Cinématique des solides

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1 MPSI Cours CI-4 : Prévoir les performances cinématiques des chaînes de solides Cinématique des solides Etude cinématique. Géométrie vectorielle.. Fonction vectorielle. On définit l espace vectoriel de base ( x, y, z ). On définit de même, trois fonctions réelles u () t, u () t et u () t 3. u( t) u ( t). x u ( t). y u ( t). z est une fonction vectorielle. L élément ut () tel que 3. Dérivation d une fonction vectorielle exprimée dans. Notation : d( u( t). x u( t). y u3( t). z) ( ). ( ). 3( ). t x t y t z 3. x. y. z i En posant : ui, l expression devient : u. x u. y u. z et de même : u x u y u z Lycée Claude ernard Page

2 3. Dérivation dans d une fonction exprimée dans. Soit une base ( x, y, z ) mobile par rapport à la base ( x, y, z ). Ces deux bases étant orthonormées directes. u( t) u ( t). x u ( t). y u ( t). z. On définit une fonction vectorielle exprimée dans : 3 On cherche à exprimer la dérivée de cette fonction dans. d( u( t). x u( t). y u3( t). z) ( t). x ( t). y 3( ). t z dx dy dz u. x u. y u. z u ( t). u ( t). u ( t). 3 3 On montre qu il existe un vecteur que l on notera tel que : / / ut () Cette relation est appelée relation de dérivation vectorielle. Elle est a la base de la plupart des relations de cinématique et dynamique des solides. 4. Définition vecteur rotation ou vecteur vitesse de rotation. Le vecteur / est appelé vecteur vitesse de rotation ou vecteur vitesse angulaire. Il caractérise une vitesse de rotation, son unité est donc : rd / s. Il est colinéaire à l axe de rotation et de norme la vitesse de rotation. I. Définition champ des vecteur-vitesses.. Solide indéformable. Solide: ensemble de points matériels. On considère un solide (S ) en mouvement par rapport à un référentiel R et t. Ce solide est dit indéformable si la distance entre tous les points solide reste constante : A et ( S ), A C te. Champ des vitesses d un solide. Soit (S ) un solide en mouvement par rapport à un référentiel R et t. Le vecteur-vitesse au point M dans le mouvement de (S ) par rapport à R s écrit: M ( S ), M S R (, / ) dom Ce vecteur peut aussi être noté : ( M S / R ) ou ( M / R ). Cette dernière notation ne peut être employée que si M est un point matériel solide (S ). est la base associée au repère R. A tout point M, on peut associer un vecteur-vitesse. On constitue donc le champ des vecteur-vitesses. Attention, cette relation n est valable que si M est un point matériel solide (S ) et si le point O est un point matériel repère R. Lycée Claude ernard Page

3 II. Equivalence repère/solide.. Equivalence repère/solide. Un repère est défini par point et 3 vecteurs orthogonaux directs. Les points extrémités des vecteurs sont à des distances constantes. Un repère est donc équivalent à un solide indéformable. Donc l étude mouvement d un solide (S ) par rapport à un autre solide (S ) se résume à l étude mouvement repère R par rapport au repère R. En conséquence : ( A, S / R ) ( A, R / R ) ( A, S / S ) ( A, / ) et : S / R R / R S / S /. Conséquences. On définit un référentiel R ( O, x, y, z ), un solide (S ) en mouvement par rapport à R, ainsi qu un référentiel R ( O, x, y, z ) associé à (S ). A est un point quelconque de (S). ( A, / ) ( A, / ) doa, or OA OO OA doo doa doo do A ( A, / ) / do A O A, car (S ) est un solide indéformable. doo ( A, / ) / Et donc : O A O A ( A, / ) ( O, / ) / 3. Caractéristiques générales de la cinématique. La relation précédente exprimée en un autre point donne : (, / ) ( O, / ) O / L ensemble de relations permet d écrire la relation fondamentale de la cinématique solide : ( A, / ) (, / ) A Les caractéristiques cinématiques d un solide (S ) en mouvement par rapport à un référentiel R seront : Le vecteur vitesse de rotation : Et la relation : / ( A, / ) (, / ) A / Le vecteur vitesse au point A : / ( A, / ) La connaissance des caractéristiques cinématiques mouvement d un solide par rapport un référentiel en un point quelconque, définit complètement le champ des vitesses d un point solide (S ). Lycée Claude ernard Page 3

4 III. Equiprojectivité.. Equiprojectivité champ des vitesses. On définit un référentiel (,,, ) rapport à R. A et sont points quelconques de (S ). (S ) est indéformable donc : A d A A te C (. ) R O x y z, un solide (S ) en mouvement par d A A. doa do A. A. A. A. Le champ des vitesses est donc équiprojectif. (, / ) ( A, / ) I. Mouvements particuliers.. Mouvement de translation. a. Définition. On définit un référentiel (,,, ) (S ) un solide en mouvement par rapport à R. A, et C S R O x y z et, les vecteurs A et AC restent constants en norme et direction. Le repère R ( O, x, y, z ) conserve donc la même direction. Les vecteurs sont donc constants au cours temps. On en déit donc les relations suivantes : dx t,, dy On en déit donc : / et dz Un mouvement de translation est un mouvement dont le vecteur rotation est nul. En conséquence, le champ des vecteurs vitesse est uniforme : ( A, / ) est identique en tout point. Mouvement de translation de (S ) par rapport à R : et ( A, / ) champ uniforme. / b. Translations particulières. Soit un solide (S) en mouvement de translation par rapport à R. Translation rectiligne : La trajectoire de tout point M de (S) est une droite et les vecteurs vitesse conserve la même direction au cours temps. Lycée Claude ernard Page 4

5 Translation circulaire : La trajectoire de tout point M de (S) est un cercle. Exemple de translation circulaire : mouvement de certains essuie-glace.. Mouvement de rotation. a. Définition. On définit un référentiel R ( O, x, y, z ) et (S ) un solide en mouvement par rapport à R. () est une droite fixe dans R de vecteur unitaire u. C et D sont points de (S ) qui sont immobile au cours temps. Le mouvement de (S ) par rapport à R est un mouvement de rotation si: () est l axe de rotation mouvement. b. Conséquences. ( C, / ) ( D, / ) ( A, / ) (, / ) et M ( M, / ) A et donc : A / Le vecteur rotation est donc colinéaire à l axe de rotation. les caractéristiques cinématiques d un mouvement de rotation sont : / / colinéaire à l axe de rotation. ( A, / ) sur l axe de rotation. Lycée Claude ernard Page 5

6 . Composition de mouvement. On définit référentiels R et R en mouvement par rapport à un référentiel R. Composition des vitesses : ( M, / ) dom doo dom do M ( O, / ) / ( O, / ) ( M, / ) / O M O M ( M, / ) ( M, / ) ( M, / ) ( M, / ) ( M, / ) est le vecteur-vitesse point matériel M par rapport à R. Cette vitesse peut être aussi notée ( M / ). ( M, / ) est le vecteur-vitesse point matériel M par rapport à R. Cette vitesse peut être aussi notée ( M / ). ( M, / ) ( M, / ) est le vecteur-vitesse point non matériel qui se trouve à l instant t confon avec M dans le mouvement de R par rapport à R. Ce point est aussi appelé point coïncidant. On peut définir de la même manière : / / / Les relations de composition de vitesse: ( M, / ) ( M, / ) ( M, / ) / / / I. Champ des accélérations.. Définition. Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un référentiel R et t. Le vecteur-accélération au point M dans le mouvement de (S) par rapport à R s écrit: d OM M ( S), ( M, S / R ) A tout point M, on peut associer un vecteur-accélération. On constitue donc le champ des vecteur-accélérations. Lycée Claude ernard Page 6

7 . Expression vecteur-accélération. Soit A et deux points de S. La dérivation de la relation sur les vecteurs vitesse en A et en donne : d S/ (, S / R ) ( A, S / R ) A S/ d A I. Composition des accélérations. On effectue la composition des accélérations. On a : OM OO OM et dom doo dom d OO d O M d OM ( M, / ) d do M ( M, / ) ( O, / ) / OM d do M d / ( M, / ) ( O, / ) / OM d ( M, / ) ( O, / ) d OM dom / dom / OM / d/ dom ( M, / ) ( O, / ) ( M, / ) (, / ) / M MO / / / O M d/ d MO Or : ( M, / ) ( O, / ) MO / ( M, / ) ( M, / ) ( M, / ) / ( M, / ) Accélération accélération accélération accélération absolue relative d entraînement De Coriolis Lycée Claude ernard Page 7

8 Lycée Claude ernard Page 8

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