Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

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1 Ξ 2 Suites umériques Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou u : c'est le "terme gééral" de la suite. La suite de terme gééral u peut se oter ( u ou ( N voire même parfois, par abus de lagage, u. (cofusio etre ue foctio et ue image u ue représetatio géométrique d ue suite de complexes ue représetatio géométrique d ue suite de réels L'espace C N des suites de complexes est u espace vectoriel sur C pour les opératios usuelles : u v u v λ u = λu ( λ C. ( + ( = ( + et ( ( De même l'espace R N des suites de réels est u espace vectoriel sur R 2/ Sous-suites (suites extraites Soit φ ue applicatio strictemet croissate de N das N. O ote que φ est ijective et que N, φ(. Soit ( u N ue suite de réels. La suite de terme gééral u φ( est appelée ue sous-suite de la suite u. exemples φ( = + 1. La sous-suite est ( 1 N qu'o peut oter ( u N * Ξ 2 - Résumé de cours MPSI Suites umériques page 1

2 3/ Suites borées ( φ( = + k. La sous-suite est ( k φ( = 2+1. La sous-suite ( 2 1 N N φ( = 2. La sous-suite ( u 2 N u est borée N ( M R / N, u M II/ Limites, propriétés asymptotiques 1/ Limite qu'o peut oter ( u k e cotiet que les termes d'idices impairs. e cotiet que les termes d'idices pairs. Il existe ue boule coteat tous les termes de la suite ( u La suite ( u admet a pour limite ( coverge vers a ε > 0, N N tq > N, u a < ε ε > 0, N N tq > N, a ε < u < a + ε Pour tout ε > 0 tous les termes de la suites sot das B( a, ε à partir d'u certai rag. Notatio : u a ou u a ou lim u = a ou lim u = a Vocabulaire : Si ( u admet a pour limite, alors ( Illustratio das le cas des suites réelles (das ce cas (, u est covergete sio elle est divergete B a ε est l itervalle ouvert ] a ε, a ε[ + a - ε a - ε tous les u à partir d'u certai rag u ombre fii de termes u Illustratio das le cas des suites complexes Ξ 2 - Résumé de cours MPSI Suites umériques page 2

3 2/ Exemples Toute suite costate coverge : si u = a, alors u Idem si (u est costate à partir d'u certai rag. a u = 1 ( > 0 : u 0 ( axiome d'archimède Suite géométrique u = r ( r C si r < 1 alors (u coverge vers 0 si r = 1 alors (u coverge vers 1 si r =1 et r 1 alors (u est borée et divergete si r > 1 alors (u est o borée et divergete 4 r = e 5 iπ 5 3/ Propriétés Propriété 1 : u a u 0 a u 0 a e particulier u 0 u 0 Propriété 2 : Si ( u a ue limite alors cette limite est uique Propriété 3 : Si ( u est covergete alors ( Propriété 4 : Si ( u est borée u coverge vers l alors toute sous-suite ( ( u ϕ coverge vers l Propriété 5 : Si ( u 2 et ( u + coverget vers la même limite l alors ( 2 1 Propriété 6 : Si ( u est ue suite de complexes et ( u coverge vers l. u ue suite de réels telles que u v et que v 0 alors u 0 Propriété 7 : u a Re ( u Re( a et Im ( u Im( a ( Remarque : caractère asymptotique de la covergece Pour tout k N,( u coverge vers l si et seulemet si la sous-suite ( k coverge vers l. Coséquece : das toutes les propriétés ci-dessus, il suffit de vérifier l hypothèse «à partir d u certai rag» Ξ 2 - Résumé de cours MPSI Suites umériques page 3

4 4/ Opératios sur les limites Si ( u et ( v sot covergetes alors ( u v et das ce cas lim ( λ v = λ lim ( u + lim ( v λ + est covergete L'esemble C des suites covergetes est u sev de l'espace des suites C C et l'applicatio lim est liéaire. u lim u ( Si ( u et ( v sot covergetes alors (. et das ce cas lim ( u. v = lim ( u. lim ( v u v est covergete lim 0 Si ( u est covergete et si ( u 1 alors est défiie à partir d'u certai rag, u 1 u est covergete et 1 1 lim = u lim ( u III/ Suites de réels 1/ Suites mootoes ( u est croissate N (, p N, p u u p u est croissate N ( N, u u + 1 C.N.S ( Remarque : Pour étudier si ( ( N, ( = défiitio d'ue foctio croissate u est croissate, o peut étudier le sige de u + 1 u. u+ 1 et si N u > 0, o peut aussi étudier u u est strictemet croissate N (, p N, < p u < u p u est strictemet croissate N ( N, u < u + 1 C.N.S ( Défiitios et C.N.S. aalogues avec " décroissate " ( u N remarque ( u N ( est mootoe ( u N est costate ( u N est croissate ou décroissate est croissate et décroissate u est croissate à partir du rag k N (, p N, k p u u p C.N.S ( ( u N ( u k est croissate u est croissate à partir du rag k N ( k, u u + 1 est croissate à partir d'u certai rag Il existe u etier k tel que( u N est croissate à partir du rag k Défiitios et C.N.S. aalogues avec " décroissate " et/ou avec " strictemet ", et avec " mootoe " 2/ Suites borées M est u majorat de ( u ( N N, u M Ξ 2 - Résumé de cours MPSI Suites umériques page 4

5 ( u N est majorée ( M N N, u M N N, ( = défiitio d'ue foctio majorée / Défiitios aalogues avec " miorat " ou " miorée " ( u N remarque : si ( u k est borée ( u N est majorée, alors ( u N idem avec " miorée " ou " borée " 3/ Suites croissates majorées est majorée et miorée est aussi majorée. Théorème Toute suite de réels croissate et majorée coverge. Corollaire : Toute suite de réels décroissate et miorée coverge. Remarques : Si, u M et si u a alors a M Si, u < M et si u a alors o 'a pas forcémet a < M Si u est croissate mais o majorée, alors u + Si u est décroissate mais o miorée, alors u Si u est borée mais o mootoe, u peut e pas coverger ex u = (-1 4/ Suites adjacetes ( u est croissate Soiet u et v deux suites de réels telles que ( v est décroissate ( v u 0 Alors (u et (v coverget et leurs limites sot égales. O dit que (u et (v sot des suites adjacetes. Remarque : Il est souvet commode de démotrer auparavat que, u v, bie que ce soit ue coséquece des 3 propriétés de la défiitio. 5/ Comparaiso des suites Défiitios Soiet u et v deux suites de réels strictemet positifs u u est égligeable devat v 0 v Notatios : u = v ε avec ε 0 u = o(v ( otatio " petit o " de Ladau u << v u u est domiée par v est ue suite borée v Notatio : u = O(v ( otatio " grad O " de Ladau u u est equivalete à v 1 v Notatio : u v Ξ 2 - Résumé de cours MPSI Suites umériques page 5

6 Exemples à reteir l( = o( et α > 0, l( = o( α = o(exp( et α > 0, β > 0, α = o(exp ( β l( 1 + 1/ 1/, si( 1/ 1/ et ta( 1/ 1/ 6/ Extesio de la otio de limite : Limites ifiies défiitios : u + M R, N M N / N M, u > M u M R, N M N / N M, u < M Les règles de calculs sur les limites sot ecore valables, moyeat les covetios: x + (+ = (+ + x = x + (- = (- + x = - (+. (+ = (-. (- = (+ si x > 0, x.(+ = (+ et x.(- = (- si x < 0, x.(+ = (- et x.(- = (+ 1 1 = = 0 + et les exceptios ( formes idétermiées (+ + (- ; 0. (+ ; 0. (- et 1 0 Comparaisos : si u v et si u +, alors v + si u v et si v, alors u v u a u + u u diverge b u + v a + b u + v + u + v u + v diverge v + u + v +?????? v u + v??? v diverge??? u 0 u a u a a > 0 a < 0 u + u u diverge v 0????????? b > 0 u. v u. v u. v u. v diverge a. b + b < 0 u. v u. v + u. v diverge v + u. v u. v??? + v u. v +??? v v v diverge??? Ξ 2 - Résumé de cours MPSI Suites umériques page 6