EXERCICES DE REVISION AVANT LA SECONDE

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1 EXERCICES DE REVISION AVANT LA SECONDE Vous pouvez faire tous les exercices sur ces feuilles. Je vous conseille donc de les imprimer. LES PRIORITES DE CALCUL Exercice 1 Rappels de cours : _ Les calculs entre parenthèses sont à effectuer en priorité. _ La multiplication et la division sont à effectuer avant l addition et la soustraction a) Effectuer les calculs suivants : A= ( 2 3 4) [ ( 4)] B= ( 5) +6 C= 5 (2 3 6) 4 A= B= C= A= B= C= A= B= C= b) Compléter en utilisant les mots somme, produit ou différence : L expression A est..., l expression B est... et l expression C est... Exercice 2 Rappels de cours : _ Pour calculer le produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. _ Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions, on écrit les deux fractions avec le même dénominateur puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs tout en conservant les dénominateurs. _ Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. A = B = C = D = 5 3 : 4 7 A = B = C = D = A = B = C = D = 1 E = F = : G =

2 LE CALCUL LITTERAL Rappels de cours : _ Soit k, a et b des nombres relatifs, on a : k (a + b) = ka + kb. _ Soit a, b, c et d des nombres relatifs, on a : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd _ Soit a et b des nombres relatifs, on a : (a + b) ² = a² + 2ab + b² (a b) ² = a² 2ab + b² (a + b) (a b) = a² b² Exercice 1 : Développer et réduire les expressions suivantes : A = 5x(x 3) B = (11x 3) + (8x + 1) C = (2x 3) (9x + 1) D = (8x + 1) (x 4) (x 2) (2x 3) H = (x + 7)² I = (4x 3)² J = (7x + 4) (7x 4) Exercice 2 : Factoriser les expressions suivantes : A = B = ( C = D = E = Exercice 3 : Résoudre les équations suivantes : a) 8y 7= 12y + 2 b) (5 2x) (x + 1) = 0 c) (2x 1) ( 3x 1) (2x 1) (5x 1) = 0 (pour résoudre cette équation, il faut factoriser le membre de gauche) Exercice 4 : Résoudre l inéquation suivante : 2x 5 3

3 LES PUISSANCES ET LES RACINES CARREES Exercice 1 : Ecrire les nombres B et C en notation scientifique puis les encadrer par des puissances de 10 consécutives : Exemple : A = = 4,5 et < A < B = = et... < B <... C = 0, = et... < C <... Exercice 2 : Ecrire les nombres suivants sous forme de nombres décimaux : Exemple : D = 21 = et E = 0, =0,001 3 F = 370 G = 0,75 H = 3,25 Exercice 3 : Rappels de cours : Soit a et b deux nombres relatifs non nuls, m et n deux entiers relatifs. On a : n a n m a = a n m n+ m m m n n m n n n a a = a a ( a ) = a ( a b) = a b b Ecrire les nombres suivants sous la forme de la puissance d un seul nombre : Exemple : I = n a = b n n a) b) c) d) e) f) Exercice 4 : Donner le résultat sous forme d un nombre décimal : J = K = Exercice 5 : Ecrire les nombres suivants sous la forme où a et b sont des nombres entiers avec b le plus petit possible. A= B= C= D= 3 2 A= B= C= D= A= B= C= D= A= B= C= D= D= Exercice 6 : Développer et réduire les expressions suivantes : A = 3 B = (1 + 2 ) (2 + 5 ) C = ( A= B= C= A= B= C= A= B= C= 2 Exercice 7 : Résoudre les équations suivantes : a) x² = 4 b) x² = 10 c) x² = 5

4 LES FIGURES-CLES EN GEOMETRIE Voici une liste de propriétés étudiées au collège : A : Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes (cela signifient qu elles se coupent en un seul point). B : Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. C : Dans un triangle, les médianes sont concourantes. D : Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. E : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle. F : Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu alors c est un parallélogramme. G : Si les diagonales d un quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu alors c est un losange. H : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. I : Si deux angles sont alternes-internes entre deux droites et ont la même mesure alors ces deux droites sont parallèles. J : Le théorème de Pythagore. K : Le théorème de Thalès. L : Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. M : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Pour chaque figure-clé, indiquez la lettre de la propriété qui lui correspond. Attention il y a un intrus parmi les propriétés.

5 LES FONCTIONS Exercice 1 : Soit f et g les fonctions définies par : f(x) = 3x et g(x) = 3x + 1 1) f est-elle une fonction linéaire? Est-elle une fonction affine? 2) g est-elle une fonction linéaire? Est-elle une fonction affine? 3) Compléter les tableaux de valeurs suivants : x 2 1 f(x) 0 3 x 2 0 g(x) 0 1

6 4) Tracer, en les justifiant, les droites représentatives de ces deux fonctions dans un repère de votre choix. Exercice 2 : Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : 1) Par lecture graphique : a) Donner les images des nombres 1 et 4. b) Quels sont les nombres qui ont pour image 5? 2) Soit g : x 2x + 3 a) Dans le repère ci-contre, tracer la représentation graphique de la fonction g. b) Par lecture graphique, donner les solutions de l équation : f(x) =g(x). CALCULER DANS UN TRIANGLE RECTANGLE Rappels de cours : _ Dans un triangle rectangle, on peut appliquer les 3 formules de trigonométrie ( S O H C A H T O A ), pour calculer la longueur d un côté ou pour calculer la mesure d un angle. _ Pour montrer qu un triangle est rectangle, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle le plus long côté au carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle ; On peut aussi utiliser le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180 ; Ou encore utiliser le lien entre triangle rectangle et cercle : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors il est rectangle. _ Pour montrer qu un triangle n est pas rectangle, on peut utiliser la contraposée du théorème de Pythagore : Si dans un triangle le plus long côté au carré n est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle n est pas rectangle.

7 Répondez aux questions près des schémas au dos de cette feuille. Les longueurs seront arrondies au millimètre près et les angles au dixième de degré près. AB =? AC =? K 16 cm A JKL est-il rectangle? B 34 cm 63 L 30 cm 10 cm J C M 7 cm N D 8 cm DF =? MNO est-il rectangle? 9 cm cm O E 34 F G P PQR est-il rectangle? cm G =? I =? 42 R 48 H I 4 cm UTS est-il rectangle? U T X 47 XV =? XW =? A Q S V cm W 4 cm Y 5 cm Z cos Y =? sin Y =? cos Y + sin Y =? LES SYSTEMES DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES 2x + y = 2 Exercice 1 : Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de substitution : 5x + 3y = 7

8 2x + 3y = 4 Exercice 2 : Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de combinaison : 5x 6y = 17 Exercice 3 : A la boulangerie, Antoine achète 3 croissants et 1 pain au chocolat, il paie 4,05. Sa voisine achète 2 croissants et 3 pains au chocolat, elle paie 5,50. Quel est le prix d un croissant? d un pain au chocolat? CORRECTION DES EXERCICES DE REVISION AVANT LA SECONDE LES PRIORITES DE CALCUL Exercice 1 a) Effectuer les calculs suivants : A= ( 2 3 4) [ ( 4)] B= ( 5) +6 C= 5 (2 3 6) 4 A= ( 6 4) ) [ 2 12] B= ( 20) + 6 C= 5 ( 1 6) 4 A= 10 ( 14) B= C= 5 ( 7) 4 A= 140 B= 21 C= 35 4 C = 39 b) Compléter en utilisant les mots somme, produit ou différence : L expression A est un produit, l expression B est une somme et l expression C est une différence.

9 Exercice 2 Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. A = B = C = A = A = 28 B = B = C = C = C = 45 4 D = 5 3 : 4 7 D = D = D = E = E = E = E = 24 F = : F = : F = 1 3 : 5 3 F = F = G = G = G = G = G = G = 3 2 LE CALCUL LITTERAL Exercice 1 a) Développer et réduire les expressions suivantes : A = 5x(x 3) B = (11x 3) + (8x + 1) A = 5x x 5x ( 3) B = 11x x + 1 A = 5x x B = 3x + 4 C = (2x 3) (9x + 1) D = (8x + 1) (x 4) (x 2) (2x 3) C = 18x² + 2x 27x 3 D = 8x² 32x + x 4 (2x² 3x 4x + 6) C = 18x² 25x 3 D = 8x² 31x 4 (2x² 7x + 6) D = 8x² 31x 4 2x² + 7x 6 D = 6x² 24x 10 H = (x + 7)² I = (4x 3)² J = (7x + 4) (7x 4) H = x² + 2 x 7 + 7² I = (4x)² 2 4x 3 + 3² J = (7x)² 4² H = x² + 14x +49 I = 16x² 24x +9 J = 49x² 16

10 Exercice 2 A = = = B = ( = B = = C = D = E = C = D = E = C = ou ou D = Exercice 3 a) 8y 7= 12y + 2 8y y = 12y y 20y = 9 y La solution est. b) (5 2x) (x + 1) = 0 Si un produit est nul alors un des deux facteurs est nul, donc : 5 2x = 0 ou x + 1= 0 2x = 5 ou x = 1 x = L équation admet 2 solutions qui sont +2,5 et 1. c) (2x 1) ( 3x 1) (2x 1) (5x 1) = 0 (2x 1) [ ( 3x 1) (5x 1) ] = 0 (2x 1) [ 3x 1 5x + 1 ] = 0 (2x 1) ( 2x ) = 0 2x 1 = 0 ou 2x = 0 x = 0,5 ou x = 0 L équation admet 2 solutions qui sont 2,5 et 1. Exercice 4 2x 5 3 d où : 2x d où : 2x 8 d où : donc : x 4 Les solutions de l inéquation sont les nombres supérieurs ou égaux à 4. LES PUISSANCES ET LES RACINES CARREES Exercice 1 : B = = 2,58 et < B < C = 0, = 5,2 et < C < Exercice 2 : F = 370 G = 0,75 H = 3,25 F = G = H = 0, Exercice 3 : a) b) c)

11 d) e) = f) = ( 5 = Exercice 4 : J = K = J = 0, K = ,001 J = 100,1 K = ,999 Exercice 5 : A= B= C= D= 3 2 A= B= C= D= 2 A= B= C= 7 D= A= 2 B= 11 C= 14 D= 3 D = 12 6 D = 6 Exercice 6 : A = 3 B = (1 + 2 ) (2 + 5 ) C = ( 2 A= B= ) 2 C= ( A= B= C= A= 2 B= C= Exercice 7 : a) x² = 4 b) x² = 10 c) x² = 5 x = ou x = x = ou x = 5 étant un nombre négatif donc : x = 2 ou x = 2 Les solutions sont et. cette équation n a pas de solution. Les solutions sont 2 et 2. LES FIGURES-CLES EN GEOMETRIE 1_ J 2_ E 3_ L 4_ I 5_ D 6_ C 7_ M 8_ F 9_ G 10_ B 11_ A 12_ K L intrus est : H. LES FONCTIONS Exercice 1 1) f est de la forme f : x ax avec a = 3 donc f est une fonction linéaire. Une fonction linéaire étant affine, on peut affirmer que f est aussi une fonction affine. 2) g est de la forme g : x ax+b avec a = 3 et b = 1 donc g est une fonction affine qui n est pas linéaire. 3) Compléter les tableaux de valeurs suivants : x f(x) 6 = 3 * ( 2 ) x 2 0 1/3 2/3

12 g(x) 5 =3 * ( 2) ) f et g sont des fonctions affines donc on les représente graphiquement par des droites (d) et (d ). La fonction f étant linéaire, la droite (d) passe par l origine du repère. On utilise ensuite 3). Exercice 2 1) a) L image de 1 par la fonction f est 3. 2) a) L image de 4 par la fonction f est 0. 1) b) Les nombres qui ont pour image 5 sont 1 et 5. (d ) (d) 2) b) D après le graphique, les solutions de l équation f(x) =g(x) sont : 1 et 3. En effet les points d intersection des deux courbes ont pour coordonnées : ( 1 ; 5) et ( 3 ; 3).. CALCULER DANS UN TRIANGLE RECTANGLE Dans le triangle ABC rectangle en A : AB B ˆ AB cos = cos 63 = BC 10 AB = 10 cos 63 AB 4,5 cm Dans le triangle ABC rectangle en A : AC B ˆ AC sin = sin 63 = BC 10 AC = 10 sin 63 AC 8,9 cm (remarque : on peut utiliser d autres outils pour calculer AC : le théorème de Pythagore ou bien la tangente de l angle Ĉ )

13 DE Dans le triangle DEF rectangle en D : F ˆ 8 tan = tan 34 = FD FD 8 FD = FD 11,9 cm tan 34 Dans le triangle GHI rectangle en H : Dans le triangle GHI rectangle en H : tan G ˆ = tan I ˆ = HI GH GH HI 4 tan G ˆ = ˆ 1 4 G = tan ( ) Ĝ 17, 1 tan I ˆ = ˆ 1 I = tan ( ) Î 72, (remarque : pour calculer la mesure de l angle I, on pouvait aller beaucoup plus vite en utilisant la somme des angles dans un triangle) [KJ] est le côté le plus long du triangle KJL. KJ ² = 34 ² = 1156 et KL ² + LJ ² = 30 ² +16 ² = 1156 Donc on constate que KJ ² = KL ² + LJ ² d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle JKL est rectangle en L. [MO] est le côté le plus long du triangle MNO. MO ² = ² = 169 et NO ² + NM ² = 7 ² +9 ² = 0 Donc on constate que MO ² NO ² + NM ² d après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle MNO n est pas rectangle. Dans tout triangle la somme des angles vaut 180 d où : P ˆ + Rˆ + Qˆ = 180 P ˆ = 180 P ˆ + 90 = 180 P ˆ = ˆP = 90 Le triangle PQR est donc rectangle en P. On sait que le point T est sur le cercle de diamètre [SU]. Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors il est rectangle. Donc le triangle STU est rectangle en T. Dans le triangle XVW rectangle en V : Dans le triangle XVW rectangle en V : (remarque : encore plusieurs manières ) VW tan X ˆ = XV VW sin X ˆ = XW tan 47 = sin 47 = XV XW XV = tan 47 XV 12,1 cm XW = sin 47 XW 17,8 cm Dans le triangle AZY rectangle en A : cos Y ˆ = YA YZ 4 cos Y ˆ = cos Y ˆ = 0, 8 5 Toujours dans le même triangle, on utilise le théorème de Pythagore, par exemple et on obtient : AZ = 3 cm.

14 Dans le triangle AZY rectangle en A : sin Y ˆ = AZ ZY 3 sin Y ˆ = sin Y ˆ = 0, 6 5 cos ² Yˆ = ( cos Y ) ² = 0,8 ² = 0,64 sin ² Yˆ = ( sin Y ) ² = 0,6 ² = 0,36 donc : cos ² Yˆ + sin ² Yˆ = 0,64 + 0,36 cos ² Yˆ + sin ² Yˆ = 1. LES SYSTEMES DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES 2x + y = 2 Exercice 1 : Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de substitution : 5x + 3y = 7 2x + y = 2 donc : y = 2 2x. On remplace y par 2 2x dans la seconde équation : 5x + 3y = 7 devient : 5x + 3 (2 2x) = 7 donc : 5x + 6 6x = 7 donc : x = 7 6 donc : x = 1 Pour trouver y, on remplace x par 1 dans l égalité : y = 2 2x donc y = 2 2 1) donc : y = 4 La solution du système est le couple ( 1 ; 4). Exercice 2 : Résoudre le système suivant en utilisant la méthode de combinaison : On multiplie par 2 la première équation et par 1 la seconde et on obtient : 2 (2x + 3y) = 2 ( 4) donc : 4x + 6y = 8 1 (5x 6y) = 1 17 donc : 5x 6y = 17 2x + 3y = 4 5x 6y = 17 On additionne membre à membre les deux nouvelles équations (afin de supprimer l inconnue y) : 4x + 6y + 5x 6y = Donc : 9x = 9 donc : x = 1 Pour trouver y, on remplace x par 1 dans une des deux équations : 2x + 3y = 4 donc y = 4 donc : 3y = 4 2 donc : 3y = 6 donc : y = 2 La solution du système est le couple (1 ; 2). Exercice 3 : On appelle x le prix d un croissant et y le prix d un pain au chocolat. 3x + y = 4,05 On doit résoudre le système suivant : 2x + 3y = 5,50 On utilise la méthode de substitution : 3x + y = 4,05 donc : y = 4,05 3x. On remplace y par 4,05 3x dans la seconde équation :

15 2x + 3y = 5,50 devient : 2x + 3 (4,05 3x) = 5,50 donc : 2x + 12,15 9x = 5,50 donc : 7x = 5,5 12,15 donc : 7x = 6,65 donc : x = 0,95 Pour trouver y, on remplace x par 0,95 dans l égalité : y = 4,05 3x donc y = 4,05 3 donc : y = 1,2 Un croissant coûte 0,95 et un pain au chocolat 1,2.

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