CI 3 CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES

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1 CI 3 CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES CHAPITRE 4 ÉTUDE DES CHAÎNES FERMÉES : DÉTERMINATION DES LOIS ENTRÉE SORTIE Trainr Solo Sport [1] Modèl CAO d un motur d modélism [2] Modélisation par schéma cinématiqu Savoir Savoirs : Rés-C1.1 : Frmtur géométriqu. C documnt st n évolution prmannt. Mrci d signalr touts rrurs ou coquills. 1 Chaîns Rappl Détrmination ds lois ntrés sortis Introduction Frmtur d chaîn angulair Frmtur d chaîn géométriqu Particularité géométriqu du mécanism Mécanisms homcinétiqus Chaîns Rappl Graph d structur Chaîns Graph qui prmt d avoir un vu d nsmbl du mécanism : ls classs d équivalncs sont schématisés par ds crcls avc un rpèr (clui défini précédmmnt) ; ls liaisons sont schématisés par ds traits qui rlint ls crcls. On définit 3 typs d chaîns : Ls chaîns ouvrts Ls chaîns frmés Ls chaîns complxs Définition 1 CI 4 : CIN Cours

2 Définition 2 Détrmination ds lois ntrés sortis 2.1 Introduction Dans crtains mécanisms, par xmpl cux d transformation d mouvmnt, ls paramètrs géométriqus puvnt êtr liés. On choisit donc un paramètr pilot dont on s fix la valur ou la loi d variation t par résolution du systèm d équations (non linéair n général donc résolution numériqu), on put trouvr l paramètr d sorti. On s intérss donc à l xprssion du paramètr d sorti n fonction du paramètr d ntré. Il n st donc pas nécssair, après avoir fixé l paramètr pilot, d calculr tous ls autrs paramètrs variabls mais sulmnt clui d sorti. 2.2 Frmtur d chaîn angulair Motur d modélism Paramétrag 2 CI 4 : CIN Cours

3 Position du point O 1 par rapport au point O 0 dans l rpèr 0 : O 0 O 1 = a x 0 + b y 0 + c z 0 Position du point O 2 par rapport au point O 1 dans l rpèr 1 : O 1 O 2 (t ) = d x 1 Position du point O 3 par rapport au point O 2 dans l rpèr 2 : O 2 O 3 = x 2 Motur d modélism Frmtur angulair L systèm a été paramétré ci-dssus. On put définir l angl ϕ(t ) ainsi : π γ(t ) = π + 2 ϕ(t ) = 3π 2 ϕ(t ) Dans l triangl O 1 O 2 O 3, la somm ds angls st π, on a donc : π 2 α(t ) + π β(t ) π +ϕ = π 2 α(t ) + π β(t ) + 3π 2 γ(t ) = π 2π α(t ) β(t ) γ(t ) = Frmtur d chaîn géométriqu Calcul d la loi Entré Sorti dans un chaîn d solids frmé Un systèm s présntant sous form d un chaîn d solid frmé a pour but d transformr un mouvmnt. On s intérss alors pour cla à la rlation cinématiqu liant l mouvmnt d ntré du systèm t l mouvmnt d sorti. On écrit pour cla un frmtur d chaîn géométriqu. Pour cla : 1. paramétrr l mécanism ; 2. idntifir la grandur d ntré t d sorti ; 3. à l aid du théorèm d Chasls, xprimr l vctur nul n fonction ds vcturs liant l cntr d chacun ds liaisons ; 4. projtr la rlation vctorill sur un ds bass ; 5. combinr ls rlations pour xprimr la sorti n fonction d l ntré ; 6. dérivr si bsoin pour avoir l lin ntr ls vitsss. s pour manipulr ls systèms équations : 1. Pour supprimr λ : on mt ls dux équations sous la form λ = t on fait l rapport ds dux équations. 3 CI 4 : CIN Cours

4 2. Pour supprimr ϕ : on mt un équation sous la form cosϕ = t la scond sous la form sinϕ = t on utilis la rlation cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = Dans d autrs cas, on put avoir à utilisr l xprssion d la tangnt. Dans l cas d un systèm bill-manivll comm l motur d modélism, on vut connaîtr la vitss d rotation d l hélic α(t ) n fonction d la vitss d translation du piston λ(t ). La frmtur géométriqu st donc la suivant : O 1 O 2 + O 2 O 3 + O 3 O 1 = 0 d x 1 + x 2 λ(t ) y 0 = 0 Exprimons x 1 t x 2 dans la bas 0 : x1 = cosα(t ) x 0 + sinα(t ) y 0 x2 = cosβ(t ) x 1 + sinβ(t ) y 1 = cosβ(t ) cosα(t ) x 0 + sinα(t ) y 0 + sinβ(t ) cosα(t ) y0 sinα(t ) x 0 En projtant l équation vctorill sur x 0 t y 0 on a : d cosα + cosβ cosα sinβ sinα = 0 d sinα + cosβ sinα + sinβ cosα λ = 0 d cosα + cos β + α = 0 d sinα + sin β + α λ = 0 cos β + α = d cosα sin β + α = λ d sinα En passant au carré t n sommant ls dux xprssions, on a donc : d cosα 2 λ d sinα 2 + = 1 d 2 cos 2 α + λ 2 + d 2 sin 2 α 2d λ sinα = 2 d 2 + λ 2 2d λ sinα = 2 Pour xprimr λ n fonction d α, il faut donc résoudr un équation du scond dgré. Pour xprimr α n fonction d λ, la méthod st dirct. 2.4 Particularité géométriqu du mécanism Calcul d la loi Entré Particularité géométriqu Lorsqu l mécanism a un particularité géométriqu qui s traduit sous la form d un rlation vctorill, on traduit ctt drnièr à l aid du paramétrag. Systèm bill-manivll Rprnons l xmpl du systèm bill - manivll précédnt. La particularité géométriqu qu l on put rmarqur, st qu la bill 2 st d longuur constant. Cla put prmttr d rtrouvr la loi ntré-sorti plus 4 CI 4 : CIN Cours

5 rapidmnt : O 2 O 3 = O 1 O 3 O 1 O 2 x 2 = λ y 0 d x 1 Puis n élvant ls dux mmbrs au carré (scalair) : 2 x 2. x 2 = λ y 0 d x 1. λ y0 d x 1 On rtrouv bin la mêm loi ntré-sorti. 2 = λ 2 + d 2 2λd sinα Mélangur Mécanism n situation Modélisation cinématiqu Réalisation d la liaison linéaur annulair 1 Réalisation d la liaison linéaur annulair 2 La pièc 2 tourn ntraînant à la sorti un mouvmnt d rotation oscillant d 4. 5 CI 4 : CIN Cours

6 On donn : soit l rpèr lié au solid 0 considéré comm fix. = O, x, y, z ; soit 2 l rpèr lié au solid 2. 2 = O, x 2, y, z 2. On pos x, x2 = β ; soit 3 tl qu 3 = D, x 2, y 3, z 3. On pos z 2, z 3 = γ (constant) ; soit 4 l rpèr lié au solid 4. 4 = D, x 4, y 4, z. On pos x, x4 = θ. L mécanism st tl qu : OC, OA = DC, DE = π constammnt (solids indéformabls) Fair l graph d structur du mécanism. 2. Tracr n vu orthogonal, ls trois dssins prmttant l passag d à 2, d 2 à 3 t d à Écrir un rlation géométriqu traduisant la non déformation d 3 t qui prmt d établir un rlation ntr un ax d 3 à un ax d Dévloppr ctt rlation t trouvr la loi ntré sorti : θ = f (β,γ). 5. Dérivr ctt rlation par rapport au tmps pour trouvr la vitss d sorti θ = d θ (t ) n fonction d la vitss d t d ntré β, β t γ. 2.5 Mécanisms homcinétiqus On dispos très souvnt d un motur ayant un vitss d rotation constant (condition rchrché pour évitr ds à-coups t ds vibrations) alimntant l ntré d un mécanism. Dans l cas où l mécanism réduit ou augmnt la vitss (réductur ou multiplicatur), ou simplmnt la transport n changant son orintation (accouplmnt, joint d Cardan ou d Oldham), on s pos la qustion d savoir si l systèm mécaniqu n introduit pas ds à -coups donc ds vibrations à caus d sa structur propr, cux-ci vnant d un vitss variabl d façon cycliqu n sorti. Référncs [1] Trainr Solo Sport, Avio t Tigr, [2] Univrsité Brtagn Sud, Motur d modélism modlism.zip. 6 CI 4 : CIN Cours

7 [3] Jan-Pirr Pupir Paramétrag PTSI Lycé Rouvièr Toulon. 7 CI 4 : CIN Cours