MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

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1 ODELISTION DES CTIONS ECNIQUES I. CTION ECNIQUE. Définition : On appelle action mécanique tout phénomène susceptible de déplacer ou de déformer un solide. Principe des actions réciproques : Toute action mécanique implique l existence simultanée d une action réciproque opposée. Dans l exemple, la main exerce une action sur le chariot et le chariot exerce une action sur la main. II. ORCE. On appelle une force une action mécanique exercée entre 2 particules. En pratique, une action mécanique peut être représentée par une force si elle s exerce sur une petite surface. Une force est caractérisé par : Elle est modélisable par un vecteur. Exemple : Son point d application Sa direction Son sens Sa valeur (sa norme) 1/24

2 III. OENT D UNE ORCE. Exemple : On exerce sur une clef une action mécanique équivalente à une force, appliquée au point, représenté par le vecteur ( m c) Cette force va faire tourner la vis et la serrer. On dit que la force exercée au point crée un moment par rapport au point B. Ce moment dépend : de la norme de la force de la distance B (appelée «bras de levier») On parle parfois (à tord) d un «couple», dans le cas d une clef, on parle de «couple de serrage». Ce moment : S exerce sur un axe (dans l exemple : l axe de rotation de la vis). un sens (serrage ou desserrage) une valeur, donnée par se norme 2/24

3 Représentation d un moment : Dans l espace Dans le plan oment d une force par rapport à un point. On appelle moment par rapport au point B de la force appliquée en le vecteur d origine B tel que : ( B) Ce moment s exprime en Newton mètre (N.m) Remarques : B 1. Si le point d application de de la force se déplace sur le support Δ de celle-ci, le moment ne change pas. 3/24

4 2. Le vecteur moment est perpendiculaire au plan définit par : Le vecteur force Le point B (point de calcul du moment). 3. La norme du moment vaut : C'est-à-dire : ( B). B.sin. B' oment orce*" Bras de levier" Cette relation très pratique et très souvent utilisée. 4. Son sens est tel que le trièdre B,, ( B) est direct. C est la règle du «tir bouchon», le vecteur moment va dans le même sens qu un tire bouchon sur lequel on exerce la force. 5. Le moment est nul : si la force est nulle si son support Δ passe par le point B. oment d une force par rapport à un axe. On appelle moment d une force par rapport à un axe ( O, i ) la composante suivant i du moment de par rapport à un point quelconque de l axe ( O, i ). Pour faire simple : on calcule le moment par rapport à un point de l axe, puis on projette ou on lit la coordonnée qui se trouve sur l axe en question. Exemple 1 : Pédalier L action du pied sur la pédale est représenté en par une force /24

5 Objectif : Calculer le moment par rapport à l axe (, x) position représentée avec,1,5,2 crée par la force dans la (en mètre). Première méthode : Utilisation du produit vectoriel oment au point de la force appliquée en : ( ) oment par rapport à l axe ),1,5 1 1,5, , (, x : (, x) 1,5. x Deuxième méthode : Utilisation de la notion «oment = orce * Bras de levier». On cherche le moment par rapport à l axe (, x) créé par la force. On représente ce qui se passe sur le plan perpendiculaire à l axe (, x) z y (, x) (, x) (, x) On décompose la force z On utilise : «oment = orce * Bras de levier». y. (, x) (, x) (, x) ( z * ' y * ''). x z y 5/24

6 (, x) ( 1*,5 5*,2). x 1,5. x La force exerce un moment de 1,5 N. m autour de l axe de rotation du pédalier Exemple 2 : Pédalier dans une autre position,1 Le pédalier se trouve maintenant à la position,18, force exercée,1 5 1 Question : Calculer le moment par rapport à l axe (, x) nouvelle position. crée par la force dans la Première méthode : Utilisation du produit vectoriel oment au point de la force appliquée en : ( ) oment par rapport à l axe ),1 1,8 5 48,2, , (, x : (, x) 48,2. x Deuxième méthode : Utilisation de la notion «oment = orce * Bras de levier». Schéma : 6/24

7 (, x) I. ODELISTION D UNE CTION ECNIQUE QUELCONQUE. Rappel : Une force seule représente une action mécanique particulière, équivalente à une action «ponctuelle». Une action mécanique quelconque est en fait le résultat d une infinité de forces s exerçant sur une surface (actions de contact) ou un volume (action à distance). Une action mécanique quelconque peut être représentée en un point à condition d utiliser deux vecteurs : Un vecteur force : Un vecteur moment : La résultante des forces constituant l action mécanique. Le moment résultant en ce point des forces Exemple 1 : ction de la main sur un tournevis 7/24

8 Rm t : Effort «d appui» () mt : Effort «en rotation» Exemple 2 : ction de la main sur une clef à bougie Seul le moment subsiste car les deux forces s annulent. Exemple 3 : ction d une courroie sur une poulie Rm t mt : orce due à la tension de la courroie () : Effort d entrainement en rotation de la courroie 8/24

9 Exemple 4 : ction du vent sur une hélice d éolienne Rv h : Effort de «poussée» du vent mt () Effort d entrainement en rotation : Exemple 5 : Exemple 6 : ction de la pesanteur sur un solide ction de la «poussée d rchimède» G : centre de gravité Le moment est nul en G. P : centre de poussée Le moment est nul en P. 9/24

10 . TORSEUR D CTION ECNIQUE. On peut représenter une action mécanique en un point par 2 vecteurs : C est ce que l on appelle le torseur d action mécanique. ( ) ( 1 2 Torseur représentant l action de 1 (solide, liquide ou gaz) sur un solide 2. ) une force un moment. : ( ) : oment du torseur, vecteur dépendant du point d application. Résultante du torseur, vecteur indépendant du point d application. utre notation : 1 2 ( ) X Y Z L N dans ( x, y, z ) 1. CHNGEENT DE POINT D UN TORSEUR Pour exprimer le moment et donc le torseur en un autre point, on utilise la relation : ( B 2 B) ( ) 1 ( B) B 2. SOE DE 2 TORSEURS Torseur représentant l action de 1 et de 2 sur un solide Torseur représentant les actions de 1 et 2 sur le solide 3. Les torseurs doivent être exprimés au même point. 1/24

11 3. TORSEURS PRTICULIERS Torseur GLISSEUR (ou glisseur) Un glisseur est un torseur dont le moment est nul en au moins un point. ( ) 1 2 Le moment sera nul en tout point du support de la résultante. Pour simplifier, on appelle souvent un glisseur une force (qu on peut faire glisser le long de son support). Torseur COUPLE (ou couple) Un couple est un torseur dont la résultante est nulle. ( ) 1 2 ( ) La somme des résultantes est nulle, mais pas le moment qu elles créent en un point. Ce torseur a les mêmes éléments de réduction en tout point. 4. ODELISTION DE L CTION DE L PESNTEUR Il s agit d un ensemble de forces s exerçant à distance sur chaque particule d un solide. Elle est équivalente à une force verticale appliquée au centre de gravité G. P m. g. z P : poids en Newton (N) m : masse en Kilogramme (Kg) g : accélération de la pesanteur (m/s 2 ) 11/24

12 2 Sous forme de torseur : P ( ) G 1 G 5. ODELISTION DE L CTION D UN LUIDE Exemple : ction d un fluide de pression uniforme sur un piston de vérin ou de pompe. L action du fluide est modélisable : fluide paroi R f p p* S R f p par un glisseur (une force) de direction perpendiculaire à la paroi s appliquant au centre de la surface. C " orce pression * Surface" /24

13 6. ODELISTION D UNE CTION DISTNCE. Exemple de l action de la pesanteur sur un solide homogène. Soit un solide S, de volume, placé dans le champ de pesanteur tel que g : ccélération de la pesanteur. g g. z a) odèle local. u point, la pesanteur exerce sur le volume élémentaire dv une force élémentaire : d. g. dv. z : masse volumique du matériau (Kg/m 3 ). Pour un matériau homogène, cte u point, l action élémentaire est modélisée par un torseur glisseur : d d d ( ) d On peut exprimer ce torseur au point : d ( ) d ( ) d d d d d ( ) d d b) odèle global. poids S d ( ). g. dv. z. g. z. dv. g. z. vec : inalement : m. masse en Kg m. g. z 13/24

14 ( ) d ( ) d. g. dv. z. g. Remarque : inalement : ( G) poids S Remarque 1. Soit G le centre de gravité de (S), on a S G. dm. dv z dm.dv si cte G. dv, alors. ( G) G ( ) ( G) m. g. z G Remarque 2. Pour trouver le centre de gravité G, on a. dv G G ( cte ( GO O ). dv OG. dv O. dv, ) 1 OG dv O. dv OG inalement : O. dv 7. ODELISTION D UNE CTION DE CONTCT. (sans frottement). a) odèle local. d p. ds. n d ( ) d ( ) d d d p : pression de contact (densité surfacique de force). ds : surface élémentaire. n : normale à la surface. b) odèle global. S d ( ) d ( ) S 14/24

15 15/24 I. CTION ECNIQUE TRNSISSIBLE PR LES LIISONS PRITES Remarque : on va étudier quelques liaisons puis fournir un tableau récapitulatif. Liaison pivot glissant : Schématisation dans le plan et dans l espace : Torseur cinématique : y y z z y y x x v v v v 2 /1) ( (2 /1) /1 2 Remarque : Les composantes non nulles du torseur cinématique indiquent les mobilités. Torseur d action mécanique transmissible entre les 2 solides par la liaison pivot glissant : N Z L X N Z Y L X ) ( 2 1 Liaison pivot : Torseur cinématique : y 2 /1) ( (2 /1) /1 2

16 Torseur d action mécanique transmissible entre les 2 solides par la liaison pivot : 1 2 ( ) X Y Z L N X Y Z L N Liaison glissière : 2 /1 Torseur cinématique : (2 /1) ( 2 /1) y Torseur d action mécanique transmissible entre les 2 solides par la liaison pivot : 1 2 ( ) X Y Z L N X Z L N Liaison hélicoïdale : 2 /1 y v y quand on tourne d un tour, on avance du pas p v y p y 2.. v y mm/s, p en mm 2 1 vec X Y Z p Y 2.. L N y en rad/s 16/24

17 17/24 II. ODELISTION DES LIISONS DNS LE PLN Lorsque le problème est plan, on s intéresse aux composantes de la résultante dans le plan et à la composante du moment perpendiculaire au plan. Exemples dans le plan ),, ( y x O Liaison glissière Torseur statique : N Z Y L X R ) ( 1 2 N Y _ 1 2 Liaison pivot Torseur statique : Y X _ 1 2 On peut assimiler ce torseur à un glisseur car le moment est nul (la composante du moment qui nous intéresse) Liaison ponctuelle (sans frottement) Torseur statique : Y _ 1 2 On peut assimiler ce torseur à un glisseur

18 PRINCIPE ONDENTL DE L STTIQUE But : On cherche à définir et à calculer les actions mécaniques appliquées sur un système matériel. I. DEINITIONS. Exemple : La figure représente le schéma cinématique d une ponceuse électro-portative. Elle est animée par un moteur électrique dont le rotor entraîne en rotation l arbre (2). La rotation continue du moteur est transformée en rotation alternative de faible débattement du solide (4). Système isolé (ou ensemble isolé) : On isole un système en définissant les éléments qui le composent. Dans l exemple : On peut isoler l ensemble formé par les solides 2, 3 et 4. Efforts extérieurs : Ce sont les efforts exercés sur le système isolé par son environnement. Dans l exemple : action de la pesanteur (négligé), action du bâti 1 sur 2 (pivot au point K), action du bâti 1 sur 4 (pivot au point C) action du moteur sur le solide 2, action de la pièce à poncer sur le solide 4. Efforts intérieurs : Ce sont les efforts exercés entre les éléments du système isolé. Dans l exemple : ction de 2 sur 3, action de 3 sur 4. 18/24

19 Remarque : Le graphe de structure permet de visualiser les efforts. Ce graphe est aussi appelé le graphe des actions mécaniques. II. PRINCIPE ONDENTL DE L STTIQUE (PS). Si un ensemble de solide (E) est en équilibre dans un référentiel galiléen, alors le torseur de la somme des efforts extérieurs exercés sur (E) est nul. E E ( ) S1 S2 S2 S1 Remarque : (actions réciproques) III. STTIQUE GRPHIQUE PLNE. La statique graphique était très utilisée avant que n apparaissent les moyens de calcul modernes. Elle reste cependant un outil pédagogique très important car elle permet de visualiser les problèmes. Remarques : La statique graphique permet de résoudre uniquement des problèmes plans. On manipule uniquement des glisseurs (torseur glisseur) Rappel : Un glisseur (torseur glisseur) est torseur pour lequel il existe un point ou le moment est nul. Exemples de glisseurs : ction de la pesanteur (moment nul au centre de gravité du solide). ction ponctuelle (moment nul au point de contact). Cas particuliers d équilibre. 19/24

20 1. Solide soumis à l action de 2 glisseurs (2 forces). Exemple : Equilibre d un vérin de la plateforme 6 axes Remarque 1 : On néglige la pesanteur. Remarque 2 : Ces 2 actions sont des forces (glisseurs) B ( ) On applique le PS dans le plan : Equation des résultantes : les 2 forces sont opposées Equation des moments : ( ) B B B sur B (idem pour ) B Conclusion : Si un solide (ou ensemble de solide) est en équilibre soumis à l action de 2 forces, ces 2 forces sont égales et directement opposées. 2. Solide soumis à l action de 3 glisseurs (3 forces). Exemple : Equilibre d un vérin de la plateforme 6 axes Remarque : On ne néglige plus la pesanteur. B G ( ) B ( ) G ( ) On montre ainsi que les trois supports sont coplanaires et concourants ou parallèles. La somme vectorielle des forces est nulle. Conclusion : Si un solide (ou ensemble de solide) est en équilibre soumis à l action de 3 forces, ces 3 forces sont coplanaires, courantes en un point unique ou parallèles. Remarque : connaissant les 3 points d application, 2 directions et une norme, on peut tout déterminer. 2/24

21 Exemple : Pince de robot On veut déterminer la pression nécessaire afin d exercer sur la pièce à serrer en I une force verticale (représentée par 2 mm). On isole (4) : Solide soumis à l action de 2 forces Ces 2 forces sont égales et directement opposées. 45 est sur la droite (DC). On isole (5) : Solide soumis à l action de 3 forces, en I, B et C. On connaît 2 directions (celles de 45 et P5 ) et une norme P5. Les 3 forces sont courantes en un point unique. On en déduit la direction de 35 On construit le triangle des forces. On en déduit la norme de 35 /24

22 Démarche pour terminer la résolution du problème : On isole (2), solide soumis à l action de 2 forces, ces 2 forces sont égales et directement opposées. On isole (3), solide soumis à l action de 3 forces, en E, B et H, on connaît 2 directions et une norme, on peut tout déterminer. On isole (1), l équation des résultantes sur l axe x donne l effort à exercer par la pression. 22/24

23 LES LOIS DE COULOB Soit deux solides S1 et S2 en contact sur une surface S. odèle local : Pour chaque point de la surface (S), on définit une surface élémentaire ds. L action mécanique élémentaire de S1 sur S2 s exerçant sur ds au point a pour expression : d d 1 2 f ( ). ds. u f ( ) : répartition surfacique d effort (N/m 2 ). Soit π le plan tangent commum à S1 et S2 au point. d dn dt dn. n dt. t dn : effort normal, perpendiculaire au plan π dt : effort tangentiel, appartenant au plan π Problème posé : Quel est la répartition entre dt et dn? Lois de Coulomb. On distingue deux cas : vitesse de glissement nulle ou non nulle. Premier cas : vitesse de glissement nulle. Rappels : d d d dn dt dn. n dt On a dt f. dn f : coefficient d adhérence. f tan : angle d adhérence. d est dans le cône d adhérence : 23/24

24 Deuxième cas : vitesse de glissement non nulle. On a dt f. dn f : coefficient de frottement. f tan : angle de frottement. d est sur le cône de frottement. dt est opposé à la vitesse de glissement. Les coefficients de frottement et d adhérence sont déterminés expérimentalement. Ils dépendent de nombreux paramètres tels que : les matériaux en présence; les états de surface des différentes pièces; la présence d autres corps (eau, huile, ); la température au niveau des surfaces en contact qui peut favoriser des microsoudures ou la rupture du film d huile si le contact est lubrifié; la vitesse de glissement Dans le tableau suivant, des valeurs de coefficients de frottement et d adhérence sont proposées pour différents couples de matériaux : atériaux en présence Coefficient d adhérence f Coefficient de frottement f cier/acier,15 à,25,1 à,2 cier/fonte, à,2,8 à,15 cier/bronze,15 à,2, à,2 cier/pte,8 à,15,2 à,8 cier/ferrodo,3 à,4,25 à,35 Pneumatique/route,6 à 1,2,3 à,6 24/24