x x π. En déduire que le point J a pour affixe i.

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1 Asie juin EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i, j ).. Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ] ; + [ par : f () = ln. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ] ; + [. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O ; i, j ). La courbe C f est représentée en annee (à rendre avec la copie). a. Déterminer les limites de la fonction f en et en +. b. Calculer la dérivée f de la fonction f. c. En déduire les variations de la fonction f.. Étude d une fonction g (ln ) On considère la fonction g définie sur l intervalle ] ; + [ par :. On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O ; i, j ). a. Déterminer la limite de g en, puis en +. (ln ) ln Après l avoir justifiée, on utilisera la relation : = 4. b. Calculer la dérivée g de la fonction g. c. Dresser le tableau de variation de la fonction g. 3. a. Démontrer que les courbes C f et C g possèdent deu points communs dont on précisera les coordonnées. b. Étudier la position relative des courbes C f et C g. c. Tracer sur le graphique de l annee (à rendre avec la copie) la courbe C g. 4. On désigne par A l aire, eprimée en unité d aire, de la partie du plan délimitée, d une part par les courbes C f et C g, et d autre part par les droites d équations respectives = et = e. En eprimant l aire A comme différence de deu aires que l on précisera, calculer l aire A. EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Dans le plan complee on considère les points A, B et C d affies respectives a =, b = 5 i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, etérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annee.. Donner l écriture complee de la rotation r de centre A et d angle π. En déduire que le point J a pour affie 7 + i. On admettra que l affie du point K est 6 i.. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur. 3. a. Calculer les affies des points S et T. b. Déterminer l affie du point U. c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU. 4. Déterminer une mesure de l angle ( JC, AU ). 5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d affie v =,75 +,864 i. a. Établir que les points A, V et U sont alignés. b. Que représente la droite (AU) pour l angle BVC? Asie juin

2 EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats On considère un cube ABCDEFGH, d arête de longueur. On note I le point d intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).. On se place dans le repère ( D ; DA, DC, DH ). Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : A( ; ; ) B( ; ; ) C( ; ; ) D( ; ; ) E( ; ; ) F( ; ; ) C( ; ; ) H( ; ; ) a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à 3 3. e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AFH?. Dans la suite de cet eercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Définitions : un tétraèdre est dit de type si ses faces ont même aire ; il est dit de type si les arêtes opposées sont orthogonales deu à deu ; il est dit de type 3 s il est à la fois de type et de type. Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH. EXERCICE 4 5 points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité On admet que la durée de vie (eprimée en années) d un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi eponentielle de paramètre, (, strictement positif ), c est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l année t (t positif ) s eprime par : F(t ) = p(x t ) = p([ ; t ]) =. Restitution organisée de connaissances Pré-requis : a. p( A B) p B (A) = p( B) (où A et B sont deu évènements tels que p(b) ) ; b. p( A ) = = p(a) (où A est un évènement) ; c. p([a ; b]) = F(b) F(a) (où a et b sont des nombres réels positifs tels que a b). F( t + s) F( t) Démontrer que, pour tout nombre réel positif s,, on a : p [t ; + [ ([t ; t + s]) =, et que p [t ; + [ ([t ; t + s]) est indépendant F( t) du nombre réel t. Pour la suite de l eercice, on prendra λ =,.. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deu premières années est égale à e,4. 3. Sachant que le capteur n est pas tombé en panne au cours des deu premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu il soit encore en état de marche au bout de si ans? 4. On considère un lot de capteurs, fonctionnant de manière indépendante. Dans cette question, les probabilités seront arrondies à la siième décimale. a. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait eactement deu capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deu premières années. b. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deu premières années. t λ e λ d Asie juin

3 EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Partie A : Restitution organisée de connaissances. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l unicité de cette décomposition).. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 69. Partie B Dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ), on considère les surfaces Γ et C d équations respectives : Γ : z = y et C : + z =.. Donner la nature de la surface C et déterminer ses éléments caractéristiques.. Points d intersection à coordonnées entières des surfaces Γ et C a. Démontrer que les coordonnées ( ; y ; z) des points d intersection de Γ et de C sont telles que : ( + y ) =. b. En déduire que Γ et C ont deu points d intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. 3. Points d intersection à coordonnées entières de Γ et d un plan Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par P n le plan d équation z = n a. Déterminer l ensemble des points d intersection de Γ et du plan P dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. Pour la suite de l eercice, on suppose n. b. Vérifier que : (n n + ) (n + n + ) = n c. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n, n n est pas premier. d. En déduire que le nombre de points d intersection de Γ et du plan P n dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8. e. Déterminer les points d intersection de Γ et du plan P 5 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. Asie juin 3

4 Annee (Eercice ) Annee (Eercice ) Asie juin 4

5 CORRECTION EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats. Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ] ; + [ par : f () = ln. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ] ; + [. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O ; i, j ). La courbe C f est représentée en annee (à rendre avec la copie). a. lim = + et lim ln = donc lim f () = lim + > ln > = donc lim + f () = > u( ) = ln alors u '( ) = ln b. Soit donc f () = ln = v( ) = alors v '( ) = > donc f () a le même signe que ln or ln > ln < < < e c. e + f () + f e. Étude d une fonction g (ln ) On considère la fonction g définie sur l intervalle ] ; + [ par :. On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O ; i, j ). a. f () = (ln ) or lim = + et lim (ln ) = + donc lim g() = + ln Soit X = > > = ln donc ln = ln donc (ln ) = 4 ( ln ) donc, lim + X = + et X lim + ln X X = donc lim g() = + > (ln ) ln = 4 b. u( ) = (ln ) alors u '( ) = ln ln (ln ) Soit donc g () = ( ln ) ln = v( ) = alors v '( ) = c. e + ln + + ln + + f () + f + 4 e - 3. a. f () = g() > et ln (ln ) = > et ln = (ln ) ln = ou ln = = ou = e Les courbes C f et C g possèdent deu points communs de coordonnées ( ; ) et (e ; e ). b. f () g() = ln (ln ) ln = ( ln ) e + ln + + ln + + f () g() + C f en dessous de C g point C f au dessus point C f en dessous d intersection de C g d intersection de C g. Asie juin 5

6 4. Sur [ ; e], la courbe C f au dessus de C g donc l aire A est la différence des aires bleues et rouge. e e e A = f ( ) d g ( ln ( ln ) ) d = d Soit u() = ln alors u () = ln donc ( ln ) = u () u () u () [u()] Une primitive de u () u () u () [u()] 3 est la fonction [ u( )] [ u( )] 3 ln ( ln ) Une primitive de 3 est la fonction F : [ln( )] [ln( )] 3 3 donc A = F(e) F() = [ln(e)] [ln(e)].. 3 = 3 = 6 u a Asie juin 6

7 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats π i. L écriture complee de la rotation r de centre A et d angle est z a = e π (z a) soit z = i z a i + a donc z = i z i + le carré ABIJ est indirect donc J est l image de B dans la rotation de centre A et d angle π donc z J = i b + i z J = 5 i + donc le point J a pour affie z = 7 i.. BK a pour coordonnées ( ; ) et JC a pour coordonnées ( ; ) donc BK. JC = + ( ) ( ) = donc les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires BK = ( ) + ( ) = 5 et JC = + ( ) = 5 donc les segments [BK] et [JC] ont la même longueur 5 = i 9 3. a. S est le centre du carré ABIJ donc est le milieu de [AI] donc l affie de S est = + i T est le centre du carré AKLC donc est le milieu de [CK] donc l affie de T est 4 6 i = 3 i b. N est l image de C dans la rotation de centre B et d angle π donc z N = i (c b) + b = i (4 5 i) + 5 i = i U est le centre du carré BCMN donc est le milieu de [CN] donc z U = i = i c. AU a pour coordonnées (6,5 ; 4,5 ) et ST a pour coordonnées (4,5 ; 6,5 ) donc AU. ST = 6,5 4,5 + 4,5 ( 6,5) = donc les droites (AU) et (ST) sont perpendiculaires donc la droite (AU) est une hauteur du triangle STU. u a 4. ( JC, AU ) = arg or u a = i + = i et c j = i c j u a i (3 + 9 i) ( + i) donc = = c j i + 4 u a i + 99 i 8 π π = = ( + i ) or arg ( + i) = + k π (k Z) donc ( JC, AU ) = + k π (k Z) c j a. AV a pour coordonnées (,48 ;,864) et AU a pour coordonnées (6,5 ; 4,5) donc AU = 5 4 AV donc les points A, V et U sont alignés. b. Les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et se coupent au point V donc l angle BVC est droit. π ( JC, AU ) = + k π (k Z) 4 or V appartient à (JC) et les points A, V et U sont alignés. π ( JC, AU ) = + k π (k Z) 4 I N π donc ( VC, VU ) = + k π (k Z) (on ne 4 peut pas être plus précis sauf à prouver que V appartient à [JC] et à [AU]) donc la droite (AU) est une bissectrice de l angle BVC. J S B U M V A o C T K L Asie juin 7

8 EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats. On se place dans le repère ( D ; DA, DC, DH ). Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : A( ; ; ) B( ; ; ) C( ; ; ) D( ; ; ) E( ; ; ) F( ; ; ) C( ; ; ) H( ; ; ) = t a. CE a pour coordonnées ( ; ; ) donc une représentation paramétrique de la droite (EC) est y = t avec t R.. z = t b. Une équation cartésienne du plan (AFH) est de la forme a + b y + c z = d = a + d = a = d Ce plan passe par A, F et H donc a + b + c + d = b = d c + d = c = d Une équation cartésienne du plan (AFH) est y + z = = t c. I le point d intersection de la droite (EC) et du plan (AFH) donc ses coordonnées vérifient y = t et y + z = z = t donc t + t + t = donc t = 3 et I a pour coordonnées ; ; IE a pour coordonnées ; ; 3 3 3, le vecteur n de coordonnées ( ; ; ) est normal au plan (AFH) et 3 IE = n donc la droite (IE) est perpendiculaire en E au plan (AFH), I appartient à ce plan donc le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). d. la distance du point E au plan (AFH) est égale EI or EI = = donc EI = e. HI a pour coordonnées ; ;, le vecteur AF a pour coordonnées ( ; ; ) donc HI. AF = + =, donc la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). On montrerait de même que la droite (AI) est perpendiculaire à la droite (HF) donc I est le point d intersection de deu hauteurs du triangle AFH, donc I est l orthocentre du triangle AFH.. L aire de la face AEF du tétraèdre EAFH est égale à AE EF = Le volume du tétraèdre EAFH est égal à 3 HE A AEF soit 3 = 6 3 La hauteur issue de E du tétraèdre EAFH est égale à EI donc à 3 donc le volume du tétraèdre EAFH est égal à 3 EI A AFH soit A AFH = 6 donc A 3 AFH = Le tétraèdre EAFH a deu faces AFH et AEF d aires différentes donc il n est pas de type donc pas de type 3. La droite (EH) est perpendiculaire au plan (AEF) donc est orthogonale à toute droite de ce plan donc l arrête EH du tétraèdre est orthogonale à l arrête AF. La droite (EF) est perpendiculaire au plan (AEH) donc est orthogonale à toute droite de ce plan donc l arrête EF du tétraèdre est orthogonale à l arrête AH. La droite (AE) est perpendiculaire au plan (EFH) donc est orthogonale à toute droite de ce plan donc l arrête AF du tétraèdre est orthogonale à l arrête FH. Les arêtes opposées du tétraèdre EAFH sont orthogonales deu à deu donc le tétraèdre EAFH est de type. Asie juin 8

9 EXERCICE 4 5 points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité F(t ) = p(x t ) = p([ ; t ]) = t λ λ e d = e λ t donc p (X t) = F(t) = e λ t.. Restitution organisée de connaissances p ([ t ; + t + s ] [ t ; + [) Pour tout nombre réel positif s, on a : p [t ; + [ ([t ; t + s]) = = p ([ t ; + [) F( t + s) F( t) or p( [t ; t + s ] ) = F(t + s) F(t) donc p [t ; + [ ([t ; t + s]) =, F( t) p ([ t ; + t + s ]) p ([ t ; + [) F(t + s) = e λ (t + s) et F(t) = e λ t donc F(t + s) F(t) = e λ t e λ (t + s) e donc p [t ; + [ ([t ; t + s]) = p [t ; + [ ([t ; t + s]) est indépendant du nombre réel t. e e λ t λ ( t + s ) λ t = e λ s.. La probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deu premières années est égale à : p([ ; + [) = e, = e,4. 3. Sachant que le capteur n est pas tombé en panne au cours des deu premières années, la probabilité qu il soit encore en état de marche au bout de si ans est p [ ; + [ ([6 ; + [) = e, 4 = e,8, On a une succession de epériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d elles a deu issues : le capteur ne tombe pas en panne au cours des deu premières années (p = e,4 ) le capteur tombe en panne au cours des deu premières années (q = e,4 ) donc la variable aléatoire qui compte le nombre de capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deu premières années suit une loi binomiale de paramètres ( ; e,4 ). a. p(x = ) = p q =,8 b. p(x ) = p(x = ) = ( e,4 ), Asie juin 9

10 EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Partie A : Restitution organisée de connaissances. n est un entier strictement supérieur à, donc n Soit (P n ) la propriété : Tout nombre entier k compris entre et n est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers est un nombre premier donc la propriété (P ) est vraie. Montrons que pour tout n si (P n ) est vraie alors (P n + ) est vraie si (P n ) est vraie alors pour tout entier k compris entre et n, soit k est premier soit k peut se décomposer en produit de facteurs premiers n + est soit un nombre premier soit il admet au moins un diviseur premier. si n + est premier la propriété est vérifiée si n + n est pas premier, alors il admet au moins un diviseur premier p donc il eiste un entier q tel que n + = p q n + n + p donc q or n donc n donc q est un entier compris entre et n donc d après l hypothèse de récurrence, q se décompose en produit de facteurs premiers donc n = p q se décompose en produit de facteurs premiers La propriété est héréditaire donc est vraie pour tout nombre entier strictement supérieur à.. 69 = Partie B. La surface C est un cylindre d ae (Oy) de rayon. z = y. a. les coordonnées ( ; y ; z) des points d intersection de Γ et de C vérifient : + z = soit : ( + y ) =. donc : + y = b. les coordonnées ( ; y ; z) des points d intersection de Γ et de C vérifient : ( + y ) =. Si ces coordonnées sont des nombres entiers relatifs alors divise donc = ou et + y = soit y =, z = y donc dans les deu cas z =. Il eiste deu points d intersection de Γ et de C : A ( ; ; ) et B( ; ; ). 3. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par P n le plan d équation z = n a. Déterminer l ensemble des points d intersection de Γ et du plan P dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. Pour la suite de l eercice, on suppose n. z = 5 P est le plan d équation z = 5 donc les coordonnées les points d intersection de Γ et du plan P vérifient : z = y Les coordonnées sont des nombres entiers relatifs alors et y sont tels que y = 5 donc et y divisent 5, d où les possibilités : 5 5 y 5 5 Les points d intersection à coordonnées entières de Γ et du plan P sont les points C ( 5 ; ; 5) D ( ; 5 ; 5) E ( ; 5 ; 5) et F ( 5 ; 5). b. (n n + ) (n + n + ) = (n + ) ( n) = n n n = n c. Si le nombre entier naturel n, alors n donc (n ) + donc n n +, de même n + 3 donc (n + ) + donc n + n +, n admet deu diviseurs positifs (n n + ) et (n + n + ), aucun d eu ne peut être égal à donc ne peut être égal à n donc n admet un diviseur autre que et lui-même donc n n est pas premier. d. 4 z = n + 4 P est le plan d équation z = 5 donc les coordonnées les points d intersection de Γ et du plan P vérifient :. z = y donc y = n = (n n + ) (n + n + ), donc divise (n n + ) (n + n + ) parmi ces diviseurs on a ; (n 4 + 4) n (n n + ) (n n + ) (n + n + ) (n n + ) y (n 4 + 4) n (n + n + ) (n n + ) (n n + ) (n n + ) On a donc au minimum 8 points donc le nombre de points d intersection de Γ et du plan P n dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8. e = 69 = Les diviseurs positifs de 69 sont ; 7 ; 37 ; 69 donc y les points d intersection de Γ et du plan P 5 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs sont les points de coordonnées : ( 69 ; ; 69) ; ( 37 ; 7 ; 69) ; ( 7 ; 37 ; 69) ; ( ; 69 ; 69) (69 ; ; 69) ; (37 ; 7 ; 69) ; (7 ; 37 ; 69) ; ( ; 69 ; 69) Asie juin