Chapitre F : Nombres complexes

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1 Chapitre F : Nombres complexes Thomas Rey thomas.rey83@free.fr 14 décembre 2008 Table des matières 1 Objectifs Objectifs en terminale S Objectifs en MPSI Définition, existence et construction de C Motivation : propriétés souhaitées Définition de l ensemble des nombres complexes et de sa structure Forme algébrique, Partie réelle, partie imaginaire 8 4 Opérations élémentaires sous forme algébrique 8 5 Plan complexe 9 6 Conjugué d un nombre complexe Définition Interprétation Géométrique Propriétés Module d un nombre complexe Définition Première interprétation géométrique Propriétés Application Seconde interprétation Géométrique Module, argument et forme trigonométrique 10 9 Forme exponentielle, ensemble U des nombres complexes de module Forme exponetielle, propriétés Définition de U Exponentielle d un imaginaire pur Propriétés algébriques de l exponentielle d un imaginaire pur e iθ

2 Introduction Les nombres complexes, tels que nous les utilisons aujourd hui, datent du XIXème siècle. Ils étaient cependant connus et utilisés depuis plusieurs siècles sous le nom de nombres imaginaires. Ils sont apparus au XVIème siècle, lorsque des mathématiciens italiens, dont Scipione Del Ferro, Tartaglia et Cardan ( ), tentèrent de trouver une méthode générale pour résoudre les équations de degré 3. Les méthodes de Cardan et Bombelli Cardan explique en 1545 comment résoudre les équations du type : x 3 = px + q. Sa méthode (ou plutôt celle de Tartaglia, qui est le véritable inventeur de cette méthode, sans toutefois la publier, et qui l a naivement dévoilée à Cardan) consiste à créer, à partir des coefficients de l équation initiale, une certaine équation auxiliaire de degré 2. Si le discriminant de cette équation auxiliaire est positif, et en notant x 1 et x 2 les solutions de cette équation (x 1 = x 2 si le discriminant est nul), Cardan montre qu une solution de l équation de degré 3 initiale est égale à x x Toutefois cette méthode semble être prise à défaut lorsque le discriminant de l équation auxiliaire est négatif, car alors on ne dispose pas des solutions x 1 et x 2. Or toute équation du troisième degré admet au moins une solution. Bombelli ( ) eut l idée de penser que les parties impossibles (correspondant à la racine carré d un discriminant négatif) ou imaginaires de x 1 et x 2 devaient s éliminer pour redonner la racine réelle. La technique de Bombelli fût couronnée de succès et permis de trouver toutes les solutions des équations du type : x 3 = px + q. Le point remarquable de cette démarche est que les nombres imaginaires utilisés à une certaine étape du raisonnement finissent, en se recombinant, par donner une solution faisant partie de l ensemble bien tangible des nombres réels. Toutefois, de par leur nature abstraite et leur statut initial d outil empirique, les nombres complexes mirent plusieurs siècles avant de s imposer en tant qu ensemble de nombres à part entière. Les nombres complexes furent toutefois utilisés dès lors par de nombreux mathématiciens, tel Leonhard Euler ( ) qui utilisa les nombres complexes dans le champs de l analyse, les relia à la trigonométrie et fût à l origine de la notation i pour désigner le nombre de carré 1. Il faut attendre le XIXème siècle pour que les nombres imaginaires soient universellement adoptés. La représentation géométrique des nombres complexes par les points du plan joue un grand rôle dans cette acceptation, le support géométrique apportant une caution aux yeux de nombreux mathématiciens de l époque. Les complexes prendront définitivement leur statut moderne grâce à l influence et au renom de Gauss ( ). En 1831, il écrit : Aussi longtemps que les quantités imaginaires étaient basées sur la fiction, elles n étaient pas pleinement acceptées en mathématiques, mais plutôt regardées comme quelque chose que l on devait tolérer; elles étaient loin d avoir acquis le même statut que les quantités réelles. Il n y a plus aucune justification à une telle discrimination, maintenant [...] qu il a été montré qu ils avaient une signification aussi réelle que les nombres négatifs. C est à partir de cette époque que Gauss emploie le terme complexe à la place du terme imaginaire. C est également au cours du XIXème siècle que les nombres complexes commencent à être largement utilisés en physique ce qui apporte une nouvelle caution à leur usage. Remarque 1. A la suite des travaux de Cardan, de nombreux mathématiciens tentèrent de résoudre les équations de degré supérieur à 3. Un élève de Cardan, Ludovico Ferrari ( ), parvint à résoudre les équations du 4ème degré. Après deux siècles d essais infructueux, la question de savoir si on peut résoudre par radicaux n importe quelle équation algébrique fut finalement résolue par Niels 2

3 Henrik Abel en 1827, qui démontra que l équation générale de degré 5 était insoluble par radicaux (être résoluble par radicaux signifiant ici qu on peut exprimer les solutions explicitement à partir des coefficients et en un nombre fini d opérations choisies dans l ensemble des additions, soustractions, multiplications, divisions et racines n-èmes). Le théorème d Abel dit qu il y a des équations de degré 5 (et plus) qui ne peuvent pas être résolues de manière exacte, comme c est le cas pour l équation x 5 x + 1 = 0. Le problème maintenant était le suivant : trouver un moyen de décider si une équation donnée était ou non soluble par radicaux. Peu après, Evariste Galois donne une solution complète à ce problème en fondant la théorie qui porte aujourd hui son nom. 3

4 1 Objectifs On donne ci-dessous, entre autre à titre de comparaison, les objectifs des programmes officiels de terminale S et de MPSI. On constatera que de nombreux points se retrouvent dans les deux programmes. 1.1 Objectifs en terminale S Géométrie plane : nombres complexes Le plan complexe : affixe d un point; parties réelle et imaginaire d un nombre complexe. Conjugué d un nombre complexe. Somme produit quotient de nombres complexes. Module et argument d un nombre complexe; module et argument d un produit, d un quotient. Ecriture e iθ = cos θ + isin θ. Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels. Interprétation géométrique de z z avec z = z + b ou z ω = k(z ω) (pour k réel non nul), ou z ω = e iθ (z ω). Le vocabulaire sera introduit à partir de considérations géométriques. On retrouvera à cette occasion la notion de coordonnées polaires et celle, sous jacente, d équation paramétrique d un cercle (sous la forme * z = z ω +re iθ ). On utilisera les nombres complexes pour traiter des exemples simples de configurations et résoudre des problèmes faisant intervenir des translations, des rotations, des homothéties. 1.2 Objectifs en MPSI L objectif est de consolider et d approfondir les notions sur les nombres complexes déjà abordées en classe de Terminale. Le programme combine l étude du corps des nombres complexes et de l exponentielle complexe avec les applications des nombres complexes aux équations algébriques, à la trigonométrie et à la géométrie. Il est souvent commode d identifier C au plan euclidien notamment pour les problèmes d origine géométrique, ce qui permet d exploiter le langage de la géométrie pour l étude des nombres complexes et, inversement, d utiliser les nombres complexes pour traiter certaines questions de géométrie plane. En particulier, les étudiants doivent savoir interpréter à l aide des nombres complexes les notions suivantes de la géométrie euclidienne plane : calcul vectoriel, barycentre, alignement, orthogonalité, distance, mesure d angle. a) Corps C des nombres complexes Corps C des nombres complexes. Parties réelle et imaginaire d un nombre complexe, conjugaison dans C. Le plan étant muni d un repère orthonormal, affixe d un point, d un vecteur; image d un nombre complexe. Module d un nombre complexe, module d un produit, d un quotient. Inégalité triangulaire ; interprétation en termes de distances. b) Groupe U des nombres complexes de module 1 Notations Rez, Imz, z. Interprétation géométrique des transformations z z, z z + b. Notation z ; relation z 2 = z z. Interprétation géométrique de z, z a ; disque ouvert (fermé) de centre a. 4

5 Définition du groupe U des nombres complexes de module 1. Cercle trigonométrique. Définition de e iθ, relations d Euler. Morphisme θ e iθ de R dans U. Formule de Moivre. Linéarisation et factorisation d expressions trigonométriques. Arguments d un nombre complexe non nul. Écriture d un nombre complexe z 0 sous la forme ρe iθ où ρ > 0 et θ R (forme trigonométrique). Racines n-ièmes de l unité. Résolution de l équation z n = a. c) Équations du second degré Résolution des équations du second degré à coefficients complexes; discriminant. Relations entre coefficients et racines. d) Exponentielle complexe Définition de l exponentielle d un nombre complexe : e z = e x e iy où z = x + iy. Propriétés. e) Nombres complexes et géométrie plane Interprétation géométrique des transformations : z az, z az + b, z z. Interprétation du module et de l argument de z 1 z, z z a z b. On se contentera d une brève présentation de la structure de groupe. Par définition, e iθ = cos θ + isin θ ; θ R. La continuité, la dérivabilité et les variations des fonctions cosinus, sinus et tangente sont supposées connues, ainsi que leurs formules d addition. Les étudiants doivent connaître les formules donnant cos(a + b), sin(a + b), tan(a + b), cos 2x, sin 2x, tan2x. Ils doivent savoir exprimer sin θ, cos θ, tan θ et e iθ à l aide de tan θ et relier ces 2 formules à la représentation paramétrique rationnelle du cercle trigonométrique privé de -1. La continuité, la dérivabilité et les variations de la fonction exponentielle réelle sont supposées connues, ainsi que son équation fonctionnelle. Les étudiants doivent savoir interpréter à l aide des nombres complexes les notions suivantes de la géométrie euclidienne plane : distance, mesure d angle, barycentre, alignement, orthogonalité. 5

6 2 Définition, existence et construction de C 2.1 Motivation : propriétés souhaitées Au vu des rappels historiques précédents, une motivation de la construction de l ensemble des nombres complexes est de résoudre des équations algébriques n ayant pas de solution dans R (par exemple, l équation x 2 = 1). On cherche donc à construire un ensemble qui prolonge l ensemble R et les opérations élémentaires sur R utilisées dans les équations (à savoir +,,, ). On veut de plus disposer d un élément, que l on notera i, dans ce nouvel ensemble dont le carré soit égal à 1 (ce qui donnera du même coup une solution à l équation énoncée précédemment, et aussi à toutes les équations de degré 2 avec un discriminant négatif). On appellera structure de l ensemble R (ou de l ensemble C) cet ensemble muni de ses opérations élémentaires. 2.2 Définition de l ensemble des nombres complexes et de sa structure On suppose au départ avoir déjà construit R (ce qui n est pas trivial). On connait alors R 2, l ensemble des couples de nombres réels. On va munir ce dernier ensemble d une structure conforme à nos desirata de début de paragraphe. Remarque 2. L ensemble R 2 est bien un prolongement de R : en effet, tout réel x peut être associé de manière unique à l élément de R 2 : (x;0). R est ainsi plongé dans R 2 de la même façon que la droite réelle associée à Ox est plongée dans l ensemble des points du plan naturellement associés à leur coordonnées. On peut remarquer que la façon la plus simple de définir une somme et un produit sur R 2 est d ajouter (resp. de multiplier) les coordonnées on dit aussi les composantes) entre elles. Cette méthode ne convient pas ici car elle ne permet pas de définir un nombre dont le carré fait 1 ou plutôt ( 1; 0) vu le paragraphe précédent (de mêe adapter le produit scalaire de la géométrie ne conviendrait pas car on veut que la multiplication de deux éléments de R 2 donne un nombre de R 2 ). On utilise donc une autre définition pour le produit sur R 2. Essayons d amener naturellement cette définition. L idée principale vient en notant a + ib tout couple (a;b) de R 2. Le nombre i = 0 + 1i est donc l élément de R 2 (0;1) (il n est donc pas si imaginaire que ça). Comme on veut que la distributivité, valable sur R, le reste sur C, on souhaiterais avoir : (a + ib)(c + id) = ac + i 2 bd + ibc + iad, Comme on veut avoir aussi i 2 = 1, on souhaiterais donc : (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(bc + ad), On prend donc la définition suivante dont on vérifiera dans la suite qu elle est bien adaptée aux conditions de départ que l on s était donné pour l ensemble C et sa structure. Définition 3. On muni l ensemble R 2 muni des opérations + et., définies pour tous a, b, c, d réels par : (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), 6

7 (a,b).(c,d) = (ac bd,bd + ac). On note a le couple (a; 0) et i le couple (0; 1). D où la notation a + ib pour le couple (a; b). R 2 munit de ces opérations est l ensemble C des nombres complexes, munit des mêmes opérations. Cette définition permet de retrouver la définition de début de chapitre. Elle donne en plus l existence de C (ce qui n était pas évident au vu de la première définition car i aurait pu ne pas exister). Remarque 4. Inclusion de R dans C On identifie l élément (a,0) de R 2 avec le réel a de façon à avoir l inclusion de R dans C. Cette identification est justifiée car : (a,0)+(b,0) = (a+b,0) et (a,0).(b,0) = (ab,0), ce qui montre que les opérations sur les réels a et b sont les mêmes qu on les considère comme réels ou comme complexes, et ce qui montre donc que R et sa structure (appelée ici structure de corps : voir un livre d algèbre de premir cycle universitaire pour la définition exacte d une telle structure, ce n est pas très compliqué mais assez abstrait). se retrouvent à l identique dans le corps C. On verra dans la même littérature que la notion mathématique exacte pour décrire ce phénomène est celle de morphisme de corps injectif. Existence de l unité imaginaire On a posé i = (0,1) (i est parfois appelé l unité imaginaire d Euler), on a : (0,1).(0,1) = ( 1,0). D où, en notant, comme nous y incite la remarque précédente, 1 pour ( 1,0) : Ecriture algébrique De plus pour tout (a,b) R 2, on a : i 2 = 1. (a,b) = (a,0) + (0,1).(b,0) D où, en notant a pour (a,0) et b pour (b,0) et (comme c est souvent l usage) en ne notant rien pour. : (a,b) = a + ib. Remarque Notations : C = C\{0}. 2. Les physiciens notent j plutôt que i (ce qui évite une confusion avec l intensité électrique). 3. Pour la culture : C est donc un corps qui prolonge le corps des réels, on dit que c est un sur-corps. C est en fait le seul sur-corps de R (théorème de Frobenius). Il existe un autre ensemble prolongeant la structure de corps de R sauf la commutativité pour : c est H le corps non-commutatif des quaternions (utilisé comme C en traitement des images). 4. Implicitement dans la suite (sauf mention explicite du contraire) quant on notera z = x + iy, x et y seront supposés réels. 7

8 3 Forme algébrique, Partie réelle, partie imaginaire Définition et Théorème 6. Si z C, il existe un unique couple (x,y) de réels tels que z = x + iy, on dit alors que z est écrit sous forme algébrique. Les réels x et y sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du complexe z et sont notés : x = Re(z) et y = Im(z) ou x = Rez et y = Im z. La démonstration est triviale. Une conséquence du théorème est que deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et imaginaire. Exemple 7. Mettre sous forme algébrique et donner la partie réelle et imaginaire des nombres suivants puis déterminer s ils sont égaux : z 1 = 2i i et z 2 = (4 + 3i) i. Définition 8. Un nombre complexe de la forme iy avec y R est appelé imaginaire pur. Ainsi un nombre complexe est réel (resp. imaginaire pur) si, et seulement si, sa partie imaginaire (resp. sa partie réelle) est nulle. De plus, en notant ir l ensemble des imaginaires purs, R ir = {0}. Propriété 9. R-linéarité mais ne commute pas avec le produit dans C (Ri 2 Rei Rei). 4 Opérations élémentaires sous forme algébrique Vu la définition de C et de sa structure, on peut aisément vérifier que sur C les règles de calcul (distributivité, commutativité, associativité...) sont les mêmes que sur R. Par ailleurs, en pratique, les calculs pour les opérations + et. se font en raisonnant comme sur R, et en utilisant la distributivité et le fait que i 2 = 1. Exemple 10. Calculer z1 + z 2, z 1 z 2, (z 1 z 2 )(z 1 + z 2 ),z 2 1 z2 2 lorsque z 1 = 1 + i, z 2 = 1 i. Exemple 11. Calculer (1 + i) 4 puis (1 + i) Exemple 12. Montrer que (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. Reste, au niveau opérations élémentaires, à définir la soustraction et la multiplication, ce qui revient à déterminer l opposé de tout z = x + iy C et l inverse de tout z C star. On laisse ce calcul au soin du lecteur avec toutefois quelques indices. Pour l opposé, cela revient à déterminer x + iy tel que (x + iy) + (x + iy ) = 0. De même pour l inverse, ou bien utiliser l exemple précédent. Conséquences i) Vu l existence de l inverse, on peut aisément prouver que zz = 0 z = 0ouz = 0. ii) Les quatres opérations sont donc définies et prolongent celles sur R. 8

9 5 Plan complexe Dans toute la suite du chapitre, on considère un plan affine euclidien réel P, rapporté à un repère orthonormal direct R = (O, u, v) et le plan vectoriel P associé à P, rapporté à la base B = ( u, v). A tout nombre complexe z = x + iy, avec (x,y) R 2, on associe le point M du plan P de coordonnées (x, y) par rapport au repère R, et, réciproquement, à tout point M du plan P de coordonnées (x,y) dans R, on associe le nombre complexe z = x + iy. On dit que M est l image de z et que z est l affixe de M. On note M(z) pour exprimer que z est l affixe de M. Le plan P est souvent appelé (abusivement) le plan complexe. A tout nombre complexe z = x + iy, (x,y) R 2, on peut aussi associer le vecteur V = x u + y u, et réciproquement. On dit que V est l image de z, et que z est l affixe de V. On note V (z) pour exprimer que z est l affixe de V. Pour tous A(a), B(b) de P, l affixe du vecteur AB est b a. Ainsi, on peut avoir quatre façons de voir le même problème : dans C, dans R 2, dans P, dans P. Exemple 13. i) Placer dans le plan complexe les points A,B, C d affixe respectifs z = 1+i, z 2 et z 3. Où vont se trouver les points images de z 4 et de z 5? ii) Donner le lieu géométrique des points M(z) du plan de partie réelle nulle, puis de partie imaginaire nulle puis de partie imaginaire égale à 1 2, puis tels que z2 est imaginaire pur. iii) Déterminer l affixe du milieu d un segment [AB] en fonction de z A l affixe de A et z B l affixe de B. iv) Soient v(z) et v (z ) deux vecteurs. Comparer v. v et zz. 6 Conjugué d un nombre complexe 6.1 Définition Pour tout nombre complexe z = x + iy, (x,y) R 2, on définit z, le conjugué de z par : 6.2 Interprétation Géométrique z = x iy. La conjugaison z z se traduit dans le plan complexe par la symétrie par rapport à (x x). 6.3 Propriétés Propriété 14. Involutivité, somme, produit, quotient, signification de z et z égaux/opposés, formules z+ z 2 = Rez et z z 2i = Im z. 7 Module d un nombre complexe 7.1 Définition Définition et Théorème 15. Si z est un complexe, z z est un réel positif. On appelle module de z le réel noté z défini par : z = z z. 9

10 Démonstration. Si z = a + ib, on a z z = a 2 + b 2 R + (le module de z est donc égal à a 2 + b 2 ). 7.2 Première interprétation géométrique Soient a un nombre complexe. a est égal à OA où on rappelle que O est le centre du repère dont on a muni P. 7.3 Propriétés Proposition 16. Pour tout complexe z, on a : 1. z = 0 z = z = z. 3. Re(z) Re(z) z. 4. Im(z) Im(z) z. Proposition 17. Morphisme par rapport à la multiplication, la division, 2 inégalités triangulaires (et CNS égalité dans la première). 7.4 Application Passage à l inverse. La relation z z = z 2 permet d exprimer simplement l inverse d un nombre complexe non nul : Proposition 18. Pour tout complexe z non nul, on a : etdans le cas particulier où z = 1, on a : 1 z = z z 2 1 z = z. 7.5 Seconde interprétation Géométrique Soient a et b des nombres complexes. Pour tous A(a), B(b) de P, le plan complexe, b a = AB. Soit R > 0, l ensemble des points M(z) du plan complexe vérifiant z a R (resp. < R) est le disque fermé (resp. ouvert) de centre a et de rayon R. 8 Module, argument et forme trigonométrique 9 Forme exponentielle, ensemble U des nombres complexes de module Forme exponetielle, propriétés 9.2 Définition de U Soit U = {z C; z = 1}. 10

11 9.3 Exponentielle d un imaginaire pur Pour tout θ R, on pose (ce n est qu une notation) : e iθ = cosθ + isinθ (à partir de là, on suppose connues les propriétés des fonctions cosinus, sinus et tangente évoquées en début de chapitre dans la partie Objectifs ). On a alors le résultat suivant (qui donne une double inclusion) : Proposition 19. U = {e iθ, θ R}. Par ailleurs, on montre aisément que e iθ = e iφ θ = φ[2π]. 9.4 Propriétés algébriques de l exponentielle d un imaginaire pur e iθ Relations d Euler D après les formules permettant de calculer les parties réelles et imaginaire d un nombre complexe donné (vues dans la partie 6 sur le conjugué d un nombre complexe), on a le résultat suivant (relation d Euler) : Proposition 20. Pour tout θ R, cosθ = eiθ + e iθ 2 et sinθ = eiθ e iθ. 2i Morphisme θ e iθ de R dans U Proposition 21. L application f : R U par, quel que soit θ R : f(θ) = e iθ, est un morphisme de groupe de (R,+) dans (U, ). Donc, on a, pour tous θ et φ dans R : e iθ e iφ = e i(θ+φ). (1) Démonstration. On montre 1 en écrivant e i(θ+φ) sous forme algébrique et on développe l expression obtenue à l aide des formules d addition dans un cosinus et un sinus. formule de Moivre D après la proposition précédente, on a immédiatement le résultat suivant (appelé formule de Moivre) : Proposition 22. Pour tout θ R et tout n N, (cos θ + isin θ) n = cos nθ + isin nθ. 11