Chapitre 1: REGLES DE CALCULS

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1 Chapitre 1: REGLES DE CALCULS 1. Vocabulaire: Le résultat d'une addition est la somme. Le résultat d'une soustraction est la différence. On appelle termes les nombres que l'on ajoute ou soustrait. Le résultat d'une multiplication est le produit. On appelle facteurs les nombres que l'on multiplie. Le résultat d'une division est le quotient. Le nombre que l'on divise est le dividende et celui par lequel on divise est le diviseur. 2. Priorités opératoires: a) Cas où il n'y a pas de parenthèses: Règle 1: Dans une expression sans parenthèses où il n'y a que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite dans l'ordre d'écriture. A= On calcule en premier 28 16, ce qui fait 12. A= On calcule ensuite 12+8, ce qui fait 20. A= On calcule ensuite 20 3, ce qui donne 17. A=17 7 Et enfin, on calcule 17 7, ce qui donne le résultat final. A=10 Règle 2: Dans une expression sans parenthèses où il n'y a que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite dans l'ordre d'écriture. B= On calcule en premier 28 : 7, ce qui fait 4.. B= On calcule ensuite 4 x 8, ce qui fait 32. B= On calcule ensuite 32 x 3, ce qui donne 96. B=96 2 Et enfin, on calcule 96 : 2, ce qui donne le résultat final. B=48 Règle 3: La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction. C= On commence par la multiplication 12 x 3 ce qui fait 36. C= Ensuite, on applique la règle 1. C=51 3 C=48 Règle 4: La division est prioritaire sur l'addition et la soustraction. D= On commence par la division 12 : 3 ce qui fait 4. D= Ensuite, on applique la règle 1. D=19 3 D=16

2 b) Cas où il y a des parenthèses: Règle 5: Dans une expression où il y a des parenthèses, on doit toujours commencer par les calculs entre parenthèses. Si il y a plusieurs parenthèses, on commence par les pernthèses les plus intérieures. E= On commence par les parenthèses intérieures E= E= E= E= E= E= Travailler avec des lettres: En mathématiques, on peut avoir besoin de lettres pour désigner des nombres. Par exemple, * pour écrire une formule Aire du carré = L x l où L et l désignent la longueur et la largeur du carré. * pour écrire un nombre qui n'est pas décimal comme le nombre Pi. =3, a) Conventions d'écritures: On peut ne pas écrire le signe multiplié quand il est: * devant une parenthèse. * entre une lettre et un nombre * entre deux lettres. Exemples: 3 x a s écrit 3a a x b s écrit ab 4 x ( a 2 ) s écrit 4( a 2 ) x a s écrit a Attention!!!!!!!! 2 x 3 ne s écrit pas 23! On écrit toujours le nombre devant la lettre: on écrit 2a, on n écrit pas a2. b) Carré d'un nombre: On appelle carré d'un nombre le produit d'un nombre par lui même. Exemples: 3x3 s'écrit 3² et se lit «3 au carré». 5²=5x5=25 8²=8x8=64 axa=a² et se lit»a au carré» c) Tester des égalités: 1. vocabulaire: Inconnue : C est une lettre qui désigne un nombre qu on ne connaît pas. Exemple : x

3 Egalité ou équation:c'est une «opération à trous» dont les «trous» sont remplacés par des inconnues. Exemple : 11 x 7 = 6 Membre: une équation est composée de deux membres séparés par un signe «=». Exemple : 11x 7 = 6 1 er membre 2 e membre 2.Exemples et méthodes: 1) L égalité 3 x 4 = 5 + 2x est-elle vraie dans les cas suivants : a) x = 0 b) x = 9 2) A l été, M. Bèhè, le berger, possédait 3 fois plus de moutons qu au printemps. Lorsque arrive l automne, il hérite de 13 nouveaux moutons. Il est alors en possession d un troupeau de 193 moutons.on note x le nombre de moutons que M. Bèhè possédait au printemps. a) Exprimer en fonction de x le nombre de moutons du troupeau à l automne. b) Ecrire une égalité exprimant de deux façons différentes le nombre de moutons à l automne. c) Tester l égalité pour différentes valeurs de x dans le but de trouver le nombre de moutons que M. Bèhè possédait au printemps. 1) a) Pour x = 0 : 1 er membre : 3 x 0 4 = -4 2 e membre : x 0 = 5 Les deux membres n ont pas la même valeur, l égalité est fausse pour x = 0. b) Pour x = 9 : 1 er membre : 3 x 9 4 = 23 2 e membre : x 9 = 23 Les deux membres ont la même valeur, l égalité est vraie pour x = 9. 2) a) 3x + 13 b) 3x + 13 = 193 Après de multiples (!) essais, on trouve pour x = 60 : 1 er membre : 3 x = e membre : 193 Les deux membres ont la même valeur, l égalité est vraie pour x = 60. Au printemps, M. Bèhè possédait 60 moutons. 4. Distributivité: a) Exemple d introduction : Un restaurateur a commandé 3 caisses de jus d orange et 5 caisses de jus de raisin. Chaque caisse contient 24 bouteilles de jus. Combien a-t-il commandé de bouteilles en tout? Solution 1 : Nombre de caisses en tout : = 8 Solution 2 : Nombre de bouteilles de jus d orange : 24 x 3 = 72

4 Nombre de bouteilles : 24 x 8 = 192 Nombre de bouteilles de jus de raisin : 24 x 5 = 120 Nombre de bouteilles en tout : = 192 Calcul effectué : 24 x (3 + 5 ) Calcul effectué : = 24 x x x ( ) = 24 x x 5 Je distribue une multiplication par 24, c est la distributivité b) Distribuer la multiplication: Distribuer un produit c'est le transformer en une somme ou une différence. Formules de distributivité: k ( a + b ) = ka + kb k ( a - b ) = ka kb On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction. Voir dans le cahier d'exercices l'activité sur les aires qui a permi d'établir ces formules. Exemple : a) 34 x (14 + 7) = 34 x x 7 b) 12 x (7 + 8) = 12 x x 8 c) (8 + 3) x 7 = 7 x x 3 d) 25 x (84 16) = 25 x x 16 c) Application: calcul mental: «Calculer mentalement 32 x 101! On trouve 3232! Quelle méthode permet d obtenir ce résultat rapidement?» Méthode: 1) Calculer 32 x 101 2) Calculer 32 x 99 1) 32 x 101 = 32 x ( ) = 32 x x 1 on distribue = = ) 32 x 99 = = 32 x (100-1) = 32 x x 1 on distribue = = 3168 Astuces : 1 2

5 101 = = On connaît des règles de calcul mental pour multiplier par = par 100, par 1000, par 2, par 5, etc 12 = = etc d) Factoriser une somme ou une différnce: Factoriser une somme ou une différence c'est la transormer en un produit. On utilise les égalités de distributivité mais cette fois-ci de droite à gauche. ka + kb = k (a+b) ka kb = k (a-b) Application: calcul mental. 1) 131 x x 88 = 131(12+88) = 131 x 100 = ) 37 x 12,27 37 x 2,27 = 37(12,27 2,27) = 37 x 10 = 370

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