2 Éléments de calcul tensoriel

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1 La mécaniqu ds miliux continus fait un usag intnsif ds champs scalais, vctoils t tnsoils. Cs outils mathématiqus indispnsabls pmttnt non sulmnt d établi ds ésultats fondamntaux indépndammnt du éféntil choisi, mais n out, confènt aux fomuls qui ls xpimnt un concision maquabl. Gâc à cla, on put pot son attntion su ls phénomèns physiqus qu lls pésntnt plutôt qu su ls équations lls-mêms. Ls scalais, vctus t tnsus ont n fft la popiété d êt invaiant los d un changmnt d bas. C st ainsi qu gâc à cs quantités on put éci ls équations d la mécaniqu d maniè intinsèqu c st à di indépndammnt d la bas choisi. Dans c cous, nous n auons pas cous à la fom la plus complèt du calcul tnsoil ; nous n utilisons qu ds systèms d coodonnés othogonals, évntullmnt cuviligns (pa xmpl l systèm d coodonnés cylindiqus ou sphéiqus), c qui pmt ds simplifications considéabls sans intodui d stictions top gênants 1. En out, tout ls vctus t tnsus considéés sont toujous à composants élls. Ctt intoduction au calcul tnsoil s inspi d [3]. Avant d défini c qu sont ls scalais, vctus t tnsus, nous intoduisons un séi d définition. 2.1 Convntion d sommation d Einstin Chaqu fois qu un indic appaaît dux fois dans l mêm monôm, c monôm pésnt la somm ds tois tms obtnus n donnant succssivmnt à ct indic ls valus 1,2,3. Pa xmpl, a i b i st la notation compact pou a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. L indic épété su lqul on ffctu la sommation st applé indic mut. On put lui substitu n impot qul indic pouvu qu il diffè ds auts indics pésnts dans l monôm. Un indic non mut st dit fanc. Ainsi, dans a ij b j, l indic i st fanc t l indic j st mut; on put l mplac pa n impot qul aut indic xcpté i. Ctt convntion d sommation st dit convntion d Einstin. 2.2 ymbol d Konck L symbol d Konck (on dit aussi l dlta d Konck) st défini pa δ ij = { 1 si i = j 0 si i j (2.1) 1. Losqu l systèm d coodonnés n st pas othogonal, il faut distingu ls composants covaiants t contavaiants du tnsu. Un pésntation plus généal du calcul tnsoil put êt touvé dans [2]. 11

2 2.3 ymbol d pmutation dit d Lévi-Civita oint i, j, k tois indics ayant ds valus diffénts. On dit qu ils fomnt un pmutation pai d 1,2,3 si l on put ls amn dans ct od pa un nomb pai d pmutations. On dit qu ils fomnt un pmutation impai d 1,2,3 si l on put ls amn dans ct od pa un nomb impai d pmutations. Ls pmutations pais d 1,2,3 sont donc : (1, 2, 3), (3, 1, 2) t (2, 3, 1) t ls pmutations impais : (2, 1, 3), (1, 3, 2) t (3, 2, 1). Cla étant, l symbol d pmutation st défini pa ǫ ijk = 2.4 Changmnt d bas 0 si dux qulconqus ds indics sont égaux +1 si i, j, k fomnt un pmutation pai d 1,2,3 1 si i, j, k fomnt un pmutation impai d 1,2,3 (2.2) Considéons dux bass othonomés (vctus d bass unitais t othogonaux nt ux), dont ls bass spctivs sont notés ( 1, 2, 3 ) t ( 1, 2, 3).oint, P ij, ls cofficints caactéisant c changmnt d pè. P ij = i j (2.3) Ils puvnt s intpét comm ls composants du vctu i dans l pè ( 1, 2, 3) : i = P ij j (2.4) t écipoqumnt, ls cofficints P ij puvnt s intpét comm ls composants du vctu j dans la bas ( 1, 2, 3 ) : j = P ij i (2.5) Qu l on put aussi éci : ca P T ji = P ij. En injctant (2.4) dans (2.6), on a : Donc : D mêm, n injctant (2.6) dans (2.4), on a : d où : j = P T ji i (2.6) j = P T ji P ik k (2.7) P T ji P ik = δ jk (2.8) i = P ij P T jk k (2.9) P ij P T jk = δ ik (2.10) En notant P la matic contnant ls cofficint P ij, ls lations ci-dssus s éécivnt : PP T = (2.11) P T P = (2.12) C qui indiqu qu la matic d passag P st un matic othogonal : son invs t sa tansposé coïncidnt. Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 12

3 2.5 calai Ctains gandus comm la mass volumiqu ou la tmpéatu s xpimnt pa un sul nomb, qui n dépnd pas d la bas choisi. C sont ds scalais. D maniè plus mathématiqu, nous définions un scalai comm suit : un scalai s st un êt mathématiqu à un sul composant t invaiant los d un changmnt d bas. 2.6 Vctu Ds gandus tlls qu la vitss ou l accéléation d un point matéil, un flux d chalu ou un foc sont caactéisés pa lu diction, lu sns t lu intnsité. C sont ds vctus. On ls pésnt pa un sgmnt ointé. Un vctu possèd tois composants qui dépndnt du pè choisi ( 1, 2, 3 ) : a = a a a 3 3 (2.13) En notation indicill, on écia plutôt a = a i i (2.14) n utilisant la convntion d sommation. i l on s éfè à la bas ( 1, 2, 3), on écia a = a i i (2.15) Il s agit toujous du mêm vctu mais xpimé dans un aut bas. Il st capital d compnd qu los d un changmnt d bas, ls composants du vctu changnt alos qu l vctu lui-mêm n chang pas. En clai, bin qu ls a i sont diffénts ds ai, on a a = a i i = ai i (2.16) Pou qu cla soit possibl, il faut qu ls composants du vctu s tansfomnt comm : a i = P ij a j, a j = P ij a i (2.17) Ctt popiété suggè la définition mathématiqu suivant d un vctu : un vctu a st un êt mathématiqu qui, los d un changmnt d pè i = P ij j s tansfom slon la fomul a i = P ij a j. En utilisant la notation maticill, on put ééci (2.17) comm [ a] = P[ a], [ a] = P T [ a] (2.18) Faisons l point su cs notations : a st un vctu ; a i st la ièm composant d c vctu dans un bas donné ; ai st la ièm composant d c mêm vctu mais dans un aut bas ; [ a] st la matic colonn goupant ls tois composants du vctu a dans un bas donné [ a] = a 1 a 2 a 3 (2.19) [ a] st la matic colonn goupant ls tois composants du mêm vctu a mais dans un aut bas a1 [ a] = a2 (2.20) a3 Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 13

4 Finalmnt, il faut not qu dans l équation (2.18) P n st pas mis nt cocht ca c st déjà un matic. La matic d passag comm son nom l indiqu st un tablau d nomb. Il n s agit pas d un quantité tnsoill. 2.7 Tnsu d od 2 Un tnsu d od 2 s xpim pa A = A ij i j (2.21) Un tnsu d od 2 st un êt mathématiqu à 9 composants qui, los d un changmnt d bas i = P ij j, s tansfom slon ls fomuls : ou sous fom maticill A ij = P ik A klp T lj, A kl = P T ki A ij P jl (2.22) [A] = P[A] P T, [A] = P T [A]P (2.23) Nous insistons un nouvll fois su l fait qu P st un matic t n a in a voi avc un tnsu d od 2. Un tnsu d od 2 st un quantité intinsèqu indépndant d la bas choisi alos qu P st un tablau d nomb donnant ls poduits scalais nt ls vctus d la pmiè t d la scond bas : P ij = i j. 2.8 Étud ds tnsus d od 2 Nous étudions ici n détail ls tnsus d od 2 compt tnu d lu impotanc n mécaniqu ds miliux continus Tnsu idntité L tnsu idntité noté I st un tnsu paticuli ca ss composants sont ls mêms dans tout bas othonomé t donnnt la matic idntité : [I] = (2.24) autmnt dit I ij = δ ij Tnsu symétiqu t antisymétiqu Un tnsu st symétiqu s il st égal à sa tansposé : A symétiqu A = A T A ij = A ji (2.25) Un tnsu st antisymétiqu s il st égal à l opposé d sa tansposé : A antisymétiqu A = A T A ij = A ji (2.26) Cla n st possibl qu si ls tms diagonaux d A sont nulls : A 11 = A 22 = A 33 = 0. Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 14

5 La syméti ou l antisyméti st un popiété intinsèqu d un tnsu. i la matic pésntant ls composants d un tnsu dans un bas st (anti)symétiqu, ll l sta dans tout aut bas. Tout tnsu d od 2, A, put s éci comm la somm d un tnsu symétiqu t d un tnsu antisymétiqu : A = A sym + A asym, A sym = 1 2 (A + AT ), A asym = 1 2 (A AT ) (2.27) Tac d un tnsu La tac d un tnsu d od 2 st la somm d ss tms diagonaux TA = A ii (2.28) Poduit contacté L poduit contacté d dux tnsus d od 2 st un tnsu d od 2 défini pa : C = A B C ij = A ik B kj (2.29) L poduit doublmnt contacté d dux tnsus d od 2 st un scalai : s = A : B = A ij B ij = A ij B T ji = T(A B T ) (2.30) L poduit contacté d un tnsu d od 2 t d un vctu b st un vctu, on put post- ou pé-multiplié pa un vctu. L ésultat n st pas l mêm à moins qu A n soit symétiqu : A b = c A ij b j = c i (2.31) b A = d bi A ij = d j (2.32) L poduit contacté (applé plus couammnt poduit scalai) d dux vctus st un scalai : s = a b s = a i b i (2.33) L ésultat d un poduit contacté st simpl à défini. oit n l od du pmi tnsu t m l od du scond (m = 1 pou un vctu, 2 pou un tnsu d od 2,...). L ésultat d un poduit simplmnt contacté st un tnsu d od n +m 2 t l ésultat d un poduit doublmnt contacté st un tnsu d od n + m 4. Pa xmpl, l poduit doublmnt contacté d un tnsu d od 4 t d un tnsu d od 2 st un tnsu d od 2 : C = A : B C ij = A ijkl B kl (2.34) L poduit doublmnt contacté nt un tnsu d od dux antisymétiqu t un tnsu d od dux symétiqu donn toujous l tnsu nul Poduit tnsoil L poduit tnsoil d dux vctus st un tnsu d od 2 : A = b c A ij = b i c j (2.35) L ésultat d un poduit tnsoil st simpl à défini. oit n l od du pmi tnsu t m l od du scond (m = 1 pou un vctu, 2 pou un tnsu d od 2,...). L ésultat du poduit tnsoil st un tnsu d od n + m. Pa xmpl, l poduit tnsoil d dux tnsus d od 2 st un tnsu d od 4 : A = B C A ijkl = B ij C kl (2.36) Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 15

6 2.8.6 Rpésntation spctal d un tnsu On dit qu v st un diction pincipal (ou un vctu pop) du tnsu A d od 2 si A v = λ v A ij v j = λv i (2.37) La valu λ st applé valu pincipal (ou valu pop) d A associé à la diction pincipal v. Pou touv v, on écit (2.37) sous la fom (A λi) v = 0 (A ij λδ ij )v j = 0 (2.38) Cs équations constitunt un systèm homogèn d tois équations à tois inconnus v 1, v 2, v 3 qui n admt d solution non tivial qu si l détminant d la matic ds cofficints s annul : A 11 λ A 12 A 13 dt(a λi) = 0 A 21 A 22 λ A 23 A 31 A 32 A 33 λ = 0 (2.39) L équation ci-dssus donn tois acins λ I, λ II, λ III. On calcul ls vctus pops cospondants n ésolvant (2.38). Pa xmpl, pou λ I, on aua (A λ I I) v I = 0 (2.40) c qui n détmin ls composants d v I qu à un cofficint pès. On put choisi c cofficint d maniè à avoi un vctu v I d nom unitai. i l tnsu A st él t symétiqu, l algèb maticill nous appnd qu ls valus pops t vctus pops sont éls. i ls tois valus pops d A sont d plus distincts, ls tois vctus pops v I, v II, v III, sont mutullmnt othogonaux. Dans l cas où dux valus pops sont confondus (λ I = λ II λ III pa xmpl), la ésolution d (2.40) laiss un indétmination su ls dictions d v I t v II : ils puvnt pnd un diction qulconqu dans l plan d l spac ppndiculai à v III. Il st alos indiqué d choisi v I t v II othogonaux nt ux dans c plan. Enfin, dans l cas où λ I = λ II = λ III, v I, v II t v III sont absolumnt indétminés ; ils puvnt pnd ds dictions qulconqus d l spac, mais on put toujous s aang pou ls choisi mutullmnt othogonaux. Ctt situation spécial n aiv qu si l tnsu A st d la fom A = si où s st un scalai. On a alos λ I = λ II = λ III = s. Un tl tnsu st applé un tnsu isotop. s composants n sont pas affctés pa un changmnt d bas. En conclusion, nous vnons d voi qu l on put toujous touv tois vctus pops othogonaux pou un tnsu él symétiqu d od 2. La bas fomé pa cs tois vctus st applé bas pincipal. Dans ctt bas, ls cofficints du tnsu A fomnt un matic diagonal dont ls élémnts diagonaux sont ls valus pops : [A] I,II,III = P T [A] 1,2,3 P = λ I λ II λ III (2.41) La matic d passag st donné pa : v I 1 v II 1 v III 1 P = v I 2 v II 2 v III 2 (2.42) v I 3 v II 3 v III 3 Enfin, on véifi facilmnt qu l tnsu A put s éci : A = λ I v I v I + λ II v II v II + λ III v III v III (2.43) C st c qu on appll la décomposition spctal du tnsu. Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 16

7 2.9 Fomul d intégation pa pati On établit n analys un fomul généal d intégation pa patis. On la appll ici sans démonstation. oit dans un pè catésin un domain ω délimité pa un fontiè ω (cla put êt n 3D un volum délimité pa un ou plusius sufacs, ou n 2D un sufac délimité pa un ou plusius coubs ou n 1D un sgmnt délimité pa dux points). oint F t G dux tnsus définis su ω t suffisammnt continus. oit, n, la nomal xtéiu à ω. On a F ijk... q G lmn... = q F ijk... G lmn... n q F ijk... G lmn... (2.44) ω ω La lation (2.44) st valabl qul qu soit l od ds tnsus F t G. L indic q put mêm égalmnt coïncid avc l un ds indics ijk... ou lmn... En paticulaisant l choix du tnsu F, on obtint ls fomuls impotants n patiqu d Gn-Ostogadski t d toks Fomul d Gn-Ostogadski oit un volum V d fontiè su laqull st défini n tout point éguli la nomal unitai xtéiu n. oit A, ( A, A) ds champs scalais (vctoils, tnsoils d od 2) continus t déivabls su V. On a : A nd = gadadv soit An i d = A,i dv (2.45) V V A nd = divadv soit A i n i d = A i,i dv (2.46) A nd = V V divadv soit ω A ij n j d = V V A ij,j dv (2.47) La notation A,i indiqu la déivé patill d A pa appot à la i èm coodonné. La fomul d Gn-Ostogadski pot aussi l nom d théoèm d la divgnc dans ctains ouvags. Cs fomuls sont obtnus à pati d la lation généal (2.44) n pnant F unitai, si bin qu sa déivé s annul dans l scond mmb d (2.44) Fomul d toks oit un sufac plan d nomal N t d contou C. oit t l vctu tangnt su c contou. On a la lation : a tdc = ( ot a) Nd soit a i t i dc = ǫ ijk a k,j N i d (2.48) C 2.11 ystèms d coodonnés cuviligns othogonals Pou établi t discut ls équations t pincips généaux d la mécaniqu ds miliux continus, ls coodonnés catésinns sont adéquats. Toutfois, pou la ésolution d ctains poblèms paticulis, il st péféabl d utilis ds coodonnés cuviligns (on dit qu un systèm d coodonnés st cuvilign si la bas local évolu d un point à l aut). C st paticulièmnt évidnt dans ls poblèms axisymétiqus où ls coodonnés cylindiqus (, θ, z) s imposnt (figu 2.1) t ls poblèms à syméti sphéiqu où ls coodonnés sphéiqus (, φ, θ) sont indiqués(figu 2.2). Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 17 C

8 Coodonnés catésinns En coodonnés catésinns ls composants d un vctu sont notés : a 1 [ a] = a 2 (2.49) a 3 t clls d un tnsu d od dux : gada = a = 2 a 1 [A] = A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 (2.50) a 1 + a 2 + a 3 = a,i i (2.51) + 2 a a 3 = a,ii (2.52) div a = a 1 + a 2 + a 3 = a i,i (2.53) ot a = ( a 3 a 2 ) 1 + ( a 1 a 3 ) 2 + ( a 2 a 1 ) 3 = ǫ ijk a k,j i (2.54) diva = ( A 11 + A 12 + A 13 ) 1 + ( A 21 + A 22 + A 23 ) 2 + (2.55) ( A 31 + A 32 + A 33 ) 3 = A ij,j i gad a = a a a a a a (2.56) a a a = a i,j i j x ( ) 3 a 2 a 1 = + 2 a a 1 x1 2 x2 2 x ( ) 2 a a a 2 x1 2 x2 2 x (2.57) ( ) 2 a a a 3 x1 2 x2 2 x3 2 3 = a i,jj i Coodonnés cylindiqus En coodonnés cylindiqus : x 1 = cos θ (2.58) x 2 = sin θ (2.59) x 3 = z (2.60) Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 18

9 3 z θ z θ 1 2 Figu 2.1 La bas local n chaqu point st donné pa : = cos θ 1 + sin θ 2 (2.61) θ = sin θ 1 + cosθ 2 (2.62) z = 3 (2.63) La matic d passag d la bas catésinn à la bas cylindiqu (bas pou pnd ls notations (2.3) )st donc : cos θ sin θ 0 P = sin θ cos θ 0 (2.64) En coodonnés cylindiqus ls composants d un vctu sont notés : a [ a] = a θ a z (2.65) t d un tnsu d od dux : [A] = A A θ A z A θ A θθ A θz A z A zθ A zz (2.66) Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 19

10 gada = a + 1 a = 1 div a = 1 (a ) + 1 ot a = ( 1 diva = ( A [gad a] (, θ, z) = ( A θ a θ θ + a z z (2.67) ( a ) a θ a a θ θ + a z z a z θ a θ z ) + ( a ( A z + 1 a a θ a z A θ z 2 (2.68) z a z ) θ + ( a θ 1 θ + 1 (A A θθ ) + A z z ) + A θθ (2.69) a θ + a θ ) z (2.70) θ + 2 A θ + A θz z ) θ + (2.71) A zθ θ + 1 A z + A zz z ) z 1 a a θ θ 1 a θ + a θ 1 a z θ Coodonnés sphéiqus En coodonnés sphéiqus : La bas local n chaqu point st donné pa : a z a θ z a z z (2.72) x 1 = sin θ sin φ (2.73) x 2 = sin θ cos φ (2.74) x 3 = cos θ (2.75) = sin θ sin φ 1 + sin θ cos φ 2 + cosθ 3 (2.76) φ = cos φ 1 sin φ 2 (2.77) θ = cos θ sin φ 1 + cos θ cos φ 2 sin θ 3 (2.78) La matic d passag d la bas catésinn à la bas sphéiqu st donc : sin θ sin φ cos φ cos θ sin φ P = sin θ cos φ sin φ cos θ cos φ (2.79) cos θ 0 sin θ En coodonnés sphéiqus ls composants d un vctu sont notés : a [ a] = a φ a θ (2.80) t d un tnsu d od dux : [A] = A A φ A θ A φ A φφ A φθ A θ A θφ A θθ (2.81) Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 20

11 gada = a + 1 a sin θ φ φ + 1 a = 1 2 (2 a ) sin 2 θ [ 1 div a = 2 sin θ (2 sin θa ) + ot a = diva = ( A [gad a] (, φ, θ ) = a θ θ (2.82) 2 a φ + 1 (sin θ a 2 2 sin θ θ θ ) (2.83) φ (a φ) + ] θ ( sin θa θ) (2.84) [ 1 2 sin θ φ (a θ) ] θ ( sin θa φ) + [ 1 a θ ] (a θ) φ + (2.85) [ 1 sin θ ( sin θa φ) a ] θ φ ( A φ + 1 sin θ + 1 sin θ ( A θ + 1 sin θ a a φ a θ Fomuls utils A φ φ + 1 A φφ φ + 1 A θφ φ a a φ sin θ φ 1 a φ + a + a θ sin θ φ 1 a θ a φ sin θ φ A θ θ + 1 (2A A φφ A θθ + A θ cotgθ)) + A φθ θ + 1 (3A φ + 2A φθ cotgθ)) φ + (2.86) A θθ θ + 1 (A θθcotgθ A φφ cotgθ + 3A θ )) θ 1 cotgθ cotgθ 1 1 a a φ a θ θ θ a θ + a θ (2.87) gad(ab) = agadb + bgada (2.88) div(a b) = adiv b + b gada (2.89) div( a b) = adiv b + (gad a) b (2.90) ot gada = 0 a (2.91) div ot a = 0 a (2.92) a = gad div a ot ot a (2.93) Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 21

12 3 ϕ θ ϕ θ 2 1 Figu 2.2 Écol Cntal d Nants : cous d mécaniqu ds miliux continus t discts pag 22