Algèbre. 1. Généralités. Leçon N 3 : Les équations du premier degré à une inconnue Présentation d une équation du 1 ier degré à une inconnue

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1 Algèbre Leçon N 3 : Les équations du premier degré à une inconnue Introduction Les pré-requis de cette leçon sont : les fractions, les relations dans IR... Les objectifs sont les suivants : - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue. - Identifier une inconnue dans un problème donné. - Résoudre un problème du premier degré. Pour trouver la solution de certains problèmes, il faut utiliser une méthode dite «algébrique» qui amène à résoudre des équations ou des inéquations. Nous allons voir comment procéder dans ce chapitre. 1. Généralités 1.1- Présentation d une équation du 1 ier degré à une inconnue Découverte : Observons la pyramide de nombre suivante : On peut alors remarquer que les deux derniers étages de cette pyramide vérifient la relation suivante : 8 = De la même manière, on peut aussi constater que le 2 ième et le 3 ième étage vérifient aussi cette propriété : 27 = et 21 = Cette propriété se vérifie à tous les niveaux Nous allons maintenant construire une pyramide ayant la même propriété 309 x 1 13 x 2 x 3 1) Complétons la case x 1, pour cela nous savons que x 1 vérifie la relation : x 1 = C est une équation du premier degré à une inconnue x 1 x 1 = 309 = 0 donc x 1 = 0 2) Complétons la case x 2, pour cela nous savons que x 2 vérifie la relation : 13 + x 2 = 309 C est une équation du premier degré à une inconnue x 2 x 2 = = 166 donc x 2 = 166 3) Complétons la case x 3, pour cela nous savons que x 3 vérifie la relation : x 3 = 0 C est une équation du premier degré à une inconnue x 2 X 3 = = 238 donc x 3 = 238 On en arrive finalement à : Exercice : Compléter la pyramide suivante : : Les équations du premier degré Cours 1/5

2 Correction : Découverte : 1.2- Propriétés des calculs Soient les deux nombres suivants : x = 7 et y = 28 1) Comparons x et y : x = et y = on a donc y x = 0 donc donc y = x 2) Comparons x +2 et y +2 : x + 2 = = 36 y + 2 = = 36, on a donc y x = 0 donc y = x 3) Comparons x 1 et y -1 : x 1 = 28 = 2 y 1 = 28 =2, on a donc y x = 0 donc y = x Propriété : Toute égalité est conservée lorsque l on ajoute ou que l on retranche le même nombre au deux membres de l équation. ) Comparons 2x et 2y : 2x = 2 28 = 56 2y = 2 1 = 56, on a donc 2y= 2x 5) Comparons -2x et -2y : -2x = = y = -2 1 = - 56, on a donc -2y= -2x 6) Comparons x 3 et y 3 : X 3 = 28 3 = 28 y 12 3 = 28 3 = 28 12, on a donc X 3 = y 3 Propriété : Toute égalité est conservée lorsque l on multiplie ou l on divise les deux membres de cette équation par un même nombre non nul. 2. Equation du 1 ier degré à une inconnue : Il existe deux méthode de résolution des équations du premier degré à une inconnue, l une fait appel aux calculs l autre fait appel à la représentation graphique de cette équation 2.1- Résolution algébrique Exemple de résolution : Résoudre 3x = On a alors x = 3, l ensemble des solutions, qui est une solution unique, est noté S = { 3 } On vérifie ensuite la solution trouvée en l appliquant à l équation précédente : 3 3 = OK la relation est vérifiée la solution est correcte : Les équations du premier degré Cours 2/5

3 Formule générale : Lorsque l on a une équation du 1 ier degré à un inconnue telle que a x = b - avec a 0 et b 0 alors l ensemble des solutions est une solution unique qui vaut x = b a et que l on note : S = {b a }. - avec a 0 et b = 0 alors l ensemble des solutions est une solution unique qui vaut x = 0 et que l on note : S = {0}. - avec a = 0 et b = 0 alors l ensemble des solutions est l ensemble que l on note : S = IR. Exemple de résolution : Résoudre 3 (x+2) = 0 on développe : 3x + 6 = 0 on essaie de retrouver la formule générale de la forme ax = b : 3x = -6 on applique la formule générale afin de trouver x : x = = -2 on en déduit l ensemble des solutions : S = {-2} on vérifie le résultat que nous venons de trouver (sur l équation initiale) : 3 (-2+2) = 0 Méthode :. Regrouper les termes où figure l inconnue dans le premier terme de l égalité.. Regrouper les termes où figurent des nombres connus dans le second membre de l équation.. Appliquer la formule générale.. Vérifier le résultat trouvé. Exemple : Résoudre 2t + 1= -3t + on transpose 3t dans le premier membre de l égalité en changeant le signe : 2t+ 3t + 1 = on transpose +1 dans le second membre de l égalité en changeant le signe : 2t + 3t = 1 on en arrive à la formule générale : 5t = 3 on applique la formule générale afin de trouver t : t = 3 5 on en déduit l ensemble des solutions : S = { 3 5 } on vérifie le résultat que nous venons de trouver (sur l équation initiale) : = = = 11 5 Exercice : Résoudre les équations suivantes : 5x + 1= - 2(x+)=0 5(x+1) 2(x+3) = 10(x-1) 2t + 1 = -t (t-1) = -t 2z+ = 3z Résolution graphique Problème : Résoudre graphiquement l équation 3(x-1) = 3 Résolution : : Les équations du premier degré Cours 3/5

4 3(x-1) = 3 soit 3x 6 = 0 soit x - 2 = 0 On trace alors dans un repère orthonormal la droite d équation y = x 2 et on cherche l abscisse du point d intersection de cette droite avec l axe des abscisses. x 0 3 1,5 1 0,5 0-0, ,5-2 -2,5 y -2 1 La droite coupe l axe des abscisses pour x = 2 donc S = {2} Important : Pour résoudre graphiquement une équation du 1 ier degré à une inconnue, on se ramène à la forme : ax + b = 0. On trace alors la droite d équation y = ax + b. L ensemble solution est alors l intersection de cette droite avec l axe des abscisses. 3. Résolution d un problème : 3.1- Exemple Un restaurateur accepte de faire un banquet pour 9 F par convive. Mais 5 des invités sont absents le jour du repas et ne participent pas aux frais ; de telle sorte que les invités présents doivent alors payer 10 F au lieu de 9 F. Quel était alors le nombre prévu d invités? Pour comprendre le problème 1) Quelle est l information que nous recherchons dans ce problème? L information que nous recherchons dans ce problème est le nombre d invité qui participent à ce repas. 2) Ainsi l inconnue x désigne : L inconnue x représente donc le nombre d invités. Cas N 1 Cas N 2 Nombre d'invités x x - 5 Prix par invités ) Remplir le tableau suivant : Prix total 9 (x) 10 (x-5) ) Avec cette inconnue x, exprimer le prix total P qu auraient payés les convives si ils avaient été au total? Grâce aux données fournies par l énoncé on peut en déduire que : P = 9 x 5) Avec cette inconnue x, exprimer le prix total P qu ont effectivement payés les convives alors que le nombre total est diminué de 5 personnes? Grâce aux données fournies par l énoncé on peut en déduire que : P = 10 (x 5) 6) Quelle relation existe-t-il entre P et P? Grâce aux données fournies par l énoncé on peut en déduire que P = P 7) Quelle équation du 1 ier degré peut-on tirer de cette dernière information? On peut en déduire que 9 x = 10 (x 5) 8) Résoudre cette équation 9 x = 10 (x 5) 9x = 10x = 10x-9x on en déduit : 10x = 520 Soit aussi x = 52 Soit enfin S = {52} Le nombre d invités est donc de 52 personnes. 9) Vérifier le résultat = = 888 On a donc bien vérifié la solution que nous proposons : Les équations du premier degré Cours /5

5 3.2- Méthode générale Méthode :. Choix de l inconnue.. Mise en équation du problème.. Résolution de l équation.. Vérification du résultat proposé : Les équations du premier degré Cours 5/5