Systèmes linéaires, continus et invariants

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1 Cours CI-2 : Prévoir les perforaces des systèes liéaires, cotius et ivariats Systèes liéaires, cotius et ivariats MPSI I. Modèle cotiu. Les foctios qui caractériset u systèe cotiu (etrées, sorties, perturbatios) sot des foctios cotiues du teps t (systèe aalogique). Mais l utilisatio de systèe iforatique ipose l étude de systèe échatilloé. De êe, l aplitude du sigal peut être cotiue ou uérisée. Il existe 4 cobiaisos pour les sigaux : Cotiue Aplitude Discrète Sigal aalogique. So de disque viyle ou cassette audio Sigal qualifié Appareil de esure à affichage uérique Sigal échatilloé Iage de télévisio Sigal uérique So de disque audio II. Modèle liéaire. 1. Liéarité. e(t) Systèe liéaire s(t) O applique l etrée de aière quasi-statique (très leteet), et la sortie est proportioelle à l etrée : Lycée Claude Berard Page 1

2 s2 s1 s(t) Pour ue etrée costate E, après u certai teps (équilibre) la sortie s écrit : S = K.E (s 1 =K.e 1 et s 2 =K.e 2 ) K est le gai statique (pete de la droite) e1 e2 e(t) E fait, lorsque l o applique ue etrée e(t) à u systèe liéaire, après u certai teps (régie trasitoire), le systèe est e régie établi et doc : li s( t) = K. e Régie établi t 2. Propriétés. s(t) est la répose à e(t), alors λs(t) est la répose à λe(t). Pricipe de superpositio. 3. Exeple de o-liéarité. Exeple 1 : O souhaite défiir la relatio etre le déplaceet d ue pièce 2 par rapport à celui d ue pièce 1. 1 x 2 (t) x 2 (t) x 2 (t) 2 jeu Modélisatio o-liéaire avec jeu. Modélisatio liéaire e égligeat le jeu. Exeple 2 :O souhaite défiir la relatio etre l accélératio et la force appliquée sur ue pièce. 1 F F F Modélisatio o-liéaire avec frotteet. Modélisatio liéaire e égligeat le frotteet. Lycée Claude Berard Page 2

3 4. Liéarisatio autour d u poit d équilibre. Soit u systèe o liéaire dot la représetatio etre l etrée et la sortie est de la fore ci-cotre : Le systèe est ue régulatio autour du poit d équilibre : (e, s ). Le systèe est pas liéaire, il est doc écessaire de liéariser autour de so poit d équilibre. Chageet de d origie : o défiit les ouvelle variables e*(t) et s*(t) tel que : e*( t) = e( t) e s*( t) = s( t) s Le poit d équilibre est aiteat cofodu avec le poit origie. Esuite, o liéairise e replaçat la courbe par sa tagete à la ouvelle origie. Le ouveau systèe est liéaire. III. Modèle ivariat. U systèe est ivariat, si la relatio etrée-sortie e se odifie pas das le teps (le systèe e vieillit pas). Si s(t) est la répose à e(t). Pour u décalage teporel 2, alors: s(t+2) est la répose à e(t+2). IV. Relatio différetielle caractéristique. e(t) Systèe liéaire cotiu et ivariat s(t) 1. Equatio différetielle caractéristique. ( ) ( ) d s t ds t d e... ( t ) de + + ( t a ) a1 + as( t) = b b1 + be( t) a, a 1,...a et b, b 1,...b sot des costates (ivariats). L équatio s exprie e foctio de s(t) et de ses dérivées par rapport au teps et de e(t) et de ses dérivées par rapport au teps (liéarité). Les systèes réels sot causaux:. La répose à ue etrée est postérieure à celle-ci. Lycée Claude Berard Page 3

4 est l ordre du systèe. 2. Méthode de résolutio. d s( t) ds( t) O résout d abord l équatio sas secod ebre et o déterie s 1 (t) : a a1 + as( t) = rt Résolutio par itégratio ou e passat par s( t) = α. e avec α et r à déterier. O cherche esuite ue solutio particulière à l équatio avec secod ebre otée s 2 (t). s 1 (t) correspod au régie trasitoire et s 2 (t) correspod au régie établi. Pour u odèle liéaire, o recherche s 2 (t) de la êe fore que l etrée e(t). Esuite la solutio géérale s écrit : s(t) = s 1 (t) + s 2 (t) + coditios iitiales pour la déteriatio des costates d itégratio. V. Régulatio de tepérature das ue pièce. Equatios : Afficheur : ( t) ( t) u = k. T cos c cos Bloc de coade : v( t) = K.( u ( t) u( t )) Electro-vae : ( t) ( t) Radiateur : Pièces à chauffer : bc q = K. v cos dc c T K q dt ( t ) = K p. c( t) u t = k. T t ( t) ( t) + = r. ( t) Capteur de tepérature : ( ) ( ) c VI. Défiitio. e(t) Systèe liéaire s(t) Soit u systèe liéaire, cotiu et ivariat dot l équatio différetielle est : Pour des coditios iitiales ulles, o a : ( ) ( ) d s t ds t d e... ( t ) de + + ( t a ) a1 + as( t) = b b1 + be( t) a p a p + a S = b p b p + b E( p ) 1 1 Lycée Claude Berard Page 4

5 j j = i j= i= S a p E b p i O appelle Trasittace ou foctio de trasfert : i bi p i= b p b1 p + b j + a j p j= S = = = E a p... a p a E(p) (p) S(p) = (p).e(p) Rearque : O peut utiliser la otatio s ou jω à la place de la variable de Laplace p. La coaissace de la foctio de trasfert est équivalete à l équatio différetielle (sas les coditios iitiales). Passage das Laplace des équatios de la régulatio de tepérature : Afficheur : ( t) ( t) u = k. T U = k. T cos c cos Bloc de coade : v( t) K.( u ( t) u( t )) Electro-vae : ( t) ( t) Radiateur : Pièces à chauffer : Capteur de tepérature : ( ) ( ) Défiitio des foctios de trasfert : Afficheur : = bc cos q = K. v dc( t) c( t) + T = Kr. q( t) dt ( t ) = K p. c( t) u t = k. T t af Bloc de coade : c = co = Electro-vae : = Radiateur : rad = Pièces à chauffer : pièce = Capteur de tepérature : capt Ucos = = k T cos c cos c cos Mise e fore du schéa-bloc : VII. Maipulatios de schéa-blocs. Lycée Claude Berard Page 5

6 1. Blocs e cascade. Et doc : E E =, E =. E, S =. E S =... E Régulatio de tepérature : 2. Blocs e parallèle. S =. E +. E +. E = ( ). S E 3. Systèe asservi. U systèe asservi, par défiitio bouclé se représete par l associatio des schéas foctioels suivats: FTBF : Foctio de Trasfert et Boucle Ferée. Lycée Claude Berard Page 6

7 Si o ouvre la boucle au iveau du coparateur : FTBO : Foctio de Trasfert et Boucle Ouverte. Régulateur de tepérature : Lycée Claude Berard Page 7

8 IX. Siplificatio de schéa-blocs. Retour uitaire : U systèe est dit à retour uitaire, si la foctio de trasfert de la boucle de retour est u gai pur égal à 1. E + - S G Modifier le schéa ci-dessous pour le redre à retour uitaire : Boucles cocetriques. La société suisse KA-TE SYSTEM a développé le robot ci-cotre pour placer les fibres optiques das les caalisatios souterraies, ceci pour éviter le creuseet de trachées das la chaussée. propose ue solutio origiale pour éviter ces icovéiets. Ce robot possède u asservisseet e positio qui se et sous la fore suivate. Déterier la foctio de trasfert équivalete. Lycée Claude Berard Page 8

9 Boucles ibriqués. La vidéothèque de Paris possède (possédait) u robot qui charge autoatiqueet les cassettes vidéos de 2 agétoscopes pari 56 cassettes dispoibles. 2 agétoscopes 56 cassettes Robot L asservisseet e vitesse de rotatio d u oteur du robot se et sous la fore suivate. Déterier la foctio de trasfert équivalete. Lycée Claude Berard Page 9

10 Passage das Laplace des équatios de la régulatio de tepérature : Afficheur : ( t) ( t) u = k. T U = k. T cos c cos cos c cos Bloc de coade : v( t) = K.( u ( t) u( t )) V = K.( U U ) Electro-vae : ( t) ( t) Radiateur : Pièces à chauffer : Capteur de tepérature : ( ) ( ) bc cos q = K. v Q = K. V dc( t) c( t) + T = Kr. q( t) C + TpC = Kr. Q dt ( t ) = K p. c( t) pt = K p. C u t = k. T t U = k. T c c bc cos Défiitio des foctios de trasfert : Afficheur : Bloc de coade : Electro-vae : Radiateur : Pièces à chauffer : Capteur de tepérature : af co rad pièce ( ) capt T cos = = kc Ucos = V K Ucos U = Q = = K V = C Kr Q = 1 + Tp T K p p = = C p U = = kc T bc Lycée Claude Berard Page 1