Modélisations du risque en assurance automobile. Michel Grun-Rehomme Université Paris 2 et Ensae

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1 Modélsatons du rsque en assurance automoble Mchel Grun-Rehomme Unversté Pars 2 et Ensae Emal: 1

2 Modélsatons du rsque en assurance automoble La snstralté est mesurée en terme de fréquence et de coût. 1. Pour les fréquences Processus de comptage Modèles à nflaton de zéros 2. Pour les montants : geston des snstres graves Approche globale (écrêtage sur l ensemble du portefeulle) Méthodes de détecton : algébrques, graphques, probablstes Théore des valeurs extrêmes Approche locale Dans les classes de rsque (ou cases tarfares) à partr de la prme pure 2

3 Fréquences (1) 1. Lo de Posson Sot le nombre d accdents responsables déclarés,! ) / ( e X Y P! ) ( e Y P 0,1,2... Y ' ln, X 3

4 Fréquences (2) FREQUENCY nbs n 4

5 Fréquences (3) 1 0,8 0,6 0,4 Posson Données 0,

6 Fréquences (4) E Pour une lo de Posson : ( / ) ( / ) X X Var X e ' Dans l exemple, moenne=0,32 et varance =0,84, donc sur dsperson. 6

7 Fréquences (5) 2. Lo bnomale négatve Avec X Y P 1 ) / ( ) (1 ) / (, ) / ( ' X X Var e X E / 1 7

8 Fréquences (6) 3. Modèles «Zero-Inflated» ZIP et ZINB Hpothèse : la populaton pour laquelle Y=0 est composée de deux sous populatons: - Une populaton qu prend la décson de partcper à l événement ou l expérence, c est-à-dre qu effectue une déclaraton d accdent dans le cas où celu c se produt («clams»). - Une populaton qu ne déclare pas un snstre responsable à son assureur («accdents»). 8

9 Fréquences (7) Références (ZIP, ZINB) - Cragg (1971), Lambert (1992), Greene (1994) - Assurance automoble: Lemare J. (1977), la sof de bonus, Astn Bulletn, 9, Boucher, Denut, Gullen (2006), Astn Bulletn, 36, Boucher, Denut, Gullen (2008), Varance, 2(1), Boucher, Denut, Gullen (2009), J. of rsk and Insurance Grun-Rehomme, Vasechko, Benlagha, Modélsaton de la fréquence des snstres graves en assurance automoble, Bulletn Franças d Actuarat, octobre 2009, 9(18),

10 Fréquences (8) Idée (ZIP, ZINB) On suppose donc que la varable aléatore Y observée est le produt d une lo bnare B et d une lo de Posson (modèle ZIP) ou bnomale négatve(modèle ZINB) : * La varable aléatore nobservée B est modélsée par une régresson logstque pour estmer la probablté p(b)=0 Pour un assuré, b=0, s l assuré n a pas déclaré d accdents et b=1 dans le cas contrare. La varable aléatore Y Y BY * correspond au modèle de Posson (ou au modèle bnomal négatf) et est utlsée pour prédre la valeur de Y pour les assurés qu ont déclaré un snstre 10

11 Fréquences (9) Plus précsément, pour un modèle ZIP, s on note q la probablté de b=0 (pas de snstre déclaré) et le paramètre de la lo de Posson pour la fréquence des snstres, qu dépend comme précédemment des varables explcatves X, alors : P( Y 0/ X ) q (1 q ) e q ' exp( X ) 1 exp( X ) ' et pour non nulle, on a : P( Y / X ) (1 q ) e! La probablté du nombre de snstres condtonnellement à b 1 est égale * à la probablté, non condtonnelle, de la varable nobservée 11

12 Fréquences (10) Pour un modèle ZINB q q X Y P 1 1,1 mn 1 ) / ( 12

13 Fréquences (11) Test de Vuong (1989) Modèle de Posson vs ZIP Lo BN vs ZINB H H : E m : E m m f log f ) Pr( _ ZIP) log ) Pr( _ Posson) S l'hpothèse nulle est vrae, la valeur moenne du rapport de vrasemblance devrat être égale à zéro. S l hpothèse complémentare est vrae, la valeur moenne du rapport de vrasemblance devrat être sensblement plus grande que zéro. 1 2 ( ( 13

14 Fréquences (12) Comparason des modèles (emprquement) Données : observatons Varables : - Caractérstques du conducteur (sexe, age, professon, ancenneté de perms, Bonus-Malus, tpe) - Caractérstques du véhcule (ancenneté, pussance) - Contrats (RC, DV) - Snstres (nombre, montant, responsablté) 14

15 Fréquences (13) Moenne Médane Ecart tpe Q1 Q3 Ancenneté de perms Age du conducteur Bonus-Malus Ancenneté du véhcule Pussance du véhcule

16 Fréquences (14) Comparason des modèles (Posson et NB), (SAS) Modèles Posson Bnomal négatf Varables Coeffcent (**) Ecart-tpe Coeffcent (**) Ecart-tpe Constante Tpe1 (*) DV DV DV Ancenneté du véhcule Ancenneté de perms CRM Scale

17 Fréquences (15) Crtères Posson Bnomal négatf Valeur Valeur/DL Valeur Valeur/DL D /( n p) X /( n p) Log-vrasemblance

18 Comparason ZIP et ZINB (16), stata Modèles ZIP ZINB Fréquence des Coeffcent Erreur Z Coeffcent Erreur Z * snstres ( Y ) tpe tpe CRM Tpe DV DV DV Ancenneté de perms Age du conducteur Ancenneté du véhcule Inflaton de Zéros (B) CRM DV Ancenneté de perms Ancenneté du véhcule Constante Lnalpha Alpha

19 Conclusons (1) Les 4 modèles sont cohérents : augmentaton du nombre de snstres avec le CRM, dmnuton du nombre de snstres avec l ancenneté du perms de condure, l ancenneté du véhcule et lorsque le conducteur est l assuré. Les tests montrent que le modèle ZINB est le melleur 19

20 Modèles Bnomal négatf ZINB Varables Coeffcent. Tpe DV DV DV Ancenneté du véhcule Ancenneté de perms Age du conducteur n.s CRM

21 Conclusons (2) Dans la premère équaton (modèle de comptage du ZINB) l âge du conducteur devent une varable sgnfcatve au seul de 5% avec un coeffcent postf, alors que cette varable n état pas sgnfcatve dans le modèle bnomal négatf. Une sous populaton pour laquelle le nombre de snstres augmente avec l âge: pour les jeunes conducteurs, de 18 à 21 ans, l espérance de la varable Y (nombre de snstres) augmente avec l âge. Elle prend les valeurs suvantes : 0.62 (pour 18 ans), 0.88, 0.97 et 1.10 (pour les 21 ans). 21

22 Conclusons (3) Plus le score d un assuré, dans la deuxème équaton, est élevé, plus l est vrasemblable que l assuré n a pas eu de snstres non déclarés. La probablté que l assuré a eu un snstre responsable non déclaré, dmnue avec l ancenneté du véhcule et l ancenneté de perms, et augmente avec le CRM. De plus, le modèle ZINB (comme le modèle ZIP), met en évdence la partcularté de la garante DV2 (avec une franchse moenne). On peut penser que les assurés qu chosssent ce contrat DV2 sont plus encln à déclarer un snstre, malgré un CRM parfos élevé. 22

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