Loi entrée-sortie d'une chaîne cinématique

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1 SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGENIEUR CI5 : Le mouvement dans les mécanismes Loi entrée-sortie d'une chaîne cinématique Objectifs Déterminer la loi entrée sortie d'une chaîne cinématique Savoirs Je connais: Loi de mouvement trajectoire, vitesse, accélération) Outils mathématiques associés: o Vecteurs et systèmes de coordonnées o Projection d'un vecteur et produit scalaire Savoir Faire Je sais faire: Déterminer la loi entrée-sortie d'une chaîne cinématique simple par fermeture de chaîne géométrique Déterminer la loi entrée-sortie d'une chaîne cinématique simple par fermeture de chaîne cinématique Sommaire I CHÎNE CINEMTIQUE OUVERTE I EXEMPLE BRS DE ROBOT I Relation directe 3 I Relation indirecte 3 II CHÎNE CINEMTIQUE FERMEE 3 II LOI ENTREE SORTIE PR FERMETURE GEOMETRIQUE 3 II Eemple - système bielle manivelle 3 II LOI ENTREE SORTIE PR FERMETURE CINEMTIQUE 4 II Eemple - système bielle manivelle 5 II3 LOI ENTREE SORTIE PR PRODUIT SCLIRE ENTRE DEUX VECTEURS 6 II3 Eemple Barrière sinusmatic 6 III LES MECNISME DE TRNSFORMTION DE MOUVEMENT CLSSIQUES 7 III SYSTEME VIS ECROU 7 III SYSTEME CME 7 III3 EXCENTRIQUE 7 III4 SYSTEME CROIX DE MLTE 7 CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page sur 7

2 La loi Entrée Sortie d un mécanisme est l ensemble des relations qui eistent entre les paramètres cinématiques d entrée d un mécanisme en général actionneur) et les paramètres de sortie Ces relations peuvent être obtenues de manières différentes selon la configuration du mécanisme Nous avons vu précédemment que les systèmes mécaniques peuvent être constitués à partir d une chaîne cinématique ouverte ou bien d une chaîne cinématique fermée ou même de plusieurs chaînes cinématiques fermés La méthode de détermination de la loi Entrée Sortie E-S) dépend de la configuration du mécanisme I CHÎNE CINEMTIQUE OUVERTE Dans le cas des chaînes cinématiques ouvertes, la loi Entrée Sortie concerne la relation entre les coordonnées articulaires et les coordonnées opérationnelles du point en bout de chaîne cet effet on établi un modèle géométrique indirect à partir d une relation de Chasles I Eemple bras de robot Modèle Simplifié y B a O O On considère le modèle plan simplifié dans lequel la pince de robot n est animé que par deu mouvements de rotation paramétré et Le point B en bout de chaîne a comme coordonnée B et y B dans le repère R O,, y, ) Soit L la longueur des bras de robot [O ] et [B] z CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page sur 7

3 I Relation directe Le modèle géométrique direct permet d eprimer les coordonnées B et y B en fonction des paramètres et En écrivant la relation de Chasles modèle géométrique direct : I Relation indirecte O B OO O B après projection on arrive à déterminer le B Lcos Lcos ) yb a Lsin Lsin ) Le modèle géométrique indirect permet d eprimer les paramètres et en fonction des coordonnées B et y B Le modèle géométrique indirect est plus délicat à trouver il faut utiliser : La transformation de somme trigonométrique en produit Utiliser B ²+y B ² Puis y B / B On détermine le modèle géométrique indirect : B arccos L y arctan II CHÎNE CINEMTIQUE FERMEE B B y B L La loi Entrée Sortie dans les chaînes cinématiques fermées peut être obtenue de différentes méthodes : fermeture géométrique ou fermeture angulaire produit scalaire de vecteurs d orientation relative constante l équation obtenue par la condition de roulement sans glissement la fermeture cinématique II Loi entrée sortie par fermeture géométrique La loi entrée sortie dans le cas de chaîne fermée s obtient souvent par fermeture géométrique Il s agit d écrire une relation vectorielle relation de Chasles), traduisant la fermeture de la chaîne, en passant par les points caractéristiques du mécanisme On projette ensuite cette relation dans une base choisi judicieusement pour limiter les calculs) afin d obtenir des relations scalaires entre les différents paramètres, puis on élimine les paramètres intermédiaires afin d établir notre relation entre le paramètre d entrée et le paramètre de sortie du mécanisme II Eemple - système bielle manivelle Transformation : Rotation continue en translation alternative et inversement Réversibilité : Parfois Utilisation : Moteurs thermiques, compresseurs, certaines pompes et moteurs hydrauliques, marteau perforateur Caractéristiques : ecentricité O=e et longueur de la bielle B=L CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page 3 sur 7

4 Compresseur Réel Modèle virtuel O=e B=L Dans les cas du système bielle manivelle utilisé comme compresseur : Le paramètre d entrée représente la rotation de la manivelle vilebrequin) Le paramètre de sortie représente la translation du piston Le paramètre est un paramètre intermédiaire traduisant la position angulaire de la bielle par rapport au bâti On écrit la fermeture géométrique OO O B BO soit e L En projection sur et y on obtient deu équations scalaires : ecos Lcos esin Lsin fin d obtenir la loi entrée sortie on élimine le paramètre en élevant au carré chacune des relations et en les additionnant près manipulation on obtient la relation suivante : e cos L esin) valable pour e<l) II Loi entrée sortie par fermeture cinématique Schéma d après Florestan Mathurin On peut déterminer une loi entrée sortie en fonction des dérivées des paramètres et des paramètres eu-mêmes Cette relation s obtient en écrivant une fermeture cinématique à l aide de torseurs par composition des mouvements On obtient alors deu équations vectorielles : composition des vecteurs rotations composition des vecteurs vitesse linéaire instantanés) CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page 4 sur 7

5 Compresseur II Eemple - système bielle manivelle Réel Modèle virtuel O=e B=L Traduction de la fermeture cinématique de la chaîne : V V V V / 3 3 / / / Schéma d après Florestan Mathurin D où : / 3 3 / / / / 3 3 / / / V / 3 V 3 / V / V / V / 3 V 3 / V / V / vec : V V / 3 B / 3 attention car 3 / / 3 / z V 3 / VB 3/ B 3/ L z L y V / V / e y lors L y e y d où équations scalaires en projection sur et sur y L sin e sin L cos e cos On peut constater qu il s agit des deu équations scalaires obtenues par dérivation des équations de la fermeture géométrique Les équations obtenues par fermeture cinématique correspondent au dérivées des équations obtenues par fermeture géométrique Les deu approches amènent au même résultat mais la dérivation de la fermeture géométrique est généralement plus simple, on privilégiera cette méthode pour obtenir les équations en fonction des paramètres de vitesse CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page 5 sur 7

6 II3 Loi entrée sortie par produit scalaire entre deu vecteurs La loi entrée sortie dans le cas d une chaîne fermée peut parfois se faire en tenant compte de la particularité angulaire du système conservation d une valeur angulaire lors du mouvement par eemple) II3 Eemple Barrière sinusmatic La barrière Sinusmatic est un système de transformation de mouvement qui s adapte sur un motoréducteur Il permet de transformer le mouvement d entrée du moteur rotation continue) en un mouvement de rotation alternative d amplitude sur la lice Le système se compose : D un bras moteur en liaison pivot avec le bâti suivant l ae, z ) D une noi en liaison sphérique de centre B avec le bras moteur D un croisillon en liaison pivot glissant suivant l ae B, y ) 3 D un arbre de lice 4 en liaison pivot suivant l ae C, ) avec le croisillon 3 et en liaison pivot On définit : suivant l ae D, y ) avec le bâti α le paramètre d entrée tel que, ) y, ) y le paramètre d entrée tel que, ) z, ) 4 z4 4 La particularité angulaire de ce système est que le vecteur BC reste toujours perpendiculaire à la direction 4 ) Par conséquent le produit scalaire des vecteurs d orientation y 34 est nul : y 3 4 On traduit cette particularité afin de définir la loi entrée sortie : y 3 4 avec y3 cos y sin z et 4 cos sin z D où y3 4 cos y sin z)cos sin z ) cos cos y cos sin y z sin cos z sin sin z z cos cossin sin sin sin sin sin tan tan soit la loi entrée sortie : sin tan tan cos cos Remarque : Pour l amplitude de la lice est de 4 CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page 6 sur 7

7 III LES MECNISME DE TRNSFORMTION DE MOUVEMENT CLSSIQUES III Système vis écrou Eemple : Bras de robot Mapid Transformation : Rotation continue en translation continue Réversibilité : Dépend des frottements dans la liaison Utilisation : Vérins électriques, chariots de machine-outil, pilote automatique, élévateur Caractéristiques : p pas de la vis en mm Loi d'entrée-sortie: p avec III Système à came Eemple : Pompe hydraulique à pistons aiau Transformation : Rotation continue en translation alternative Réversibilité : Oui moteur :translation vers rotation et pompe rotation vers translation) Utilisation : Pompes et moteurs hydrauliques vitesse de translation de l'écrou et Caractéristiques : inclinaison du plan fie), ), R BC y rayon des pistons Loi d'entrée-sortie : III3 Ecentrique Rtan sin avec vitesse du piston et Eemple : Pompe à pistons radiau de Xantia Transformation : Rotation continue en translation alternative Réversibilité : Dépend des frottements dans la liaison Utilisation : Pompes hydrauliques, taille haie Caractéristiques : ecentricité e Loi d'entrée-sortie: R e sin avec position du piston O), angle de rotation de l'ecentrique III4 Système croi de malte Eemple : Distributeur de dose de café, Capsuleuse de Bocau Transformation : Rotation continue en rotation intermittente Réversibilité : jamais Utilisation : Plateau tournant de machine de transfert, indeage Caractéristiques : ngle entre les différentes rainures, et rayon de position de l'ergot L Rcos Loi d'entrée-sortie: ` tan quand Rsin O O ) vitesse de rotation de la vis angle de rotation du barillet R O avec L distance des deu centres de rotation CPGE TS Lycée Eiffel Dijon ublin / Dufour Page 7 sur 7