Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1

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1 Séries umériques Défiitios et premières propriétés. Défiitios Défiitio (Série umérique) Soit () N ue suite complexe. Pour tout N o pose : U = ( ème somme partielle). La suite (U ) N est alors appelée la série de terme gééral et otée. u k Explicatio Avec cette défiitio, ue série est jamais qu ue suite. Du coup, avec les otatios précédetes, dire que la série coverge (resp. diverge) reviet simplemet à dire que la suite des sommes partielles (U ) N coverge (resp. diverge), et la ature de la série est sa covergece ou divergece. Seulemet voilà, si les séries e sot que des suites, pourquoi faire ue théorie des séries? La théorie des suites est-elle pas suffisate? La répose est o. La grade questio de la théorie des suites est : à quelle coditio la suite () N est-elle covergete? La grade questio de la théorie des séries est quat à elle : à quelle coditio sur la suite () N la série est-elle covergete? Cette questio appelle des résultats spécifiques qui sot l objet du chapitre. Défiitio (Somme d ue série) Soit () N ue suite complexe. Si la série coverge, sa limite est otée et appelée la somme de la série. Remarque Comme das le cas des suites, les premiers termes d ue série ot pas d ifluece sur sa ature (covergece ou divergece). Ils affectet e revache la valeur de sa somme lorsqu elle est covergete. Théorème (Série géométrique) Soit q C. La série q, dite série géométrique de raiso q, est covergete si et seulemet si q <. Das ce cas : q = q. Démostratio Pour tout N : q k = Le résultat découle de os coaissaces sur les limites des suites géométriques. q + q si q ; + si q =. Exemple Soit α R. La série, qu o appelle ue série de Riema, est covergete si α et divergete si α 0. α Mais que se passe-t-il si α ]0, [? U peu de patiece... E effet Pour tout N, posos U = k. α Supposos α. La suite (U ) N est croissate car U + U = ( + ) 0 pour tout α N. Pour motrer qu elle coverge, i.e. que coverge, il ous reste à motrer que (U) α N est majorée. Or pour α tout : U = + + k α k + k(k ) = + ( k ) ( = + ). k k= Supposos α 0. Pour tout N : k= α0 U de mioratio motre alors que lim U =. Comme voulu, α diverge. k= k= = + et par ailleurs lim (+) =. Le théorème

2 . Divergece grossière Théorème (Coditio écessaire de covergece d ue série) Soit () N ue suite complexe. Si coverge, alors lim u = 0. Démostratio Pour tout N, posos U = désige la somme de cette série : u k et faisos l hypothèse que coverge. Alors si S = U U S S = 0. Défiitio (Divergece grossière) Soit () N ue suite complexe. O dit que la série diverge grossièremet si lim u 0. Si diverge grossièremet, alors diverge (tout court). E pratique Quad o vous demade de détermier la ature d ue série, commecez tout de suite par vous demader si oui oo lim u = 0. Si la répose est o, c est termié : diverge (grossièremet). Si la répose est oui, vous e pouvez rie e déduire. Attetio! La réciproque de l implicatio «coverge = lim u = 0» est fausse e gééral : il e suffit pas de motrer que lim u = 0 pour motrer que coverge. Croire le cotraire, c est avouer qu o a absolumet rie compris à la théorie des séries, car la théorie des séries a de pertiece qu à partir du momet où l o e peut se coteter de la seule théorie des suites. E résumé : ue somme ifiie de quatités qui tedet vers 0 peut e pas coverger. Exemple La série de Riema, dite série harmoique, diverge. Et pourtat lim = 0. E effet (Preuve ) Raisoos par l absurde e supposat la série covergete de somme S. Alors : k=+ k = k k Pourtat pour tout N : k=+ S S = 0. k k=+ () ( + ) + = =. Cotradictio! E effet (Preuve ) La foctio x l( + x) état cocave sur ], [, so graphe est situé sous sa tagete e 0 d équatio y = x. Il e découle que pour tout x ], [ : l( + x) x. Du coup, pour tout N : k ( l + ) ( ) = l(k + ) lk = l( + ). Or lim l( + ) =. Le théorème k de mioratio motre alors que lim k =, doc comme voulu que diverge..3 Lie suite-série Théorème (Lie suite-série) Soit (a ) N ue suite complexe. Alors la suite (a ) N coverge si et seulemet si la série (a+ a ) coverge. Démostratio Pour tout N, par simplificatio télescopique : (a k+ a k ) = a a 0. Il e découle que le terme de gauche possède ue limite fiie lorsque ted vers si et seulemet si le terme de droite fait de même. Explicatio Grâce à ce théorème, o peut étudier ue suite e se servat des techiques spécifiques de la théorie des séries, ou au cotraire étudier ue série au moye des techiques de la théorie des suites.

3 Exemple La série ( l + ) diverge. E effet La suite (l) N diverge, doc la série ( ) l( + ) l égalemet..4 Opératios sur les séries Théorème (Opératios sur les séries) Soiet () N et (v ) N deux suites complexes. Pour tout λ C, coverge si et seulemet si (λ) coverge. Si et v coverget, alors ( + v ) coverge. Si coverge mais v diverge, alors ( + v ) diverge. Démostratio suites. Rie à prouver : ous coaissos ce résultat pour les suites et justemet les séries sot des Attetio! Si et v diverget toutes les deux, o e peut rie dire e gééral de ( + v ). Par exemple diverge et + = diverge aussi, mais = 0 coverge. Si et v coverget, o e peut rie dire e gééral de v. Nous verros plus tard que ( ) mais ( ) ( ) = diverge. coverge, Séries umériques à termes positifs O étudie à préset les séries dot le terme gééral est positif sous-etedu : oul. Ce qui est vrai de ces séries serait e fait des séries dot le terme gééral est égatif (oul). L essetiel est doc, das cette sectio, que le sige du terme gééral soit costat. Attetio! Quad vous utilisez l u des théorèmes de cette sectio, oubliez surtout pas de vérifier et metioer la positivité des suites étudiées. Hypothèse importate!. Théorème fodametal Théorème (Théorème fodametal) Soit () N ue suite réelle positive. O pose, pour tout N : U = La suite (U ) N est croissate et possède doc ue limite. La série coverge si et seulemet si la suite (U ) N est majorée. u k. Démostratio La suite (U ) N est croissate car U + U = + 0 pour tout N. Le reste est qu ue réécriture du théorème de la limite mootoe das le cas croissat. Explicatio Quad o étudie ue série à termes positifs, ce théorème ramèe tout problème de covergece à u problème de majoratio. La questio est pas das ce cas : «La limite existe-t-elle?» mais : «Est-elle fiie?». 3

4 . Critère de codesatio Théorème (Critère de codesatio) Soit () N ue suite réelle positive décroissate. Alors et u ot même ature. Démostratio Pour tout N : terme termes 4 termes 8 termes {}}{{}}{{}}{{}}{ termes {}}{ u k = (u ) + (u + u 3) + (u 4 + u 5 + u 6 + u 7) + (u u 5) (u u ) = Or () N est décroissate doc u k + k u k +i u k pour tous k N et i 0, k. Du coup k u k + k k u k +i k k u k = k u k+ = k u k + k = u k pour tout N, et doc : k u k +i u k k k u k = k u k. u k +i. Les séries et u sot à termes positifs, doc e vertu du théorème fodametal, elles coverget si et seulemet si elles sot majorées. Si la série est majorée, disos par M, alors doc est majorée. Si la série est majorée, disos par M, alors N, doc est majorée. k u k u k M pour tout N, u k u k k u k pour tout Les séries et u sot fialemet bie de même ature. Explicatio La preuve précédete repose sur l idée que pour sommer tous les, décrivat N, o peut les sommer de maière codesée par paquets de tailles,, 4,8... Il se trouve alors, grâce à l hypothèse de décroissace, que le paquet «u + u + + u u +» de termes compte autat que la quatité «u». Théorème (Série de Riema) Soit α R. La série, qu o appelle ue série de Riema, coverge si et seulemet α si α >. Démostratio Nous avos déjà traité le cas α 0. Supposos doc α > 0. La suite est alors α N positive et décroissate. E vertu du critère de codesatio, les séries et α ( ) = ( α ) ot α doc même ature. Or la série ( α ) est géométrique et coverge si et seulemet si α <, i.e. α >. C est le résultat voulu..3 Comparaiso au moye d iégalités Théorème (Comparaiso au moye d iégalités) Soiet () N et (v ) N deux suites réelles positives. O suppose v à partir d u certai rag. (i) Si v coverge, alors coverge aussi. (ii) Si diverge, alors v diverge aussi. 4

5 Démostratio Notos N u rag à partir duquel v et posos : U = u k et V = tout N. Alors pour tout N : U U N = u k k=n+ k=n+ v k = V V N (iégalité ). v k pour (i) O suppose v covergete. Alors (V ) N est majorée doc (U ) N aussi e vertu d. Comme voulu u coverge. (ii) O suppose divergete. Alors lim U = doc lim V = e vertu d et du théorème de mioratio. Comme voulu v diverge. Exemple La série est covergete. ( + si ) E effet Pour tout N : 0 ( + si ). E particulier est ue série à termes ( + si ) positifs et comme ous savos que coverge, il e est de même de cette série..4 Comparaiso au moye de grads O Théorème (Comparaiso au moye de grads O) Soiet () N et (v ) N deux suites réelles positives. O suppose = O(v ) c est vrai e particulier si = o(v ). (i) Si v coverge, alors coverge aussi. (ii) Si diverge, alors v diverge aussi. Exemple Démostratio Puisque = O(v ), il existe u rag N et u u réel K > 0 tels que pour tout N : K v, i.e. ici Kv. La coclusio découle alors aussitôt du théorème de comparaiso au moye d iégalités. La série E effet 3 coverge. Pour commecer la suite ( ) 3 N est positive et par ailleurs série de Riema coverge ( > ), cela motre bie que 3 = O. Comme la coverge aussi. 3 Théorème (Série de Bertrad) Soiet α, β R. La série, qu o appelle ue série de Bertrad, coverge si α (l) β et seulemet si : soit α > ; soit α = et β >. Démostratio Si α >, posos γ = α + γ >. Alors α (l) = 0 car α > 0. Aisi β α (l ) β γ = O. Or la série de Riema α (l) β γ coverge car γ >. Par ailleurs la série γ α (l ) β est à termes positifs. Cette série est doc covergete par comparaiso. Si α <, posos γ = α + <. Alors α (l) β = α γ (l ) β 0 car α < 0. Aisi γ = O. Or la série de Riema γ α (l) β diverge car γ <. Par ailleurs la série γ α (l) β est à termes positifs. Cette série est doc divergete par comparaiso. (l ) β Si α = et β < 0, lim = 0 doc = O. Or la série harmoique diverge et (l ) β est à termes positifs, doc cette série diverge. (l ) β 5

6 Supposos efi que α = et β 0. Das ces coditios la suite (l ) β est positive et décroissate. Le critère de codesatio ous permet d e déduire que les séries (l ) β et ( l( ) ) β ot même ature. E d autres termes, les séries (l ) et ot même ature. Nous savos qu elles β β coverget si et seulemet si β >. C est justemet le résultat souhaité..5 Comparaiso au moye d équivalets Théorème (Comparaiso au moye d équivalets) Soiet () N et (v ) N deux suites réelles positives. O suppose v. Alors et v ot même ature. Démostratio Puisque v, o a aussi = O(v ) et v = O(u ). Utiliser alors le théorème de comparaiso au moye de grads O. Exemple La série ( + ) coverge. E effet Cette série est à termes positifs et (3 > ), c est aussi le cas de ( + ). ( + ). Comme la série de Riema 3 coverge 3 Exemple Il existe u réel γ, appelé la costate d Euler, tel que : E effet Posos, pour tout N : a = k = l + γ + o(). k l. Nous souhaitos prouver que la suite (a) N coverge. E vertu du lie suite-série, il ous suffit pour cela de motrer que la série (a + a ) coverge. C est ce que ous allos faire. Pour tout N : ( + ) ( ) a + a = l( + ) k k l = ( l( + ) + l = l ) ( ) ( + ). Ceci prouve pour commecer que la série (a + a ) est à termes égatifs à partir d u certai rag e fait dès le rag. Mais par ailleurs la série de Riema coverge ( > ) doc par comparaiso (a + a ) aussi. Comme voulu (a ) N coverge, et si ous otos γ sa limite c est termié..6 Règle de d Alembert Théorème (Règle de d Alembert) Soit () N ue suite réelle strictemet positive. + (i) Si lim <, la série coverge. + (ii) Si lim >, la série diverge. Attetio! Rie e garatit e gééral que la limite lim + dit rie si lim + =. Ce cas limite est appelé souvet le cas douteux de la règle de d Alembert. 6 existe. Par ailleurs la règle de d Alembert e ous

7 + Démostratio Supposat que lim existe, otos l cette limite. La preuve qui suit cosiste à comparer la série à ue série géométrique dot ous maîtrisos parfaitemet la ature. (i) Supposos d abord l < et posos ε = l. Alors ε > 0 et 0 l + ε <. Par défiitio de l, il existe doc u rag N à partir duquel + u+ l ε. E particulier, à partir de ce rag, 0 l + ε. Das ces coditios, pour tout N + : K = ( UN e déped pas de. Coclusio : u = (l + ε) O (l + ε) ). N u k+ = (l + ε) N, doc 0 K(l + ε) où u N u k k=n Comme 0 l + ε <, la série géométrique (l + ε) coverge, et doc la série à termes positifs aussi par comparaiso. (ii) Supposos maiteat l > et posos ε = l. Alors ε > 0 et l ε >. Par défiitio de l, il existe doc u rag N à partir duquel + u+ l ε. E particulier, à partir de ce rag, l ε. u k+ Das ces coditios, pour tout N + : = (l ε) N, doc K(l ε) où u N u k k=n K = UN (l ε) e déped pas de. Coclusio : (l N ε) = O(u ). Comme l ε >, la série géométrique (l ε) diverge, et doc la série à termes positifs aussi par comparaiso. + E pratique Le calcul de lim est plus facile à faire si la suite (u ) N est défiie à l aide de produits et de quotiets. O peut otammet espérer des simplificatios aumérateur et au déomiateur das ce cas. Exemple La série 4 3 coverge. E effet Cette série est à termes positifs et par ailleurs : ( + ) = 3 ( + ) 4 3 où 3 <. 3 Covergece absolue et séries alterées 3. Covergece absolue Défiitio (Covergece absolue) Soit () N ue suite complexe. O dit que la série est absolumet covergete ou qu elle coverge absolumet si la série coverge. Exemple La série ( ) est absolumet covergete car la série de Riema coverge ( > ). Bie sûr, tout le mode s iterroge : ue série absolumet covergete est-elle covergete? La répose est oui. Pour le prouver, itroduisos quelques otatios. Défiitio (Parties positive et égative d u réel) Soit x R. { } { } O pose x + = max x,0 et x = max x,0. Le réel x + est appelé la partie positive de x et x est appelé sa partie égative. x = x + + x et x = x + x. 7

8 Explicatio réel est... positive! Les graphes suivats illustret avatageusemet cette défiitio. Notez bie que la partie égative d u y = x + y = x y = x = x + + x y = x = x + x Théorème (La covergece absolue implique la covergece) Soit () N ue suite complexe. Si coverge absolumet, elle coverge (tout court). E pratique Pourquoi ce théorème est-il itéressat? Il ramèe das de ombreux cas l étude de la ature d ue série quelcoque à l étude de la ature d ue série à termes positifs pour laquelle ous avos tout u tas de théorèmes de comparaiso. Quad vous étudiez la ature d ue série quelcoque, commecez doc par vous demader si elle coverge absolumet. Démostratio découlera. Nous allos d abord traiter le cas des suites réelles ; le cas des suites complexes e gééral e Supposos d abord que () N est ue suite réelle et que coverge. Comme 0 u + et 0 u pour tout N, le théorème de comparaiso au moye d iégalités motre que u + et u coverget toutes les deux. Par différece, = (u + u ) coverge comme voulu. Cas gééral : () N est à préset ue suite complexe et coverge. Comme 0 Re() et 0 Im(u ) pour tout N, le théorème de comparaiso au moye d iégalités motre que Re(u ) et Im(u ) coverget toutes les deux. A fortiori, e vertu du premier poit, Re() et Im() coverget égalemet. Par somme efi, = ) (Re() + i Im() coverge comme voulu. Exemple La série z coverge (absolumet) pour tout z C. O défiit gééralemet la foctio expoetielle comme la somme de cette série, de sorte que pour tout z C : e z z =. Nous compredros mieux la raiso de cela à la fi du chapitre. Remarquez bie que ous sommes ici e trai de parler d ue défiitio de l expoetielle sur C défiitio uique! Quad ous avos défii l expoetielle complexe e début d aée, ( otre défiitio supposait ) coues l expoetielle réelle et les foctios sius et cosius, via la formule : z C, e z = e Re(z) cos Im(z)+isi Im(z). Au cotraire, quad o défiit l expoetielle complexe comme la somme d ue série, ce sot l expoetielle réelle et les foctios sius et cosius qui s e déduiset. E effet Soit z C. Si z = 0, la covergece de z est évidete. Supposos doc z 0. La série z est alors à termes strictemet positifs et par ailleurs : z + ( + )! z = z + La règle de d Alembert motre doc que z coverge. A fortiori z coverge absolumet, doc coverge (tout court). Exemple La série ( ) + coverge. E effet Pour obteir cette covergece, il ous suffit d établir la covergece absolue de ( ) +, i.e. la covergece (tout court) de +. Or cette série à termes positifs est covergete car + pour tout N et car la série de Riema coverge ( > ). 8

9 Attetio! La réciproque du théorème précédet est fausse! Ue série peut coverger sas être absolumet covergete. Nous verros des exemples de telles séries das le paragraphe suivat. E attedat, ous pouvos au mois doer ue défiitio. Défiitio (Semi-covergece) Soit () N ue suite complexe. O dit que la série est semi-covergete si elle est covergete mais pas absolumet covergete. 3. Séries alterées Défiitio (Séries alterées) O appelle série alterée toute série ( ) a où (a ) N est ue suite réelle positive. Exemple Les séries ( ), ( ) e + et ( ) + sot alterées. Théorème (Théorème des séries alterées) Soit (a ) N ue suite réelle positive décroissate de limite ulle. Alors la série alterée ( ) a coverge. Attetio! L hypothèse de décroissace est pas là pour décorer! Démostratio Posos, pour tout N : S = ( ) k a k. Nous allos motrer que les suites (S ) N et (S +) N sot adjacetes. Cela motrera qu elles sot covergetes de même limite e vertu du théorème des suites extraites, et doc que la suite (S ) N coverge d après le théorème des suites extraites. Comme voulu o aura prouvé la covergece de ( ) a. Par hypothèse : S + S = ( ) + a + = a + 0. Esuite la suite (S ) N est décroissate car pour tout N : S (+) S = ( ) + a + + ( ) + a + = a + a + 0, la suite (a ) N état décroissate. Pour ue raiso aalogue la suite (S +) N est croissate. Théorème (Série de Riema alterée) Soit α R. La série ( ), qu o appelle ue série de Riema alterée, coverge si et seulemet si α > 0. α Explicatio Pour α ]0, ], la série ( ) α est semi-covergete : elle coverge, mais pas absolumet. Démostratio Si α 0, la série ( ) diverge (grossièremet). Si au cotraire α > 0, la suite positive α est décroissate de limite ulle, doc ( ) coverge d après le théorème des séries alterées. α α N E pratique Il e faut pas toujours vouloir à tout prix appliquer le théorème des séries alterées directemet. U mélage de techiques est souvet préférable. Etudiez attetivemet l exemple qui suit. Exemple La série ( ) si ( ) coverge. ( ) E effet La mootoie de la suite positive si ( ) e semble pas simple à étudier. Le N théorème des séries alterées e ous sera doc pas utile directemet. Commeços par effectuer u développemet limité o rappelle que + u = u + o(u) = + O(u). u 0 u 0 ( ) si ( ) = ( ) si ( ) ( ) = 3 4 [ ] + O ( ) = + O

10 Itérêt de cette méthode à base de développemet limité : le problème iitial compliqué est décomposé e sousproblèmes élémetaires. La série de Riema alterée ( ) coverge ( 3 > 0) et la série de Riema aussi ( 5 > ), doc par somme, grâce au théorème de comparaiso au moye de grads O, la série ( ) si ( ) coverge. 4 Récapitulatif des preuves de covergece E pratique Le schéma ci-dessous rassemble et ordoe les résultats de covergece établis das ce chapitre. Comme souvet e mathématiques, les méthodes qui e sot issues e permettet pas de coclure das tous les cas. Il e demeure pas mois que ce schéma mérite u sérieux coup d œil. lim u 0 (divergece grossière) lim u = 0 a u sige costat Techiques de comparaiso u coverge a pas u sige absolumet costat u est alterée (théorème 5 Produit de Cauchy des séries alterées) Défiitio (Produit de Cauchy) Soiet () N et (v ) N deux suites complexes. O appelle produit de Cauchy des séries u et v la série de terme gééral u pv q = u k v k. 0p,q p+q= Théorème (Covergece absolue d u produit de Cauchy) Soiet () N et (v ) N deux suites complexes. O pose, pour tout N : p = u k v k. Si et v coverget absolumet, alors p égalemet et de plus : p = v. Démostratio Posos U =, V = v, Û = et V = v. Commeços par prouver la covergece absolue de p. La série p état à termes positifs, il ous suffit de motrer qu elle est majorée, ce qui résulte du calcul suivat. Pour tout N : k Iégalité k Iterversio p k = u iv k i u i v k i = u i v k i triagulaire des sommes k=i i j=k i = u i v k i = u i v j u i V Û V. k=i j=0 0

11 Si ous posos p = u k v k pour tout N, ous veos d établir au passage que pour tout N, doc que la série à termes positifs p coverge. Posat P = Prouvos à préset qu e fait P = Û V. Pour tout N : u i v j = j=0 0i,j u i v j 0k 0i,j i+j=k u i v j = p k Û V p, o a : P Û V. k u i v k i = Pour la majoratio cetrale, remarquez simplemet qu o somme des réels positifs et que la somme de droite cotiet tous les termes de la somme de gauche. Faisat tedre vers, ous obteos l iégalité Û V P, et doc l égalité souhaitée. Calculos efi la somme P = p. Nous voulos motrer que P = UV. Pour tout N : u i v j p k = j=0 0i,j u iv j 0i,j +i+j 0k 0i,j i+j=k u iv j = u i v j = 0i,j 0i,j +i+j u i v j u iv j 0k 0i,j i+j=k p k. u i v j = u i v j p k. Comme le terme extrême à droite ted vers Û V P = 0 lorsque ted vers, le théorème des gedarmes motre que le terme extrême à gauche ted lui aussi vers 0. Mais il ted aussi vers UV P. Comme voulu P = UV. j=0 Attetio! Malheur à vous si vous oubliez l hypothèse de covergece absolue! O peut motrer que le résultat est faux e gééral sas cette hypothèse. Posos par exemple = ( ) pour tout N. Comme ous l avos vu, la série u est semi-covergete. Que dire alors de so produit de Cauchy par elle-même? Pour tout : u k k = ( ) k ( ) k = k k k( k) k( k) =. Ce calcul motre que le produit de Cauchy de par elle-même diverge (grossièremet). Exemple Pour tous z, z C : moye de la formule «e z = z (z + z ) = z», car il s écrit das ces coditios : e z+z = e z e z. E effet Soiet z, z C. Posos, pour tout N : p = z. Ce résultat justifie qu o défiisse l expoetielle au z k k! z k. Nous avos déjà vu que ( k)! les séries z et z coverget absolumet. Le théorème précédet motre das ces coditios que p x coverge et que p = y. Mais que vaut p? Pour tout N : p = z k k! z k ( k)! = k!( k)! zk z k = z k z k = (zµ + z ). k