RÉVISION D'ALGÈBRE. 1.1 Polynômes et opérations Identités remarquables et factorisation Les équations 10

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1 RÉVISION D'ALGÈBRE. Polynômes et opérations. Identités remarquables et factorisation 6. Les équations 0.4 Systèmes d'équations linéaires.5 Corrections des exercices 5 Picchione Serge 0-0

2 AVANT-PROPOS Que contient cette brochure de révision d algèbre? Cette brochure se divise en 5 chapitres. Les 4 premiers contiennent chacun de la théorie et des exercices. Le dernier chapitre contient les corrigés complets de tous les exercices. Les 4 premiers chapitres résument toutes les notions d algèbre étudiées au Cycle d orientation. C est donc un document idéal pour faire de la révision pendant les vacances ou tout au long de l année scolaire. Pourquoi l algèbre est-elle si importante? En mathématique, l algèbre c est un peu comme l orthographe en français! C est une connaissance de base qui permet de maîtriser par la suite les autres branches des mathématiques. Comment utiliser au mieux cette brochure de révision d algèbre? Cette brochure ne se lit pas comme un roman ; il n est pas nécessaire de parcourir toutes les pages d un chapitre pour le comprendre et le maîtriser. Il est donc conseillé de résoudre une partie seulement des exercices d un chapitre et, suivant le taux de réussite, de lire ou non la théorie qui s y rapporte. Cette brochure sert avant tout, à combler certaines lacunes et à réactiver les connaissances en algèbre acquises durant les études au Cycle d orientation. Téléchargement Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l adresse suivante : BON TRAVAIL! Picchione Serge 0-0

3 . Polynômes et opérations Définition Un monôme (à une variable est le produit d un nombre réel donné et d une variable réelle élevée à une certaine puissance entière positive ou nulle. Exemples 9x 7x by 5 -x -4x 0 ay Remarques a Le nombre donné qui compose le monôme s appelle le coefficient du monôme. 0 b On note : x x = x, x = et x = x Définition =, ( Un polynôme (à une variable est une somme de monômes (à une variable. Ces monômes s appellent les termes du polynôme. Exemples 5 a P(x = 4x + 7x-9 est un polynôme en x composé de monômes. Le degré du polynôme est 5, on note deg(p = 5 et ses coefficients sont : c 5=4, c =7, c 0= 9. b P(t = -t+ 9 est un polynôme en t composé de monômes. Le degré du polynôme est, on note deg(p = et ses coefficients sont : c=, c=9. 0 Remarque Dans ce cours, un monôme est considéré comme un polynôme à terme. Définition Le degré n du polynôme, c est la plus grande puissance de la variable qu il contient. Notation : deg(p = n. Remarques a Un polynôme ne possède pas de variable à l exposant : x x P( x = + x n est pas un polynôme car n est pas un monôme. P( x = x + x est un polynôme deg( P = et ses coefficients sont : c =, c =, c 0=0. b Un polynôme ne possède pas de variable sous une racine : P( x = 5x + n est pas un polynôme car 5x = 5 x = 5x n est pas un monôme. P( x = 5x + est un polynôme deg( P = et ses coefficients sont : c= 5, c=. 0 c Un polynôme ne possède pas de division par la variable : P( x = + 6 n est pas un polynôme car = = x n est pas un monôme. x x x x P( x = + 6 est un polynôme deg( P = et ses coefficients sont : c=, c=6 0. Convention On écrit toujours les termes d un polynôme (monômes de telle sorte que les puissances soient présentées dans l ordre décroissant. Exemple P( x = 5x + 6 x + est la forme ordonnée et non pas : P( x 6x 5x = + +. _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

4 Somme de deux polynômes (addition P(t+ Q(t = = (t + t + + (6t 8t + = t t 6t 8t = t 6t t 8t =( 6t ( 8t ( ( = 9t 6t + = P + Q (t associativité a+(b+c=(a+b +c commutativité a+b=b+a mise en évidence ab + ac = a( b + c forme réduiteet ordonnée Différence de deux polynômes (soustraction P(t Q(t = = (t + t + (6t 8t + = = (t t ( 6t 8t = t t 6t 8t = t 6t t 8t ( 6 t ( 8 t ( t + 0t = ( P Q (t = = ( def. de la soustraction a b=a+( b=a+ b associativité a+( b+c =( a+b +c commutativité a+b=b+a mise en évidence ab + ac = a( b + c forme réduite et ordonnée Le polynôme opposé à Q( t = 6t 8t + est Q( t = 6t + 8t et réciproquement. Si on change les signes de chaque coefficient d un polynôme, on obtient le polynôme opposé. Par définition, la somme d'un polynôme et de son opposé est égale au polynôme nul ; c'est à dire : Q t + Q t = Q t + Q t = 0 ( ( ( ( ( ( Produit de deux polynômes (multiplication R(t T(t = (t + (5t 8t = + ( t 5t + ( 5t ( t 8t + ( 8t 5 = 5t + 5t 4t 8t 5 = 5t + ( 5 4t 8t 5 = 5t 9t 8t = R T (t ( Illustration de la distributivité t t 5t -8t 5t t ( 8t 5t ( 8t double distributivité (a+b( c + d = ac + ad + bc + bd commutativité ab = ba et a a = a n m n+ m mise en évidence ab + ac = a( b + c forme réduite et ordonnée Remarques On se souviendra qu'il est naturel d'utiliser les propriétés bien connues des opérations sur les nombres réels (mise en évidence, distributivité, commutativité, associativité, etc. lorsque l'on multiplie, additionne ou soustrait deux où plusieurs polynômes, car les lettres composant le polynôme représentent des nombres. Lorsqu on additionne, soustrait ou multiplie deux nombres réels le résultat est un nombre réel ce qui est aussi le cas pour les polynômes!! _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

5 Exercice a Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel. Exemple Les nombres pairs : n car si n est un entier naturel n { 0,,,,4,5,...} = alors n { 0,,4,6,8,0,...} Les nombres impairs. Les multiples de. Les multiples de 5. 4 Les multiples de π. 5 Les multiples de π. 6 Les nombres entiers positifs qui se terminent par. 7 Les nombres entiers positifs qui se terminent par. 8 Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570. b Exprimer et simplifier à l aide des lettres données : le périmètre d un rectangle de dimensions a et b. l aire totale des faces d un parallélipipède rectangle de dimensions x, y et z. la somme des aires de deux disques, l un de rayon r, l autre de rayon r. 4 la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x, x et 9x. 5 le volume total du corps formé de deux cubes, l un d arête x et l autre d arête y. 6 le périmètre d un triangle équilatéral de côté c. 7 l aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayon x, respectivement y (avec y >x. 8 l aire d un carré de diagonale d. 9 l aire d un losange dont la petite diagonale mesure d et la grande le triple de la petite. 0 la somme des périmètres de deux disques, l un de rayon r, l autre de rayon r. l aire totale A des faces de l objet. le volume V de l objet. x x x x x x x x x y Remarque : les dessins ne sont pas à l échelle. _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

6 Exercice Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes. x + ( x x + ( x ( x 4 + ( x + 4 ( x 9x+ 4 + ( x 4 5 ( x x + 8 ( x 6 ( z z + ( z z 7 4 ( t ( t 8 ( y+ + ( y y+ 9 ( x + ( x + x+ 0 ( x 6 + x ( x x x 5 x 4 x x ( x ( t ( t 6 4 ( t 5 + x 5 ( x + y+ 6 y 5 6 ( y 8 x x x x ( x Exercice Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes. x ( x x ( x ( x 4( x + 4 ( x 9x+ 4( x 4 5 ( z z( z z 8 ( x ( x + x+ 9 ( x 6 + x + 9( x 0 x ( x( x+ x ( x+ ( x ( x( x( x 6 ( t ( t 7 ( y+ ( y y+ t ( ( x 6 _ P.S. / Révision d algèbre

7 Exercice 4 Considérons les polynômes : P(x = x+ 5 Q( x = x + 7 x + x 5 5 R(x = x + 7x + 4x + x+ S(x = x + 7x+ Si on veut obtenir uniquement le coefficient du terme de degré du polynôme P(x Q(x on écrit : ( ( P( x Q( x = x + 5 x + 7 x + x =... + x x + 5 7x ±... = x + 5x ±... =... + x ± a Sans tout calculer / développer, déterminer : le coefficient du terme de degré du polynôme P Q le coefficient du terme de degré 4 du polynôme Q R le coefficient du terme de degré du polynôme R S b Sans tout calculer / développer, déterminer le degré des polynômes : P+Q R+S P+Q+R 4 P+Q+R+S 5 P Q 6 R S 7 P Q R 8 P Q R S 9 P Q 0 R S P Q R P Q R S _ P.S. / Révision d algèbre

8 . Identités remarquables et factorisation Quels que soient les nombres a, b et x on a : ( x + a = x + ax+ a ( x a = x ax+ a ( x+ a( x a = x a 4 ( ( ( x + a x+ b = x + a+ b x+ a b Remarques a Il n'existe pas d'écriture sous forme d un produit pour x + a. b Ces identités remarquables vont notamment nous permettre de gagner du temps dans le calcul algébrique. c Il est important de savoir reconnaître une identité remarquable et d être capable de passer d un produit à une somme et réciproquement. Définitions Factoriser un polynôme, c est le transformer en produit de polynômes. Développer, c'est transformer les produits de polynômes pour obtenir une somme de termes simples (sommes de monômes. Exemple Factoriser P( x = x 0x + 5 = ( x 5 ( x 5 Développer Remarque Factoriser un polynôme et développer sont des transformations réciproques. _ P.S. / Révision d algèbre

9 Méthodes de factorisation 8x x = x ( 8x Mise en évidence : ab+ac=a( b+c On met en évidence les symboles apparaissant dans tous les monômes. = ( ( + x x x Identité remarquable : x a = ( x+a( x a En général, il est nécessaire d utiliser la mise en évidence et les identités remarquables plusieurs fois pour factoriser le plus possible un polynôme. x 0x +5x ( = x x 0x+5 ( ( ( Polynome ˆ factorisé = x x 5 x 5 = x x 5 Mise en évidence Identité remarquable 4 Il existe des polynômes comme x + x -6x+ 4 qui sont factorisables mais les méthodes x + x 6x+ 4 = x+ 6 x x 4 étudiées ci-dessus ne sont pas applicables. ( ( ( D autres méthodes existent pour factoriser certains polynômes, mais elles seront traitées en ère et en ème année en lien avec les solutions d une équation polynomiale. On verra en outre, l utilité de la factorisation pour la résolution d équations polynomiales. Remarques a Tous les polynômes ne sont pas factorisables ; Les polynômes de degré comme x+ et le polynôme x + 4 de degré ne sont pas factorisables. Cependant, le théorème suivant nous donne une information importante : Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes du er degré et/ou du ème degré. Exemples P(x = x + deg(p= P( x n' est pas factorisable. Q(x= x + 4 deg(q= Q( x n' est pas factorisable. Factorisation ( ( R(x x 0x 5 x 5 x 5 = + = deg(r= R( x est factorisable. Factorisation ( ( ( S( x x x 6x 4 x 6 x x 4 = + + = + deg(s= S( x est factorisable. Factorisation ( ( ( 4 T(x x 5x x 0x 4 x 6 x x 4 = + + = + + deg(t=4 T( x est factorisable. Nous étudierons dans un prochain chapitre la condition pour qu'un polynôme de degré soit factorisable ou non. b On retiendra que, factoriser un polynôme est une transformation sur les polynômes alors que la mise en évidence et les identités remarquables sont deux «outils» pour factoriser un polynôme. _ P.S. / Révision d algèbre

10 Exercice 5 Factoriser complètement les polynômes. Exemples : i x 6= ( x 4( x + 4 ii + + = ( + ( + x 7x 0 x x 5 = + = 7 5 et 0 5 iii x + 6x+ = ( x + x+ = ( x+ ( x+ = ( x+ x + 4x + 49 x 6 x + 6 x 9 4 4x + 0x x 6 x + 0x 7 x x x 4x x + 6x t 49 x + x 6 x 7 x 0x 9 4 x x 5 9x 4 6 x 4x x x x + x + 9 6t + 64t v + v+ 0 a 4a x + x 9x x+ 4 4 x + x x 4x 0 6 x 0x 7 x + 6 x x + + x 9 x 8x x 6 x 6 5x 5 x 0x x + 4x x + 6 x 6 5 x + 0x x x 7 x x + 8 0x 9 + x 9 x x x + 0x 9 4 x 6x x 6 4 4x 44 x 6x 4 45 y y 46 7z 47 6t + 4t u + 8u x 50 ( x + 7( x x 4x+ 4 5 x ( x+ 5 x x ( x + ( x ( x + 0( x x + 58 x + 4x+ 59 4z + 8z x x x+ 6 6 y y t 0t x + x x 6x x 0x x + 8x x + x x + 8x ax 4ax 5a 7 cx 8cx + 8c 7 kx kx 6k 7 4m x 40m x 96m 74 a x a x _ P.S. / Révision d algèbre

11 Exercice 6 Développer à l aide des identités remarquables. Exemples : i ( ( x + = x + x + = 4x + x + 9 ( x + ( x ii ( y+ 8( y 8 = y 8 = y 64 5 ( a+ ( a ( a + ( a 4 6 ( a + 6( a + 4 ( y ( y+ 7( y 7 5 ( x + ( x 6 ( y 7 ( 4z + 4( 4z 4 6b + 8 ( 9 ( 4m + 0 ( 5s a ( ( x + 5( x 5 x + ( 4 ( x + ( x 7 7a 8 ( ax ( ax 9 4a ( 0 ( 6ax a ( 6ax + a ( 9z ( 9z + 0x 0x ( x ( x + ( x+ 4 ( x + ( x ( x 4 + 6( x ( x ( x + ( x a+ a a ( 0,w + 5( 0,w 5( 0,0w + 5 Exercice 7 a Développer les produits suivants et compléter le tableau des coefficients s y rattachant : 0 (a+ b = (a+ b = a+ b + = + + ( a + b = ( a + b = ( a + b = = (a b a ab b 6 ( a b b Y a-t-il une règle pour déterminer les puissances et les coefficients des termes de ces sommes? Si oui, laquelle? _ P.S. / Révision d algèbre

12 . Les équations Considérons l'égalité : 6x 7 = x + 5. Pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vérifiée? C'est le genre de problème que nous allons résoudre dans ce chapitre. L'égalité 6x 7 = x + 5 est une équation. Définition Une équation est l énoncé d une égalité entre deux expressions algébriques, dans lesquelles figurent une ou plusieurs variables qui prennent le statut d inconnues. Résolution d une équation Exemple 6x 7 = x+ 5 donnée 6x 7 = x+5 6x 7+7 = x+ 5+7 additionner = +7 6x = x+ réduire 6x-x= x+ -x soustraire x x = x 4x = réduire 4x = 4 4 diviser par 4 /4 = /4 x = réduire Contrôle x = dans le membre de gauche : 6 7 = 8 7 = x = dans le membre de droite : + 5= 6+ 5 = Conclusion : x = est l unique solution de l équation. On note : S = {} Le principe général utilisé pour résoudre une équation, c'est remplacer l équation donnée par des équations équivalentes de plus en plus simples jusqu'à isoler l'inconnue. _ P.S. / Révision d algèbre

13 Principes d équivalence pour résoudre une équation Pour passer d'une équation équivalente à une autre il faut respecter les principes suivants : Principe A = B A + C = B+C On peut additionner (ou soustraire une même expression aux deux membres d une équation. Principe A = B C A = C B On peut multiplier (ou diviser, mais pas par 0 par une même expression ne contenant pas l inconnue les deux membres d une équation. Remarques Les principes d équivalences se résument de la manière suivante : Effectuer les mêmes opérations à droite et à gauche de l égalité. L illustration souvent retenue est "une balance qui doit rester en équilibre". Ne pas multiplier ou diviser les deux membres de l équation par l inconnue. Exemples a x+ = x(x+ = x multiplication par l inconnue ajoute une solution b x + x = 0 x x 0 + = x + = 0 division par l inconnue perte d une solution x x c x = x x x = x x = division par l inconnue l égalité n est plus vraie et perte d une solution _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

14 Exercice 8 Résoudre les équations polynomiales du er degré suivantes (réponses en valeurs exactes. Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (addition, soustraction, multiplication, etc.. et le contrôle des solutions. x 4 = 6x 4 t= 7t 8 6x= y + 7 = 0 y y = 8+ y 6 t ( 7 = 5 ( t + t+ 6 7 ( x + ( x+ ( x 6( x = 0 8 x = 4 x+ 9 π R = R+ 0 0,5R + = 0,75R + 5 4x 8x = 4x 6 x 6 x = 6 4 ( R 5 6R = x = x t + t + 5t = x x 5x+ 6 ( x 4 = = ax+ b (inconnue : x 8 a( c x = b( d x (inconnue : x 9 x x 4 x x + = 7 0 x = 8 + ( x 6 4 ( x = ( x 5 ( t+ ( t+ = ( t ( t x x 7 x x + = x 5x + x + 4 = 5 Exercice 9 Résoudre ces équations mentalement. ( x + = x x + = x 00 = 450 x 4 x x = 5 5 4x + = 8 6 5( x + = 7 x + 5 x 7 7x = 0 8 x = 5 Exercice 0 Un étudiant a obtenu en français les notes suivantes :.5, 4.5, 4.5,,.5 et 5.5. Quelle note doit-il encore avoir pour obtenir une moyenne de 4.5? Exercice Yannick possède des CD : un quart est constitué de CD de rock, deux tiers de CD de rap et tous les autres sont des CD de techno. Yannick a quatre CD de techno. Combien Yannick possède-t-il de CD au total? Exercice Actuellement, l âge de M. Dupont est le double de celui de Frédéric. Dans cinq ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l âge de M. Dupont? _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

15 .4 Systèmes d'équations linéaires Définition On appelle système d'équations un ensemble d'équations qui doivent être résolues simultanément. Les équations composant le système peuvent comporter plusieurs inconnues. Exemples a x y = 4 x + y = et x + y = 5 x y = sont des systèmes de équations à inconnues. b x y = 4 x + y = x + y = 7 est un système de équations à inconnues. Remarque On signale un système d'équations par une accolade placée à gauche des équations. Résolution par «triangulation» d un système d équations linéaires x Exemple x y = 4 L x + y = L x y = 4 L = L 5x = 0 L + L = L x y = 4 x = y = 0 x = 0 = 4 ok! + 0 = ok! {( } S = ;0 Donnée : Un système linéaire de équations à inconnues. On décide de conserver la première équation et d éliminer l inconnue y dans la deuxième équation. Nous avons triangulé le système d équations linéaires. On peut trouver facilement la solution d un système triangulé. En effet, la deuxième équation d un tel système est une équation à une inconnue en x. On substitue maintenant dans la première équation la valeur de x et on trouve y. La première équation d un tel système est une équation à une inconnue en y. Vérification. Le système admet une solution, qui est un couple de nombres. Définition Un système d équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant qu une seule inconnue. _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

16 Exercice Résoudre les systèmes d équations linéaires suivants en utilisant la méthode de la «triangulation». (Réponses en valeurs exactes. Lors de la résolution des systèmes d'équations doivent figurer : toutes les étapes de calculs. le contrôle des solutions. 7x + y = 5x + 8y = x + y = 6 x y = 6 a 9b = 98 6a b = 8 4 0x + 7y = 05 0x + 4 y = x + y = 8x+y = 4 6 5x+y = 5 4x+y = 7 x + 8y = 59 5x y = 8 5a + 4b = 7 a 4b = u v = 8 u+v = Exercice 4 Un champ rectangulaire a un périmètre de 6 mètres. Calculer ses dimensions sachant que la longueur mesure 4 mètres de plus que sa largeur. Exercice 5 La recette d'un cinéma s'élève à '450 F ; les places sont à 0 F et à 40 F. 0 personnes ont mangé une glace et 50 personnes du popcorn. Sachant qu'il y a eu 400 places vendues, déterminer le nombre de places de chaque espèce. Exercice 6 Un entrepreneur doit déplacer 460 tonnes de terre : il dispose de camions, l'un pouvant transporter 5 tonnes et l'autre tonnes ; il désire effectuer 00 transports. Combien de fois doit-il utiliser chaque camion? Exercice 7 Un diététicien hospitalier veut préparer un plat de 0 unités de viande et de légume qui donnera 7 g de protéines. Si une unité de légume fournit 0,5 g de protéines et une unité de viande g de protéines, combien de chaque produit doit-il utiliser? Exercice 8 La largeur d une piscine rectangulaire est égale au /4 de sa longueur. Cette piscine est entourée d une allée large de m, d une aire de 46 m. Calculer les dimensions de la piscine. _ P.S. / Révision d algèbre

17 .5 Corrections des exercices Correction Exercice a Les nombres impairs : n + car si n est un entier naturel n { 0,,,,4,... } alors n + {,,,5,7,9,... } Les multiples de : n Les multiples de 5 : 5n 4 Les multiples de π : π n 5 Les multiples de π : π n 6 Les nombres entiers positifs qui se terminent par : 0n 7 Les nombres entiers positifs qui se terminent par : 00n 8 Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570 : 000n b ( 000n = multiple de 000 a + b xy + xz + yz 5 x 5π r 4 7 π y 9 9x + y 6 9c d π x 8 d 0 π r+ πr = πr+ 6πr = 8πr A= x x+ x+ x+ x+ x+ x + x x+ x x = x 4x + x + x = x + x + x = x ( V = ( x x y + x ( y x y = 6x y+ xy x y = 4x y+ xy + ( 0n = multiple de 0 + ( 00n = multiple de 00 _ P.S. / Révision d algèbre

18 Correction Exercice ( x + x = x + x Coeff : c = ;c = ;c0 = deg( P = x + x = x + x = x ( Coeff : c = ; c0 = deg( P = x 4 + x + = x 4 + x + x + = 4x + x ( ( Coeff : c = 4 ;c = ;c0 = deg( P = x 9x+ 4 + x 4 = x 9x+ 4+ x 4 = x 8x+ 0 4 ( ( Coeff : c = ;c = 8 ;c0 = 0 deg( P = 5 ( ( ( x x + 8 x = x x x 8x + 4 = x x + 4 Coeff : c = ;c = ;c0 = 4 deg( P = z z + z z = z z+ z z = z + z 6 ( ( Coeff : c = ;c = deg( P = = + + = + 7 ( ( ( ( t t 4 t t t t 4t t 8t Coeff : c4 = 4 ;c = ;c = 8 deg( P = 4 y + + y y+ = y+ + y y+ = y + 8 ( ( Coeff : c = ;c0 = deg( P = x + x + x+ = x x+ + x + x+ = x x+ 9 ( ( Coeff : c = ;c = ;c0 = deg( P = = + = x x 9 x x x 9 x x x 0 ( ( Coeff : c6 = ;c = ;c0 = deg( P = 6 x x x x + + x = + + x ( = x+ x+ x = + + x 5 = x = x Coeff : c = ;c0 = deg( P = _ P.S. / Révision d algèbre

19 x 4 x + x 4 + = 4 x = x + x + = x + x Coeff : c = ;c = ;c = deg( P = 4 4 = x + x 0 7 x 7 7 x 4 x + + = x + + = ( 7 4 x + + x = x+ x+ = + x+ = x+ = x Coeff : c = ;c0 = deg( P = 4 t t+ 6 4 t 5 = t t 6 4t+ 0 = t t 4t ( ( ( 6 40 = 6 t + 4 = t Coeff : c = ;c0 = deg( P = x x x 5 + x = + x x + x = + x x + x + = x x + x + 5 ( ( ( 5 Coeff : c = ;c = ;c = ;c0 = deg( P = y+ 6 y 5 y+ 6 y = y ( y 5 y y 5 + = y = y y+ y = + y = y = y Coeff : c = ;c0 = deg( P = ( x ( x x x x x 4 x x = x+ x x+ x 4 0 x x + 5 x + + x 4 = = x x 40 5x x 48 x = = = x Coeff : c = ;c0 = deg( P = ( ( ( ( _ P.S. / Révision d algèbre

20 Correction Exercice ( x x = x x Coeff : c = ;c = deg( P = x x = x 4x ( 4 Coeff : c4 = ;c = 4 deg( P = 4 x 4 x + = x + x 4x 4 ( ( Coeff : c = ;c = ;c = 4 ;c0 = 4 deg( P = x 9 x + 4 x 4 = x 4x 9 x + 6 x + 4 x 56 = x x + 50x 56 4 ( ( Coeff : c = ;c = ;c = 50 ;c0 = 56 deg( P = z z z z = z z z + z = z + z + z z 5 ( ( Coeff : c5 = ;c4 = ;c = ;c = deg( P = 5 6 ( ( ( ( t t = t t+ t = t 4 t + t + t t 4 = t t + t Coeff : c4 = ;c = ;c = ;c0 = deg( P = 4 7 ( y+ ( y y+ = ( y + y+ ( y y+ 4 4 = y y + y + y y + y+ y y+ = y + y + y+ Coeff : c4 = ; c = ;c = ; c0 = deg( P = 4 x x x x x + + = + + x 8 ( ( x Coeff : c = ;c0 = deg( P = x + x + 9 x = x x 9 ( ( x 6 +x Coeff : c9 = ;c0 = 7 deg( P = 9 0 ( ( ( ( = x 9x +9x 9 7 = x 7 x x x + = x x x + = x + x x x = x + x + x Coeff : c = ;c = ;c = deg( P = x x + x = x + x x = x x + 4x 6x = x + x 6x ( ( ( ( 4 4 Coeff : c4 = ;c = ;c = 6 deg( P = 4 x x x = x x+ x x = x x+ x = x 6x + x 6 ( ( ( ( ( ( ( Coeff : c = ;c = 6 ;c = ;c0 = 6 deg( P = _ P.S. / Révision d algèbre

21 t+ + 9= t+ t+ + 9= t + 4t+ 4+ 9= t + t+ ( ( ( ( Coeff : c = ;c = ;c0 = deg( P = 4 x 6 = 4 x x 6 = 4 x 4x+ 4 6 = 4x + 6x 4 ( ( ( ( Coeff : c = 4 ;c = 6 ;c0 = deg( P = Correction Exercice 4 a ( P Q ( x = x 7 x + 5 x ±... = x + 0x ±... =... + x ± ( Q R ( x =... + x x + 7x 4x + x 7x ±... = x + 8x + x ±... = 4 = x ±... ( R S ( x = x + 4x 7 x ±... = x + 8x ±... = x ±... b On identifie à chaque fois le terme dont le degré est le plus élevé : ( P + Q ( x = x ±... deg( P + Q = 5 (R+ S(x = x 5 x + 7 x ±... deg( R + S = 5 ( P + Q + R ( x = x ±... deg( P + Q + R = 5 ( P + Q + R + S ( x = 9x ±... deg( P + Q + R + S = ( P Q ( x = x ±... deg( P Q = 5 ( R S ( x = x ±... deg( R S = 5 5 ( P Q R ( x = x ±... deg( P Q R = 5 ( P Q R S ( x = 9x ±... deg( P Q R S = 4 ( P Q ( x = 6 x ±... deg( P Q = 4 0 ( R S ( x = x ±... deg( R S = 0 9 ( P Q R ( x = 6 x ±... deg( P Q R = 9 4 ( P Q R S ( x = 6 x ±... deg( P Q R S = 4 _ P.S. / Révision d algèbre

22 Correction Exercice 5 x + 4x + 49 = ( x + 7 x 6 x + 6 = ( x 9( x 7 x 9 = ( x+ ( x 4 4x + 0x+ 5 = ( x x = ( + x( x 6 x + 0x = ( x + ( x 7 x x + 0 = ( x 5( x x 4x 4 4 ( x + = 9 x + 6x+ 4 = ( x+ ( x+ 0 9t 49 = ( t + 7( t 7 x + x 6 = ( x + 9( x 7 x 7 = ( x + 6( x 6 x 0x 9 = ( x + ( x 4 x x = ( x + ( x 5 9x 4 = ( x + ( x 6 x 4x + 44 = ( x 7 x x + = ( x ( x 8 6 x + x + = ( x t + 64t + 64 = 6 ( t + 0 v + v+ 0 = ( v+ 6( v+ 5 a 4a+ 4 = ( a 4( a + x + x = ( x + ( x 9x x + 4 = ( x 4 x + x+ 6 = ( x+ ( x x 4x 0 = 4 ( x 6( x x 0x = ( x ( x + 7 x + 6 x + 6 = ( x + 7( x x + + x = ( x + ( x + 9 x 8x + 8 = ( x 9 0 x 6 x 6 = ( x 8 ( x + 5x 5 = 5( x + 5( x 5 x 0x + 6 = ( x 8 ( x 6 x + 4x + 4 = 4 ( x + 4 x + 6 x 6 = ( x + 8 ( x 5 x + 0x + 6 = ( x + 8( x + 6 x x = ( x + ( x + 7 x x + = ( x ( x 8 0x 9 + x = ( x + ( x 9 x x + 60 = ( ( x + 6( x 5 40 x + 0x 9 = ( x + ( x 4 x 6x+ 9 = ( x 4 6 x 6 = 4 ( x + ( x 4 4x = ( x + ( x 44 x 6x 4 = ( ( x + ( x + 45 y y = ( y 4( y+ 46 7z = ( z + ( z 47 6t + 4t + 9 = ( 4t + 48 u 8u 7 ( u + = 49 4x = ( + x( x 50 ( + ( + x 7 x 7 Déjà factorisé _ P.S. / Révision d algèbre

23 5 x 4x + 4 = ( x 5 x ( x+ 5 Déjà factorisé x + 00 = x + 0 Pas factorisable car de la forme x + 54 x 00 = ( x 0( x ( x + ( x + 00 Déjà factorisé 56 ( x + 0( x + 0 Déjà factorisé 57 x + = x + Pas factorisable car de la forme x + 58 x + 4x+ = ( ( x+ 4( x z 8z 4 4( z + + = + 60 ( a a 4x + 5 = x + 5 Pas factorisable car de la forme x + a 6 6x x 6 6( x x 6( x + = + = 6 y y ( 4y 4y ( y + = + = 6 45t 0t 5 5( 9t 6t 5( t + = + = 64 8x x ( 9x 6 x ( x + + = + + = x 6x 84 = 4( x 4x = 4( x+ ( x 7 66 x 0x 48 = ( x 0x 4 = ( x + ( x 67 x + 8x+ 40 = ( x+ 5( x x + x 60 = ( x + 5( x x + 8x+ 48 = 4( x+ 4( x+ 70 ax 4ax 5a = a ( x + ( x 5 7 cx 8cx + 8c = c( x ( x 7 7 kx kx 6k = k ( x + ( x 7 7 4m x 40m x 96m = 4m ( x 0x 4 = 4m ( x + ( x 74 a x a x = a x ( x _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

24 Correction Exercice (x+ = x + 4x+ 4 (y+ 5 = y + 0y (x + (x = x 6 (4z+ 4(4z 4 = 6z 6 8 (4m+ = 6m + 4m (a = 4a 4a + 4 (x + 5(x 5 = x 5 (x = x 6x+ 9 (y+ 7(y 7 = y 49 (y = 9y 8y+ 9 4 (6b + = 6b + b + (5s = 5s 0s x + = x + x + = x + 6x + 64 ( 4 (x+ (x = x 0x (a+ (a (a + (a = (a (a + (a = (a (a = a a + 4 a + 6 a + 4 = a + 0a ( ( 7 8 7a 49a 7a = ( ax ( ax 9 = a x 0ax a = 6a 8a + = 6a 8a ( 6ax a 6ax + a = 6a x a 0 ( ( 4 (9z (9z+ = 8z 4 0x 0x + = 00x (x (x + (x+ = x x + = x ( ( 4 (x+ (x (x 4 + 6(x + 4 = ( x 4( x + 4( x = ( x 4 6( x ( ( 4 8 = x 6 = x (x (x + (x 8 = x x 8 = x 9x ( ( 6 4 a+ a a + = a a + = a ( = a ,0w 5 0,0w + 5 0,0w + 5 = 0,0w 5 0,0w + 5 = 0,000w 65 7 ( ( ( ( ( _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

25 Correction Exercice 7 a ( a b 0 ( a b ( a b ( a b ( a b 4 ( a b 5 ( a b 6 + = + = a+ b + = + = + = + = + =.. a + ab+ b a + a b + ab + b 4 4 a + 4a b+ 6a b + 4ab + b a + 5a b + 0a b + 0a b + 5ab + b a + 6a b + 5a b + 0a b + 5a b + 6a b + b b La somme des puissances de chaque terme du développement de ( n égale à n. Exemple : ( a+ b = a + a b + a b + b + + a+ b est constante et Les coefficients du développement de ( a+ b n s obtiennent en additionnant deux à deux les coefficients du développement de ( a+ b n Exemple : + = + + = = = = = La somme des coefficients du développement de ( a+ b n vaut n. Exemple : = = 0 + = = + + = 4 = = 8 = = 6 = = = = 64 = 6 _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

26 Correction Exercice 8 x 4 = 6x 4 x 4 x+ 4 = 6x 4 x = 6x x 4x 0 = x = = 4 Contrôle : = et 6 4 = 5 S = t= 7t 8 t+ t+ 8= 7t 8+ t = 7t+ t 8t = 8 8 t = Contrôle : = = et 7 8 = = S = 8 6x = 0 6x 0 = x = = 0 6 Contrôle : = S = { 0} 4 0 y + 7 = 0 y + 7 0y = 0 S = (vrai pour tout y 5 y = 8+ y y y = 8+ y y 0y= 8 S = (aucune solution dans _ P.S. / Révision d algèbre

27 6 t ( 7 = 5 ( t + t+ 6 t = 5 5t + t + 6 t + t + = t + + t + t + t = + 6t 4 = 6 6 t = 7 Contrôle : ( 7 7 = 0 = 0 et 5 ( = 0 S = { 7} 7 ( x + ( x+ ( x 6( x = 0 x + x + x + 8 x + = 0 7x+ 4+ 7x = 0+ 7x 4 x = 7 Contrôle : = + + = S = 7 8 x = 4 x+ x x = 4 x+ x 6 = 4 x x 6 x = x = Contrôle : S = 9 π R = R+ = 6 = 9 et 4 + = + = 9 π R R+ = R+ R+ π R R = + ( π R + = π - π - + R = π _ P.S. / Révision d algèbre

28 Contrôle : ( π ( + π + π π + π π + π + π = = = π π π π π + + ( π + + π π + + = + = = π π ( π π π 0 0,5R + = 0,75R + 5 0,5R + 0,5R 5 = 0,75R + 5 0,5R 5 5 = 0,75R 0,5R = 0,5R R = 6 Contrôle : 0,5 ( 6 + =,5 + = 0,5 et 0,75 ( = 4,5 + 5 = 0,5 + S = π S = { 6} 4x 8x = 4 x 6 4x 8x + = 4x 6+ 8x 4 = 8 8 x = 4 7 Contrôle : 4 8 = = = 6 = = 6 = = S = x 6 x = 6 4 x 6 x = 6 4 x 6 = x ( ( x x + 9 = x 9 x + 9 x = Contrôle : et = = = = S = { } _ P.S. / Révision d algèbre

29 ( R 5 6R = 7 4 ( R 5 R 4 = R 5 = R ( 6R 0 6R = R 6R 0 = 5R 0 R = = 5 Contrôle : ( = ( 7 6 ( = et = S = { } 4 4 x = x 6 4 x x x x + = x x + = 4 6 = x 4 6 = x = x x = 4 Contrôle : et = = = = S = { 4} 5 t t 5t + + = t = t = t = 5 90 t = 90 0 Contrôle : = = 5 S = { 90} _ P.S. / Révision d algèbre

30 4+ x x 5x+ = ( x 4 4+ x x 5x+ ( x 4 = ( + x x ( 4 = 6( x 5x ( + + x x + 48 = 6 x 8 0x = 4x + 9x 80 5x = 5 5 x = Contrôle : ( 6 4 = = 5 = = = = ax+ b (inconnue : x b= ax b x = a = = 7 S = { 6} b S = a 8 a( c x = b( d x (inconnue : x ac ax = bd bx bx ax = bd ac ( x b a = bd ac bd ac x = b a bd ac S = b a 9 x x 4 x x 7 + = S = { } 0 x = 8 + ( x 6 S = 4 ( x 49 6 ( x 5 + = S = { 8} ( t+ ( t+ = ( t ( t S = { } x x 7 x x + = S = 4 x 5x x + = + S = 5 _ P.S. / Révision d algèbre

31 Correction Exercice 9 S = {-} S = {75} 5 S = {5/4} 7 S = {} S = {-} 4 S = {5} 6 S = R 8 S = {-} Correction Exercice 0 Inconnue : x = dernière note Équation : ( x = x =.5 x = 8 7 Réponse : x = 8 ; C est impossible! Correction Exercice Inconnue : x = nombre de CD que possède Yannick Équation : x + x + 4 = x... x = 48 4 Réponse : Yannick possède 48 CD. Correction Exercice Inconnue : x = âge de M. Dupont Équation : ( x x = x = 40 Réponse : L âge de M. Dupont est de 40 ans et l âge de Frédéric est de 0 ans. _ P.S. / Révision d algèbre

32 Correction Exercice 7x + y = L 5x + 8y = L Donnée : Un système linéaire de équations à inconnues. 7x + y = L = L 9 x = 87 L + ( L = L On décide de conserver la première équation et d éliminer l inconnue y dans la deuxième équation. Nous avons triangulé le système d équation linéaire. 7x + y = x = y = x = ( ( ( ( 7 + = ok! = ok! S = {(-;} On peut trouver facilement la solution d un système triangulé. En effet, la deuxième équation d un tel système est une équation à une inconnue en x. On substitue maintenant dans la première équation la valeur de x et on trouve y. La première équation d un tel système est une équation à une inconnue en y. Vérification. Le système admet une solution, qui est un couple de nombre. x + y = 6 x y = 6 a 9b = 98 6a b = 8 S = {( 8;8 } S = {( -4;6} 4 0x + 7 y = 05 L 0x + 4 y = 47 L Donnée : Un système linéaire de équations à inconnues. 0x + 7 y = 05 L = L 0x = 6 ( L + L = L On décide de conserver la première équation et d éliminer l inconnue y dans la deuxième équation. Nous avons triangulé le système d équation linéaire. 0x + 7 y = 05 0 x = 6 impossible On peut trouver facilement la solution d un système triangulé. En effet, la deuxième équation d un tel système est une équation à une inconnue en x. S = Le système n admet aucune solution. _ P.S. / Révision d algèbre

33 5 4x+ y = L 8x + y = 4 L Donnée : Un système linéaire de équations à inconnues. 4x+ y = L = L 0x+ 0y = 0 ( L + L = L On décide de conserver la première équation et d éliminer l inconnue y dans la deuxième équation. Nous avons triangulé le système d équation linéaire. 4x+ y = x = λ y = 4λ x = λ ( λ ( λ λ ( paramètre λ ( paramètre 4λ + 4 = ok! 8λ + 4 = 4 ok! {( } On peut trouver facilement la solution d un système triangulé. En effet, la deuxième équation d un tel système est une équation à une inconnue en x. On substitue maintenant dans la première équation la valeur de x et on trouve y. La première équation d un tel système est une équation à une inconnue en y. Vérification. S = λ;4λ λ Le système admet une infinité de solutions x + y = 5 4x + y = x + 8 y = 59 5x y = 5a + 4b = 7 a 4b = 45 7u v = 8 u + v = S = {( -9;-5} S = {( -;-6} S = {( -;} S = {( -;-} Correction Exercice 4 Donnée : Périmètre du champ = 6 m. Inconnues : L = longueur du champ et l = largeur du champ Système d'équations linéaire : L = l + 4 L = = L + l l = 46 ˆ Controle : 70 = ok! 6 = ok! Réponse : La longueur champ est de 70 m et sa largeur de 46 m. L l _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

34 Correction Exercice 5 Données : recette du cinéma = '450 F nombre de places vendues = 400 Inconnues : x = nombre de places vendues à 0 F y = nombre de places vendues à 40 F Système d'équations linéaire : x + y = 400 y = x + 40 y = 450 x = 55 Contrôle : = 400 ok = 450 ok Réponse : Le nombre de places vendues à 0 F est de 55 et le nombre de places vendues à 40 F est de 45. Correction Exercice 6 Données : tonnes de terre à déplacer = 460 tonnes nombre de transports = 00 Inconnues : x = nombre de transports effectués par le camion de capacité de 5 tonnes y = nombre de transports effectués par le camion de capacité de tonnes Système d'équations linéaire : x + y = 00 y = x + y = 460 x = 80 Contrôle : = 00 ok! = 460 ok! Réponse : Le nombre de transports effectués par le camion de capacité de 5 tonnes est de 80 et le nombre de transports effectués par le camion de capacité de tonnes est de 0. _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

35 Correction Exercice 7 Données : Le plat doit donner en tout 7 g de protéines. Nombre total d'unités contenu dans le plat = 0 Inconnues : x = nombre d'unités de viande. y = nombre d'unités de légume. Système d'équations linéaire : x+ y = 0 x + y = 0 y = 6... x+ 0,5 y = 7 x+ y = 7 x = = 0 ok! Contrôle : 4 + 0,56 = 7 ok! Réponse : Le plat doit contenir 4 unités de viande et 6 unités de légume. Correction Exercice 8 Données : Aire de l'allée = 46 m Largeur de l'allée = m. Inconnues : x = longueur de la piscine y = largeur de la piscine Système d'équations linéaire : y = x 4 (x+ 6(y+ 6 xy= 46 y = x 4 6 x + 6 y + 6 = 46 x y = 0 y = x = 0 6 x + 6 y = 0 5 = 0 ok Controle ˆ : 4 ( ( = 46 ok x y Réponse : La longueur de la piscine est de 0 m et sa largeur de 5 m. _ P.S. / 0-0 Révision d algèbre

36 _ P.S. / Révision d algèbre

37 Notes personnelles

38 Notes personnelles