +. E iégr, ere e, l'ecdreme ci-dessus, o oie : ( )d d + d Or, l'ire sous l coure représe l focio ere les pois d'scisses e es l même + (vi ue rslio) que celle sous l coure de l focio iverse ere les pois d'scisses e +. D'près le résul oeu lors de l qudrure de l'hperole, o : Pr illeurs, o clcule fcileme : d = + ( )d = + d = l( + ) e d = Nurelleme, ous verros plus loi des echiques plus priques pour clculer ces iégrles à l'ide des focios primiives. D'où : l( + ) Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

11 3.3. Propriéé Iéglié rigulire Soi ƒ ue focio coiue sur u segme [, ] ( ). Alors : d d Démosrio : O oujours : ƒ ƒ ƒ sur [, ] E iégr les iégliés ere e ( ), o oie : d d d D'où : d d 3.4. Propriéé Relio de Chsles Soi ƒ ue focio coiue sur u segme I. Soie, e c ds I. Alors : = + c c Démosrio : Noos P le pl mui d'u repère orhogol (O ; i, j ). Pour ous réels e de I, o oe : D(, ) = {M(, ) P, e compris ere e } (D(, ) es le domie délimié pr l coure de ƒ, l'e des scisses e les deu droies vericles d'équios respecives = e = ) Disiguos plusieurs cs : Cs c : Ds ce cs, o : D(, ) = D(, c) D(c, ) ( : uio disjoie) E pss u ires, o oie : Aire(D(, )) = Aire(D(, c)) + Aire(D(c, )) D'où : = + c c Aures cs : ils se déduise du précéde à l'ide de l relio =. Pour mémoire, démoros l'u de ces ures cs, pr eemple c. D'près l relio de Chsles (cs précéde), o peu écrire : c = + c D'où : = = + c c c c Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

12 Remrques : Cee relio de Chsles ser uilisée ds les deu ses (comme s cousie pour les veceurs), soi pour décomposer ue iégrle e deu (ou plus) soi pour regrouper plusieurs iégrles e ue seule. L relio de Chsles dme ue géérlisio pr récurrece : Pour ou,,..., ds I : = i= i+ i Eemple d'uilisio de l relio de Chsles : divergece de l série hrmoique. O pose, pour ou : u = k k = Soi. Comme l'pplicio es décroisse sur ] ; + [, o, pour ou k : k + k d k E somm, pour k ll de à, l relio de Chsles doe : Or, + d k k = l( + ) k k = lim l( + ) = +, doc, pr compriso, l suie (u ) diverge. + L méhode ci-core es ue des plus efficce pour prouver l divergece vers + de l série hrmoique Propriéé Compiilié vec l'ddiio Soie ƒ e g deu focios coiues sur u segme [, ]. Alors : ( ƒ () + g ()) d= + g ()d Démosrio (Hors progrmme) C'es u cs priculier de l liérié de l'iégrle e c'es rès délic à prouver. Nous uros esoi de deu lemmes impors sur les focios e esclier. Lemme Propriéé de compiilié vec l'ddiio pour les focios e escliers Soie ϕ e ψ deu focios e escliers sur u segme [, ]. Alors : ( ϕ () +ψ() ) d = ϕ()d + ψ()d Démosrio (Hors progrmme) Il eise doc u eier m * e des réels,..., m vérifi : = < <... < m = e els que : k, m, ϕ es cose sur ] k, k+ [ Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

13 De même, il eise u eier * e des réels,..., vérifi : = < <... < = e els que : k,, ψ es cose sur ] k, k+ [ Noos s = { ;... ; m }, s = { ;... ; } e s = s s. L sudivisio s coie u mimum m + + scisses disices e u miimum. Noos c,..., c r les élémes ordoés de cee sudivisio s ( r m + + ). Aisi ϕ e ψ so des coses (oées λ k e µ k respeciveme) sur chque iervlle ]c k, c k+ [ ( k r ). O lors : ( ϕ () +ψ() ) d = ( λ k +µ k) ( ck+ ck) = λk ( ck+ ck) + µ k ( ck+ ck) = ϕ()d + ψ()d r k= r k= (O uilisé l propriéé suive : l'iégrle d'ue focio e esclier e es idépede de l sudivisio dpée à e) r k= Lemme Soi ƒ ue focio coiue sur u segme [, ]. Soi ε +. Il eise des focios e escliers ϕ e ψ elles que : ϕ ƒ ψ sur I e ψ ϕ ε sur I Démosrio (Hors progrmme) Pour ou *, o défii ue sudivisio régulière {,,..., } du segme [, ] pr : k,, k = + k Comme ƒ es coiue sur [, ], elle l'es ussi sur chcu des segmes [ k, k+ ] ( k ), doc es orée, ce qui perme de défiir : M k = sup ƒ () e m k = [ k, k+ ] if [ k, k+ ] O défii lors des pplicios e esclier ϕ e ψ sur [, ] pr : e : k,, [ k, k+ ], ϕ() = m k e ψ() = M k ϕ() = m e ψ() = M Aisi, o ie : ϕ ƒ ψ sur [, ] Pr illeurs, ƒ é coiue sur le segme [, ], elle es uiforméme coiue (héorème de Heie) : ε +, η +, (, ) [, ], ( η ƒ() ε) Soi η le réel oeu pour le réel ε fié ds les hpohèses. O si que le ps de l sudivisio es : Soi k, e (, ) [ k, k+ ]. O doc : k+ k Choisissos u ps plus fi que η, oeu pour les eiers qui vérifie : Clcul iégrl. Pge 3 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

14 E η + Aisi : De l coiuié uiforme de ƒ, o dédui : η ƒ() ε Cee derière iéglié é vlle pour ous e de [ k, k+ ]. E priculier pour u el que = M k e u el que ƒ() = m k (eise ie cr ƒ ei ses ores) : M k m k ε D'où ψ ϕ ε sur chque [ k, k+ ] e doc sur [, ] Fi de l démosrio du lemme. Prouvos mie l propriéé de compiilié vec l'ddiio : Soi ε +. D'près le lemme, il eise ϕ, ϕ, ψ e ψ e escliers sur [, ] elles que : ε ε ϕ ƒ ψ, ϕ g ψ, ψ ϕ e ψ ϕ sur [, ] Posos : ϕ = ϕ + ϕ e ψ = ψ + ψ ϕ e ψ so lors des focios e esclier (ce 'es ps rès difficile à prouver e cosidér ue sudivisio dpée à l fois à ϕ e ϕ (pour ϕ) ou ψ e ψ (pour ψ) ; il suffi pour cel de cosidérer l réuio des pois de chcue des deu sudivisios) Aisi o évidemme : ϕ ƒ + g ψ e ψ ϕ ε De plus, d'près l propriéé d'iégrio d'ue iéglié : ( ƒ () + g ()) d Ψ()d ϕ () +εd E comme l'iégrle des focios e escliers es compile vec l'ddiio : ϕ () +εd= ϕ()d + ε( ) D'près le lemme, comme ϕ es l somme des focios e esclier ϕ e ϕ : ϕ()d = ϕ ()d + ϕ ()d D'où : ( ƒ () + g ()) d ϕ ()d + ϕ ()d + ε( ) E d'près l propriéé d'iégrio d'ue iéglié, il vie fileme : Pr des rgumes du même gere : ( ƒ () + g ()) d + g ()d + ε( ) + g ()d ()d ψ + ()d ψ ψ()d ϕ()d + ε( ) ( ƒ () + g ()) d+ ε( ) E fis edre ε vers ds les deu iégliés, o oie fileme : ( ƒ () + g ()) d= + g ()d D'ures propriéés sero évoquées plus loi près le prgrphe 4 sur les primiives. Clcul iégrl. Pge 4 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

15 4. Noio de primiive d'ue focio sur u iervlle 4.. Défiiio Soi ƒ ue focio défiie sur u iervlle I. O ppelle primiive de ƒ sur I oue focio F dérivle sur I elle que F' = ƒ sur I. Eemple : O cosidère l focio ƒ défiie sur pr : = 3 + cos Trouver (meleme) ue primiive F de ƒ sur. L focio F défiie ci-près covie : F() = 3 + si E effe, pour ou, l focio F es dérivle (comme somme de focios qui le so) e o : F'() = 3 + cos = Remrquos que si l'o vi choisi pour F l focio défiie pr F() = 3 + si + 4, ous urios ecore eu ue cdide sisfise. Doc si ue focio ƒ dme ue primiive, lors elle e dme ue ifiié. Remrque : l défiiio rese vlle si I es ue prie (o vide) de. 4.. Théorème Soi ƒ ue focio dme des primiives sur u iervlle I. Soie F e G deu primiives d'ue focio ƒ sur u iervlle I. Alors F e G diffère d'ue cose : F() = G() + c (c ) pour ou I Démosrio : Puisque F e G so des primiives de ƒ sur I, o : F' = G' = ƒ sur I Pr coséque : F' G' = sur I Or, F' G' = (F G)' (c'es l liérié de l dérivio). Doc : (F G)' = sur I Or, les seules focios qui o ue dérivée ulle so les focios coses (), doc o, sur I, : F G = c où c es ue cose. C F Grphiqueme, ds u repère orhoorml (O ; i, j ) les représeios grphiques C F c C G e C G se correspode pr ue rslio de veceur c j. j O i () Ce résul (qui éé dmis e clsse de première) se démore à l'ide du héorème des ccroissemes fiis. Clcul iégrl. Pge 5 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

16 4.3. Tleu des primiives usuelles Les résuls de ces leu s'élisse e vérifi que l'o ie F' = ƒ sur l'iervlle cosidéré. Focio ƒ Focio primiive F (c = cose) Iervlle I = k (cose) F() = k + c = F() = + c = + F() = + + c = ( * e ) F() = + si > ; + + c ] ; [ ou ] ; + [ si = F() = + c ] ; + [ = F() = + c ] ; [ ou ] ; + [ = cos F() = si + c = si F() = cos + c = + = cos F() = + c + k ; + ( k+ ) (k ) = cos(ω + ϕ) (ω ) F() = si(ω + ϕ) + c ω = si(ω + ϕ) (ω ) F() = cos(ω + ϕ) + c ω = e F() = e + c = F() = l + c ] ; + [ Eemples : rouver ue primiive : Focio g défiie sur I = ; g() = représee (()). Posos : h() = g() + = + Ue primiive H de h sur I es défiie pr : H() = = + G() où G es ue primiive de g sur I D'où : G() = H() = Focio ƒ défiie sur J = ; Clcul iégrl. Pge 6 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

17 Ue primiive F de ƒ sur J es défiie pr : = si(3) 3cos() F() = 3 cos(3) 3 si() (+ c) 4.4. Opérios sur les primiives OPÉRATIONS SUR LES PRIMITIVES lorsque u e v so des focios dérivles sur u iervlle I Focio Ue primiive Codiios u' + v' ku' (k : cose) u' u ( e ) u + v ku + u + u sur I si u u u u > sur I v v v v sur I u' u e u e u l u u l( u) si u > sur I si u < sur I u' (v' o u) v o u Eemple : Trouver ue primiive F de l focio ƒ défiie sur ] ; + [ pr : = l L focio ƒ es de l forme u' u. Doc F es de l forme u : F() = (l ) (+ c) Eercice : Soi F l focio défiie sur ] ; + [ pr : F() = 3 Clculer F'(). Qu'--o démoré? Clcul iégrl. Pge 7 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

18 4.5. Théorème Primiive défiie pr ue codiio iiile Soi ƒ ue focio défiie sur u iervlle I dme des primiives sur I. Soie I e. Il eise ue uique primiive F de ƒ sur I sisfis l codiio iiile F( ) =. Démosrio : Soi G ue primiive de ƒ sur I (eise pr hpohèse). D'près le héorème 4.., oues les primiives F de ƒ sur I so de l forme F = G + c (où c es ue cose) L codiio F( ) = impose c = G( ). L cose c es déermiée de mière uique, ce qui démore le héorème. Eemple : Soi ƒ l focio défiie sur pr : = + Trouver l'uique primiive F de ƒ sur elle que F() =. Remrquos que peu s'écrire : = + O recoî l'epressio dérivée de +. Les primiives F de ƒ sur I so de l forme : F() = + + c L codiio iiile F() = s'ierprèe pr + + c = d'où c =. Coclusio : l primiive cherchée es l focio F défiie pr F() = + +. Remrque : ue quesio légiime qui se pose ds ce prgrphe es l suive : ue focio dme-elle oujours des primiives? L répose es o e géérl. Ceped si ore focio es coiue... Eh ie c'es ce que ous llos voir ds le prgrphe suiv. 5. Théorème fodmel du clcul iégrl. Formule de Newo-Leiiz Nous llos voir mie le héorème fodmel du clcul iégrl qui ur pour coséquece que oue focio coiue dme des primiives. 5.. Théorème Soi ƒ ue focio coiue sur u iervlle I. Soi I. L focio F défiie sur I pr F() = es l'uique primiive de ƒ sur I s'ul e. Aureme di : F( ) =, F es dérivle sur I e pour ou réel I : F'() = Démosrio (Hors progrmme) Le fi que F( ) soi ul es ue lié. Clcul iégrl. Pge 8 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

19 F( ) F( ) Soi I. Nous llos morer que l'ccroisseme moe dme ue limie lorsque ed vers e que cee limie es préciséme ƒ( ). Évluos : F ( ) F( ) ƒ( ) = ( ) ƒ( ) E uilis l relio de Chsles e l formule d'iégrio pour ue focio cose, o peu écrire : F ( ) F( ) ƒ( ) = ƒ( )d Mis d'près l propriéé de compiilié vec l'ddiio : ( )d ƒ = ( ) ƒ ƒ () ( ) d F ( ) F( ) D'où : ƒ( ) = ( ƒ( )) d E d'près l'iéglié rigulire : F ( ) F( ) ƒ( ) ƒ( )d Or, ƒ es coiue e doc dme ue limie fiie e. Cel sigifie que ou iervlle ouver e ceré e ƒ( ) coie oues les vleurs de pour ssez proche de : Soi ε + e I = ]ƒ( ) ε, ƒ( ) + ε[. Alors, il eise u réel η el que pour ou ] η, + η[, o i : ]ƒ( ) ε, ƒ( ) + ε[ C'es-à-dire : ƒ( ) < ε F ( ) F( ) D'où : ƒ( ) ε Comme ε peu êre choisi ussi pei que voulu, o ie : lim F( ) F( ) = ƒ( ) Doc, F es dérivle e e : F'( ) = ƒ( ) E comme ce risoeme es vlle pour ou I, F es ie ue primiive de ƒ sur I. Remrque : ds le cs où ƒ es ue focio croisse sur I, il eise ue démosrio plus simple (cee démosrio es u progrmme e fi prie des coissces eigiles) : F( ) F( ) Soi I fié. Nous llos morer que l'ccroisseme moe dme ue limie lorsque ed vers e que cee limie es préciséme ƒ( ). Cs : soi I vec >. Pour ou I el que, l croissce de l focio ƒ ous perme d'écrire : ƒ( ) E iégr ce ecdreme ere e, ous oeos : Clcul iégrl. Pge 9 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

20 ƒ( )( ) ( ) Or, d'près l relio de Chsles : = + = = F() F( ) Puisque >, o peu doc écrire : Comme ƒ es coiue e : F( ) F( ) ƒ( ) lim > = ƒ( ) D'où, pr le héorème des gedrmes : Cs : soi I vec <. lim > F( ) F( ) = ƒ( ) Pour ou I el que, l croissce de l focio ƒ ous perme d'écrire : ƒ( ) E iégr ce ecdreme ere e, ous oeos : ( ) ƒ( )( ) Or, d'près l relio de Chsles : = + = = F( ) F() Puisque >, o peu doc écrire : Comme ƒ es coiue e : F( ) F( ) ƒ( ) lim < = ƒ( ) D'où, pr le héorème des gedrmes : Bil : o ie : lim < lim F( ) F( ) = ƒ( ) F( ) F( ) = ƒ( ) Ceci é vlle pour ou I. Doc l focio F es dérivle sur I e pour ou I : F'() = Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

21 Ce héorème dme les corollires fodmeu suivs : 5.. Corollire Eisece de primiives pour les focios coiues Toue focio coiue sur u iervlle I dme des primiives sur I. Démosrio C'es immédi cr si ƒ désige ue focio coiue sur I, ue primiive F de ƒ sur I es doée pr : F() = ( I) Quesio : ue focio o coiue ƒ peu-elle dmere des primiives sur ses iervlles de coiuié? Répose : oui si ƒ es coiue pr morceu : si Pr eemple : = sio Sur [ ; + [, ƒ dme des primiives F + de l forme : F + () = + c +. Sur ], [, ƒ dme des primiives F de l forme : F () = + c. Noos que l'o peu rès ie choisir c + c. O peu lors cosruire ue focio F sur qui es coiue pr morceu : F() = + c+ si + c sio C F+ C F c + c O peu même s'rrger pour que F soi coiue, il suffi de recoller les morceu e choisiss c + = c. Ceped, F 'es ps ue primiive de ƒ sur cr o dérivle e. Répose : o si ƒ dme ue ifiié de discoiuiés : Pr eemple : = si si \ 5.3. Corollire Formule de Newo-Leiiz Soi ƒ ue focio coiue sur u iervlle I e F ue primiive de ƒ sur I. Alors pour ous e ds I : Démosrio = F() F() Soi I e G l primiive de ƒ défiie pr : G() = O si que deu primiives F e G diffère d'ue cose. Doc il eise u réel k el que pour ou de I : F() = G() + k O lors : F() F() = G() G() = Noio : l quié F() F() se oe rès souve[ F ] () (c'es commode ds l prique). Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

22 Eemples : d = = + = cosd = [ si ] = si si = e d = e d = e = e e = e e d = [ ] l = l l = l d = + = + + d = d = = e d l e = d l = [ l(l ) ] e = l(l ) Commeires : Le choi de l primiive F choisie 'iflue ps le résul de l'iégrle. E effe, si F e G so deu primiives d'ue même focio ƒ sur I, lors elles différe d'ue cose. Les quiés F() F() e G() G() so doc égles. Applicio de l formule de Newo-Leiiz : ue démosrio de l'iéglié des ccroissemes fiis : Soi ƒ ue focio dérivle sur u iervlle I elle que ƒ' soi coiue sur I. S'il eise u réel M el que ƒ' M sur I lors : pour ous réels e de I, o : M Pour <, o : Pour >, o : = ƒ ( ) d ƒ ( ) d M( ) M = ƒ ( ) d ƒ ( ) d M( ) M Remrque : l démosrio rdiioelle de l'iéglié des ccroissemes fiis (e éudi les vriios des focios M e + M) perme de se psser de l codiio "ƒ' coiue sur I ". Clcul iégrl. Pge G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

23 5.4. Propriéé Liérié de l'iégrle Soie ƒ e g deu focios coiues sur u segme [, ] e k u réel. Alors : ( ƒ () + g ()) d = d + g ()d e k ƒ ()d = k d Démosrio : L première églié déjà éé démorée (compiilié vec l'ddiio) L deuième, qui ' ecore jmis éé uilisée ds les démosrios précédees se prouve fcileme vec l formule de Newo-Leiiz. Soi F ue primiive de ƒ sur [, ]. Alors, ue primiive de kƒ es kf d'où : Eemple : k ƒ ()d = kf() kf() = k[f() F()] = k d Clculer : I = Il suffi d'écrire, pr liérié : I = 3 3 e d 3 3e d Comme ue primiive de 3 3 e sur [, ] es 3 e, ous vos : I = 3 3 e = 3 e 3 Eercice simple : O cosidère l focio ƒ défiie sur ] ; + [ pr : = + 5 l. O oe C ƒ so grphe.. Démorer que C ƒ dme ue smpoe olique e + do o préciser so équio isi que s posiio pr rppor à C ƒ.. Éudier les vriios de ƒ. (O éudier le sige de g : + l ) 3. Clculer ue primiive F de ƒ e déermier l'ire A (e u..) du domie : [ ] l {( ; ) els que e e + 5} (Répose : ( ) e = ) 6. Prié e périodicié 6.. Théorème (Prié) Soi ƒ ue focio coiue sur u iervlle smérique [, ]. Si ƒ es pire lors : Si ƒ es impire lors : d = d d = Clcul iégrl. Pge 3 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

24 6.. Théorème (Périodicié) Soi ƒ ue focio coiue sur e T-périodique. Alors, pour ou réel : + T d = T d Démosrios : Relio de Chsles puis chgeme de vrile ( = ) pour l prié. Périodicié : ecore d'près l relio de Chsles : + T d = d+ d+ d T + T T E pos u = T, ds l roisième iégrle, o oie (du = d) : + T d = ƒ ( u+ T) du T E comme ƒ es T-périodique : ƒ(u + T) = ƒ(u) pour ou u, d'où ƒ ( u + T) du = ƒ( u) du E fileme : Eemple : + T d = d+ d+ ƒ( u) du= d T ( cos ) 9 7 si d = 8 ( + ) T 7. Vleur moee d'ue focio ƒ sur u segme [, ] Iroducio : supposos que l'o veuille iveler u erri do le profil 'es ps horizol (de sore que les remlis compese eceme les délis). Comme procéder? C ƒ µ Noos ƒ l focio représe le profil. O cherche do ue cose µ vérifi : µ( ) = d O doc : µ = d Clcul iégrl. Pge 4 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

25 7.. Défiiio Soi ƒ ue focio coiue sur u segme I = [, ]. O ppelle vleur moee de ƒ sur l'iervlle I le omre réel µ défii pr : µ = ƒ () d O oe souve ƒ u lieu de µ. Eemple : Soi ƒ le sigl siusoïdl -périodique défii pr : = si. Clculer l moee ƒ sur [, ] isi que l moee qudrique ƒ = si d = 4 ƒ = si d = cos( )d= 4 [ ] ƒ sur [, ]. = d'où ƒ = Lie vec l'élecricié : O ppelle iesié efficce I eff d'u cour lerif, l'iesié d'u cour coiu (o devri pluô dire "cos") qui produiri, à rvers l même résisce R, le même effe clorifique ped l durée d'ue période T. Ds le cs d'u cour de pe siusoïdl : si I() = I m si(ω) es l'iesié du cour à l'is du cour lerif, l loi de Joule doe : E(T) = R I eff T = RI ()d T D'où : I eff = T T Im si ( ω) d = I m T T cos( ω)d = I m T T = I m [] D'où l relio : I m = I eff 7.. Théorème (iéglié de l moee) Soi ƒ ue focio coiue sur u iervlle I = [, ]. Soi m e M des réels els que : m ƒ M sur I Alors : m( ) d M( ) Ue focio coiue sur u iervlle [, ] es oujours orée (e de plus ei ses ores). Les réels m e M cicore eise doc oujours. Le om de ce héorème es légiime, e effe, o peu le reformuler isi : si m ƒ M lors m µ M. Démosrio : il suffi d'iégrer l'iéglié m ƒ M sur [, ]. Eemple : à l'ide de l'iéglié de l moee, o peu rerouver l'iéglié : + e pour ou Soi +. Comme l focio epoeielle es croisse sur [ ; ], o pour ou [ ; ] : e e E d'près l'iéglié de l moee ppliquée à l focio ƒ : e sur l'iervlle [ ; ] : e d e e e Clcul iégrl. Pge 5 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

26 D'où, pour ou + : + e Si mie es u réel égif, o pour ou [ ; ] : e e E d'près l'iéglié de l moee : e e d e D'où, pour ou : Bil : o ie, pour ou réel : + e + e Comme le héorème de l'iéglié des ccroissemes fiis, o ue versio vec vleurs solues : 7.. is. Théorème (iéglié de l moee) Soi ƒ ue focio coiue sur u iervlle I = [, ]. Si ƒ M sur I lors d M Démosrio : D'près l première versio, o : M( ) d M( ) L disce ere de es doc iférieure à celle ere M( ) e d'où : d M Noos que ce héorème peu se démorer ussi vec l'iéglié des ccroissemes fiis ppliquée à l focio F défiie pr : F() = d Eemple : démorer que pour ous réels e : si si O pplique l'iéglié de l moee à l focio cos sur l'iervlle [ ; ] (si ) ou [ ; ] sio. Comme o pour ou réel : cos O oie lorsque : cos d si si E lorsque : cos d si si Ce qui es l même iéglié que celle oeue pour. Clcul iégrl. Pge 6 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

27 Eercice : démorer l "première formule de l moee" Soie ƒ e g deu focios coiues défiies sur u iervlle [, ] vec g posiive. Alors Il eise c ds [, ] el que ƒ( g ) ( )d= ƒ(c) g ( )d Comme ƒ es coiue sur le segme [, ], il eise des coses m e M elles que : m ƒ M sur [, ] Comme g es posiive : m g ƒ g M g sur [, ] E iégr ce ecdreme ere e ( < ) : m g ( )d ƒ( g ) ( )d M g ( )d Si g ( )d=, lors l formule de l moee es évidee (ou c de [, ] covie) Si g ( )d, lors o pose : λ = ƒ( g ) ( )d g ( )d Comme g ( )d> (puisque g l'es), o : m λ M E d'près le héorème des vleurs iermédiires, il eise c ds [, ] el que ƒ(c) = λ. D'où le résul. 8. Iégrio pr pries O di qu'ue focio ƒ es de clsse C sur u iervlle I si elle es dérivle sur I e si s dérivée ƒ' es coiue sur I. 8.. Théorème Soie u e v deu focios de clsse C sur [, ], lors : Démosrio : o si que pour ou [, ] : E iégr de à : E d'près l liérié de l'iégrle : uv () ()d = [ uv () ()] u ()()d v (uv)'() = u'()v() + u()v'() ( uv ()()) d= u ()() v + uv () ()d ( uv ()()) d= u ()()d v + uv () ()d D'où le héorème. () () = u ()()d v + uv () ()d [ uv] Clcul iégrl. Pge 7 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

28 Eemples : clculer I = e d e J() = l d O pose : u() = v'() = e u'() = D'où : I = [ e ] e v() = e (à ue cose près) d = e (e ) = O pose : u() = l v'() = u'() = v() = (à ue cose près) D'où : J() = [ ] l d = l ( ) = l + O déermié ici ue primiive de l focio logrihme. 9. Clcul de volumes Ds l'espce mui d'u repère orhogol (O ; i, jk, ), o cosidère u solide délimié pr des pls prllèles d'équio z = e z =. Si l focio S qui, à oue coe z ssocie l'ire de l secio coeue ds le pl perpediculire à l'e (O, k ) es coiue sur [ ; ] lors le volume V du solide es doé pr l formule : z z Secio d'ire S(z) V = Sz ()d zu.v. O (L'uié de volume es le volume du prllélépipède uié) Eemples : Volume d'ue sphère de ro R : O r = R z, d'où S(z) = (R z ) z R z r R V = R z d z = R V = R 3 3 R 3 = 4 3 R3 u.v. R R z d z 3 z = Rz 3 R z O Volume d'u côe de hueur h e de ro de se R : S(z) = r. h R D'près le héorème de Thlès : r R = z h z r Doc S(z) = R h V = R h z z d = Rh h 3 z. u.v. O Clcul iégrl. Pge 8 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

29 . Vri ou fu? ƒ e g désige des focios coiues sur les iervlles cosidérés. Si d g ()d lors ƒ g sur [, ] (Fu : d 3 d e pour sur [ ; ]!) Si d = g ()d lors ƒ = g sur [, ] (Fu : predre = e g() = sur [ ; ]) e l( + ) d (Vri : posiivié) 4 ( + ). Quelques eercices cos () d = 4 (Liériser : cos = + cos( ) ) 3 cos () d= 3 (Liériser : cos3 = 4 cos(3) cos()) 3 3 si d = (Uiliser Chsles : = + ce qui perme de supprimer les vleurs solues) I = e si d = e (Iégrer deu fois pr pries de fço à reomer sur l'iégrle I) d e J = ( ) d (iégrles de Wllis, voir compléme 3) I = ( si ) Clculer I e I. Élir ue relio de récurrece ere I + e I. Clculer J. Élir ue relio de récurrece ere J + e J. 3 (O rouve I =, I =. Iégrer I + pr pries, e écriv que si + = si + si. O peu lors eprimer I + e focio de I. O rouve : I + = + + I. O rouve J =. Puis o iègre J + pr pries, e écriv ( ) + rouve : J + = J ) = ( ) ( ) Trouver u réel α el que α d =. 4 Trouver u réel β el que β d =. (α = 3 e β = 3 5 ) Éudier l limie suive : lim ε ε d. (O rouve l e o...) ε. O peu lors eprimer J + e focio de J. O e Soi. O cosidère l focio I défiie pour > pr : I () = d (O dmer que cee limie es réelle) À l'ide d'ue iégrio pr pries, morer que I + = ( + )I. Clculer I e e déduire, pr récurrece, que I =!. O oe I = lim I (). + Clcul iégrl. Pge 9 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

30 Compléme : iégrles de Riem Soi α u omre réel quelcoque. Soi ε > e A >. O cosidère les iégrles suives : Le u du prolème es de déermier : I α (ε) = α d e J α (A) = ε A α d les vleurs de α pour lesquelles I α dme ue limie fiie lorsque ε ed vers. les vleurs de α pour lesquelles J α dme ue limie fiie lorsque A ed vers +. Éude de I α. Éude du cs α = ) Démorer que I (ε) = l ε. ) E déduire lim ε. Éude du cs α I (ε). ) Démorer que : I α (ε) = α ε α ) E écriv ε α = e (, déermier les vleurs du réel α pour lesquelles ε dme ue limie fiie lorsque ε ed vers. c) Coclure : I α dme ue limie fiie lorsque ε ed vers si e seuleme si... Remrque : o oe ds ce cs α α d cee limie e o doc α d = α Éude de J α. Éude du cs α = ) Démorer que J (A) = l A. ) E déduire lim A +. Éude du cs α J (A). α ) Démorer que : J α (A) = A α α ) E écriv A α ( )l = e α A, déermier les vleurs du réel α pour lesquelles A α dme ue limie fiie lorsque A ed vers +. c) Coclure : I α dme ue limie fiie lorsque A ed vers + si e seuleme si... Remrque : o oe ds ce cs RÉSUMÉ + α d + cee limie e o doc α d = α α d eise si e seuleme si α <. (O di lors que l'iégrle α d coverge) + α d + eise si e seuleme si α >. (O di lors que l'iégrle α d coverge) Clcul iégrl. Pge 3 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

31 Compléme : focio Γ O cosidère l focio Γ défiie pour ou réel de ], + [ pr : + Γ() = e d Ds ou ce qui sui es u réel sriceme posiif fié. +. Jusificio de l'écriure e d ) Éude e. O cosidère l focio I défiie pour ou ε de + pr : I (ε) = e d i) Démorer que pour ou réel de [ε ; ], o : e ε ii) E déduire (e uilis les résuls sur les iégrles de Riem) que I dme ue limie fiie lorsque ε ed vers. O oe e d cee limie. ) Éude u voisige de +. O cosidère l focio J défiie pour ou réel X de ], + [ pr : J (X) = X e d i) Démorer qu'il eise u réel A posiif el que pour ou réel de [A, + [ : + e (O pourr uiliser le fi que lim + E déduire que pour ou réel de [A, + [ : + e = ) e ii) O suppose ici que X A. E écriv J (X) = J (A) + X e d, démorer (e uilis les A résuls sur les iégrles de Riem) que J dme ue limie fiie lorsque X ed vers +. + O oe e d cee limie. Comme les iégrles e d e e d o oues les deu u ses, l focio Γ es doc + + ie défiie e l'écriure e d ie u ses.. Propriéés de l focio Γ ) Clculer Γ(). ) À l'ide d'ue iégrio pr pries, démorer que : pour ou > : Γ( + ) = Γ() c) Démorer, pr récurrece, que pour ou * : Γ() = ( )! Clcul iégrl. Pge 3 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

32 Compléme 3 : iégrles de Wllis Il s'gi, pour, des iégrles suives : I = (cos ) d J = (si ) d K = ( ) d L = ( ) d Clcul de I pr IPP O immédieme : I = e I = cos d =. Pour ou, o pr IPP : (u() = (cos ) + e v'() = cos ) I + = + + (cos ) cosd= (cos ) si + ( + ) I + = ( + )(I I + ) I + = + + (Vrie : I = I pour ou ) O e dédui immédieme : I = I = 4 ; I 3 = 3 I = 3 ; I 4 = 3 4 I 3 = 6 I (cos ) (si ) d Formule géérle : Si pir ( = p) I p = p p 3... I p p I p = (p)! p+ ( p!) = p p p + Si impir ( = p + ) I p+ = p p... I p + p 3 I p+ = p ( p!) ( p + )! Clcul de J e se rme à I E pos u =, o oie : J = (si ) d = (si( )) u ( d u ) = (cos u) du = I Clcul de K e se rme à I + E pos u = Arcsi. (Bijecio de [ ; ] ds, ). O doc : = si u. K = ( ) d= (cos u) cosudu= I + = + (!) ( + )! Clcul de L e se rme à K L = ( ) d= ( ) K = + ( ) (!) ( + )! Clcul iégrl. Pge 3 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/

33 Équivle des iégrles de Wllis lorsque ed + O risoe vec l suie (I ). O, pour ou e ou ; : cos+ cos E iégr pour ll de à : I + I E coséquece, l suie (I ) es décroisse. O doc : I + I + I E comme I + > : I I + + I I + Or, o vu que : I I + = + + () D'où : I I Pr ecdreme, o e dédui que I I + + dme ue limie égle à e +. Aureme di : I ~ I + () + Moros efi que l suie (u ) défiie pr u = ( + )I I + es cose : L suie (u ) es doc ie cose. u + = ( + ) I + I + () = ( + ) I I + = u E comme u = I I =, o, pour ou eier : u = E mulipli l'équivle () pr ( + )I : ( + ) I ~ u + ~ + D'où : I ~ + ( + ) ~ + O reiedr ce résul rès uile : (cos ) d ~ + Clcul iégrl. Pge 33 G. COSTANTINI hp://cmhs.e/