Statistiques I. Alexandre Caboussat Classe : Mercredi 8h15-10h00 Salle: C114

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1 Statistiques I Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch Classe : Mercredi 8h15-10h00 Salle: C114 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

2 Exemple de quantiles Données: α = 27 1, 5, 7, 12 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

3 Exercice 4.7 Le nombre d abonnés au haut débit en Suisse a évolué de la manière suivante: Année [mois=décembre] xdsl Câble Calculer pour les deux séries de données xdsl et Câble, la moyenne, la médiane, l étendue, les quartiles Construire le Boxplot (boîte à moustaches) pour chacune des deux séries de données Commenter les Boxplot obtenus (Les distributions sont-elles de même dispersion?, Y a-t-il de l asymétrie?) A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

4 Exercice 4.7 Le nombre d abonnés au haut débit en Suisse a évolué de la manière suivante: Année [mois=décembre] xdsl Câble A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

5 Exercice 4.7 Le nombre d abonnés au haut débit en Suisse a évolué de la manière suivante: Année [mois=décembre] xdsl Câble DSL Cable 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

6 Exercice 4.8 N Valide 15 Manquant 0 Moyenne 1999 Médiane 2000 Mode 2002 Ecart-type Variance 14 Minimum 1994 Maximum 2005 Percentiles A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

7 Définitions La variance d une population, notée σ 2, est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne σ 2 = 1 N N (x i µ) 2, i=1 où N est le nombre d individus et µ la moyenne de la variable x. L écart-type d une population, noté σ, est défini par la racine carrée de la variance: σ = σ 2 = 1 N (x i µ) N 2 = 1 N N ( xi 2 Nµ 2 ) i=1 i=1 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

8 Définitions La variance d un échantillon, de taille n, notée s 2, est s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2, L écart-type d un échantillon de taille n, noté s, est σ = σ 2 = 1 n (x i x) n 1 2 = 1 n n 1 ( xi 2 n x 2 ) i=1 i=1 i=1 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

9 Attention! La variance d un échantillon n est pas définie de la même manière que la variance d une population. En effet, la formule utilise la moyenne de l échantillon au lieu de la moyenne de la population (qui est inconnue puisque l on a recours à un échantillon!). Or la moyenne de l échantillon est (par définition) parfaitement centrée au milieu de l échantillon, ce qui n est en général pas tout à fait le cas avec la moyenne de la population. Par conséquent, le résultat obtenu aura tendance à être légèrement inférieur à celui que l on aurait obtenu en utilisant la moyenne de la population. Le calcul de la variance d un échantillon utilise donc n 1 comme diviseur et non pas n pour corriger ceci. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

10 Exemple Population: {3, 5, 5, 7, 10}. µ = 6, σ 2 = 28 5 = 5.6, σ A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

11 Exemple Echantillon: {3, 5, 7} {3, 5, 5, 7, 10}. Si on divise par n: x = 5, s 2 = Si on divise par n 1: x = 5, s 2 = 8 2 = 4. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

12 Remarque Calculatrices: le plus souvent écart-type associé à un échantillon Attention de bien contrôler sur votre machine quelle formule est utilisée! A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

13 Coefficient de variation Définition Le coefficient de variation (CV) est le ratio entre l écart-type et la moyenne, exprimé en pourcent. Population Echantillon 100 σ µ 100 s x Le coefficient de variation permet d obtenir un indice général, indépendant des unités de mesure employées, contrairement à l écart-type qui dépend de la moyenne et de l unité de mesure utilisée. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

14 Coefficient de variation : Exemple En finance, le CV mesure le risque relatif d un portefeuille. Supposons que le portefeuille A contient un ensemble d actions et d obligations donnant un rendement moyen de 12%, avec un écart-type de 3% (risque); un portefeuille B a un rendement moyen de 6% avec un écart-type de 2%. Le coefficient de variation associé à chaque portefeuille est : CV (A) = = 25% CV (B) = = 33% A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

15 Indicateurs de Dispersion Mesures d asymétrie et d aplatissement A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

16 Objectif Connaître et savoir interpréter: la mesure d asymétrie: Skewness la mesure d aplatissement: Kurtosis A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

17 Mesure d asymétrie : Skewness Définition Le coefficient d asymétrie skew est calculé ainsi skew = n (n 1)(n 2) n (x i µ) 3 i=1 où σ est l écart-type de la population, et µ la moyenne. σ 3 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

18 Valeurs d asymétrie skew < 0 skew > 0 Étalement à gauche Étalement à droite Commandes Informatiques skewness (package fbasics) (R) coefficient.asymetrie (Excel FR) skew (Excel AN) A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

19 Mesure d asymétrie : Exemple Les pointures de chaussures d un groupe de personnes sont résumées dans le diagramme en bâtons suivant: A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

20 Mesure d asymétrie : Exemple Les pointures de chaussures d un groupe de personnes sont résumées dans le diagramme en bâtons suivant: La moyenne de ces 25 observations est de 36.8, l écart-type de 5.55,et le skew est de 486, ce qui correspond bien à un étalement à droite. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

21 Mesures d aplatissement : Kurtosis Définition Le coefficient d aplatissment kurtosis est calculé ainsi n (x i µ) 4 kurt = A i=1 σ 4 3B où σ est l écart-type de la population, µ la moyenne, et A = n(n + 1) (n 1)(n 2)(n 3) B = (n 1) 2 (n 2)(n 3) sont des constantes d ajustement. Commandes Informatiques kurtosis (R) kurtosis (Excel FR) kurt (Excel AN) A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

22 Valeurs d aplatissement kurt > 0 kurt < 0 Pic et Aplatissement et queues épaisses queues minces A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

23 Exemple La distribution du nombre de tasses de café bues en une journée à la terrasse d un bistro est : 11, 13, 18, 20, 21, 23, 25, 25, 27, 28, 31, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 46, 54, 93 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

24 Exemple La distribution du nombre de tasses de café bues en une journée à la terrasse d un bistro est : 11, 13, 18, 20, 21, 23, 25, 25, 27, 28, 31, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 46, 54, 93 On voit que cette distribution a une queue épaisse, à cause de la valeur à 93. Pour cette distribution kurt=6.1. Si on remplace la valeur 93 par 33, on obtient kurt= A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

25 Résumé Les mesures d asymétrie Skewness et d aplatissement Kurtosis sont utiles pour déterminer la forme de la distribution. Ces mesures utilisent dans leur calcul l écart-type. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

26 Synthèses numériques : Résumé Mesures de tendance centrale (positionnement) Mode : valeur la plus fréquente (tous types de variables). Moyenne arithmétique, moyenne tronquée (variables quantitatives). Médiane : 50% au dessous, 50% au dessus (variables quantitatives et qualitatives ordinales). Mesures de dispersion (variables quantitatives uniquement) : l étendue. les quartiles et l écart interquartile. le boxplot. l écart-type et la variance d une population vs dun échantillon. Le coefficient de variation. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

27 Synthèses numériques : Résumé Les mesures d asymétrie Skewness et d aplatissement Kurtosis permettent de connaître des caract eristiques supplémentaires de la distribution. Leurs calculs utilisent la moyenne et l écart-type. skew < 0 skew > 0 Étalement à gauche Étalement à droite kurt > 0 kurt < 0 Pic et Aplatissement et queues épaisses queues minces A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

28 Données numériques groupées A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

29 Exemple Délai d expédition de l entreprise Sun4all en février classe fréquence i n i 1 [0-3[ 1 2 [3-6[ 0 3 [6-7.5[ 6 4 [7.5-9[ 7 5 [9-12] 5 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

30 Objectifs Avec des données numériques groupées, savoir déterminer la classe modale la moyenne la médiane et les quartiles l écart type (et la variance) A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

31 Classe modale Définition La classe modale est la classe ayant la plus grande fréquence. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

32 Exemple: classe modale Délai d expédition de l entreprise Sun4all en février classe fréquence i n i 1 [0-3[ 1 2 [3-6[ 0 3 [6-7.5[ 6 4 [7.5-9[ 7 5 [9-12] 5 La classe modale est la classe [7.5-9[ A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

33 Médiane Définition La classe médiane est la classe contenant la médiane. Parmi les classes ordonnées, c est la première dont la fréquence relative cumulée dépasse 0.5. La médiane des données groupées est ensuite approchée par interpolation linéaire. A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

34 Exemple: Médiane Délai d expédition de l entreprise Sun4all en février classe fréq. fréq. relative fréq. rel. x i n i f i = n i /n cumulée 1 [0-3[ [3-6[ [6-7.5[ [7.5-9[ [9-12] n=19 5 f i = 1 i=1 La classe médiane est donc [7.5-9[ A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

35 Exemple (suite) B H G H A? K K A I #! $ % # ' med(delai) = = La vraie médiane est 8 (cf. chapitre précédent). A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

36 Cas particulier L une des classes a une fréquence relative cumulée égale à 0.5, alors la médiane est égale à la borne supérieure de cette classe. B H G H A? K K A I # " $ % & ' La médiane vaut 170 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

37 Exemple (fictif) classe fréq. fréq. relative fréq. rel. x i n i f i = n i /n cumulée 1 [0-3[ [3-6[ [6-7.5[ [7.5-9[ [9-12] n=10 5 f i = 1 La classe médiane est donc [6 7.5[. La médiane est 7.5. i=1 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

38 Moyenne Convention: chaque observation d une classe est égale à la valeur centrale de cette classe. x = c n i x i i=1 c : nombre de classes n i : fréquence de la i-ième classe x i : valeur centrale de la i-ième classe n : nombre total de données. n A. Caboussat, HEG STAT I, / 45

39 Exemple: Moyenne Délai d expédition de l entreprise Sun4all en février. classe fréq. val. centrale x i n i x i 1 [0-3[ [3-6[ [6-7.5[ [7.5-9[ [9-12] n=19 delai = = 8.01 A. Caboussat, HEG STAT I, / 45