GMP2 / Mathématiques / S3 / C. GERINI / Cours 1

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1 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours CH I ESPACES VECTORIELS Ds ce qu sut, K = R, +, ou K = C, +,, ou K est u corps commuttf quelcoque mu d ue dto + ; d ue multplcto, et dot l élémet eutre pour l ddto est oté lors O ou O K I ESPACES VECTORIELS COMBINAISONS LINEAIRES I - DEFINITION U K-espce vectorel ou espce vectorel sur K est u esemble E o vde mu : A/ due lo de composto tere otée ddtvemet, cest à dre ue pplcto de EE ds E E E E u, v u + v B / due lo de composto etere pr les élémets de K, otée multplctvemet, cest à dre ue pplcto de KE ds E K E E λ,u λu ces deu los ou opértos vérft 8 omes : Aomes reltfs à l lo tere : Assoctvté, cest à dre que pour tous élémets u, v et w de E : u + v + w = u + v + w b Il este u élémet eutre, cest à dre qul este u élémet de E, oté 0, vérft pour tout élémet u de E : u + o = o + u = u S l y mbgüté, o ote ce vecteur ul O E ou o c Tout élémet v de E dmet u symétrque, cest à dre qul este u élémet v de E tel que v + v = v + v = O Cet élémet v est oté v et s ppelle vecteur opposé de v d Commuttvté, cest à dre que pour tous élémets u et v de E : u + v = v + u Aomes reltfs à l lo etere Pour tous élémets λ et μ de K, pour tout élémet v de E : λμv = λμv b Sot, lélémet eutre de l multplcto de K Pour tout élémet v de E : v = v 3 Aomes lt les deu los : double dstrbutvté Dstrbutvté pr rpport à lddto des sclres : Pour tout λ et μ de K et pour tout élémet u de E : λ + μu =λ u + μu b Dstrbutvté pr rpport à lddto des vecteurs : Pour tout élémet λde K et pour tous élémets u et v de E : λu + v = λu + λv I- REMARQUES Les élémets du corps K sot ppelés sclres, otés e géérl vec des lettres grecques α, β, γ, Le corps K est ppelé le corps des sclres Les élémets de lespce vectorel serot ppelés vecteurs ou élémets de E et otés vec des lettres ltes u, v, U, V,, y, f, g ps forcémet surmotées d ue flèche I-3 THEOREME FONDAMENTAL : λ u = O E ss λ = O K ou u = O E

2 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours I-4 COMBINAISON LINEAIRE DE VECTEURS Sot u eter supéreur ou égl à et u, u,, u vecteurs du K-espce vectorel E Tout vecteur de l forme α u + α u + + α u où α, α,, α sot des élémets de K, est ppelé combso lére CL des vecteurs u, u,, u Les sclres α, α,, α sot ppelés coeffcets de l combso lére I-5 PARTIES STABLES : Pour ue lo tere : Sot E u esemble mu due lo de composto tere, otée +, et F ue prte o vde de E ; F est dte stble pour l lo tere s pour tout couple u, v délémets de F l somme u + v pprtet à F u F, v F : u + v F Pour ue lo etere : Sot E u esemble mu due lo de composto etere de dome dopérteurs K et F ue prte o vde de E ; F est dte stble pour l lo etere s pour tout élémet λ de K et pour tout élémet u de F, λu pprtet à F λ K, u F : λu F I SOUS-ESPACES VECTORIELS I- THEOREME ET DEFINITION DUN SOUS-ESPACE VECTORIEL SEV Sot E u K-espce vectorel, et sot F ue prte de E telle que : F est o vde F est stble pour lddto F est stble pour l multplcto pr u sclre Alors l prte F, mue de ces deu los, ue structure de K-espce vectorel : F est ppelée sous-espce vectorel de E I- CARACTERISATION DUN SEV Théorème Sot E u K-espce vectorel et F ue prte de E Alors F est u sous-espce vectorel de E s et seulemet s : F est o vde Toute combso lére de deu élémets de F pprtet à F : u F, v F, α K, β K, αu + βv F Ce qu revet à dre que : Ue prte o vde F du K-espce vectorel E est sous-espce vectorel de E s et seulemet s elle est stble pr combso lére Cest-à-dre : toute CL délémets de F pprtet à F I-3 SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE PARTIE FINIE Théorème : sous-espce egedré pr ue prte fe Sot A ue prte fe du K-espce vectorel E, lors lesemble des combsos léres des vecteurs de A est u sous-espce vectorel de E ; cest le plus pett sous-espce vectorel de E u ses de lcluso cotet A : utremet dt, l est clus ds tout sous-espce vectorel cotet A Ce sous-espce vectorel est ppelé sous-espce egedré pr A et o peut le oter VectA Comme A est fe, sot p le ombre d élémets de A et v, v,, v p les vecteurs costtut A U vecteur u de E pprtet à VectA ss l peut s écrre comme CL de v, v,, v p, cest-à-dre ss l este λ, λ,, λ p ds K tels que u = λ v + λ v + + λ p v p Théorème : sous-espce egedré pr ue prte quelcoque o vde Sot A ue prte o vde du K-espce vectorel E O déft le sous-espce vectorel egedré pr A, comme étt lesemble des combsos léres délémets de A :

3 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 3 u VectA u = λ v + λ v { N*, v, v,,v A, λ, λ + +λ v },, λ K tels que: O démotre que cest be u sous-espce vectorel de E et que cest le plus pett sous-espce vectorel de E cotet A u ses de lcluso CH II APPLICATIONS LINEAIRES Ds ce qu sut, K = R, +, ou K = C, +,, ou K est u corps commuttf quelcoque mu d ue dto + ; d ue multplcto, et dot l élémet eutre pour l ddto est oté lors O ou O K II - DEFINITION Soet E et F deu K-espces vectorels; ue pplcto f de E ds F est ppelée pplcto lére s elle stsft u deu codtos suvtes : Pour tous vecteurs u et v de E : f u + v = f u + f v Pour tout vecteur u de E et pour tout sclre k de K, f ku = kf u Lesemble des pplctos léres de E ds F est oté L E,F ou L K E, F II- PROPRIETES Soet E et F deu K-espces vectorels ; s f est ue pplcto lére de E ds F lors fo E = O F et, pour tout vecteur u de E, f-u = - fu II-3 REMARQUE METHODOLOGIQUE : II DEFINITION ET PREMIERE PROPRIETES Sot f ue pplcto du espce vectorel E ds u espce vectorel F Lorsquo cherche à répodre à l questo suvte : " f est-elle lére? ", o peut rpdemet détermer fo E : s fo E est ps égl à O F, lors o peut coclure que f est ps lére, s fo E = O F,, o e peut re coclure et l fut lors vérfer que f stsft à chcue des deu proprétés de lérté II- THEOREME II CARACTERISATION D UNE APPLICATION LINEAIRE AL Soet E et F deu K-espces vectorels et f ue pplcto de E ds F ; lpplcto f est lére s et seulemet s, pour tous vecteurs u et v de E et pour tous sclres α et β de K, f α u + βv = αf u + βf v II- IMAGE D UNE CL PAR UNE AL Soet E et F deu K-espces vectorels et f ue AL de E ds F, lors f = = λ = u = λ f u =

4 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 4 II-3 VOCABULAIRE ET NOTATIONS Sot E et F deu K-espces vectorels Ue AL de E ds F est uss ppelée homomorphsme despce vectorel Lesemble desal de E ds F est oté LE,F ou L K E,F 3 Ue AL bjectve de E sur F est ppelée somorphsme despce vectorel 4 Ue AL de E ds E est ppelée edomorphsme de E 5 Lesemble des edomorphsmes de E est oté LE ou L K E 6 U edomorphsme bjectf de E est ppelé utomorphsme de E 7 Lesemble des utomorphsmes de E est oté GLE ou GL K E 8 Ue AL de E ds K est ppelée forme lére sur E K est cosdéré c comme u espce vectorel sur K II3 OPERATIONS SUR LES APPLICATIONS LINEAIRES II3- STRUCTURE DE LE,F f, g étt deu élémets de LE,F, et λ étt u élémet de K, pour tout vecteur u de E, o pose f + gu = fu + gu et λfu = λfu O déft doc s ue lo tere et ue lo etere sur LE,F et : Théorème : Soet E et F deu K-espces vectorels, lesemble des AL de E ds F, oté LE,F, mu des deu los défes précédemmet, est u K-espce vectorel II3- CAS OU E = F / STRUCTURE DE LE - Ds le cs prtculer où E = F, lesemble LE,E, oté plus smplemet LE, est lesemble des pplctos léres de E ds E, cest-à-dre lesemble des edomorphsmes de E Lesemble LE mu de lddto et de l multplcto pr u sclre est doc u K-espce vectorel b- L lo de composto des AL : Soet E, F, G tros K-espces vectorels S f est ue pplcto lére de E ds F et g ue pplcto lére de F ds G, lors lpplcto est ue pplcto lére de E ds G c- Ds le cs des edomorphsmes E = F = G, L lo est ue lo tere de LE E effet, s f et g sot deu edomorphsmes de E, o peut défr les deu pplctos f g et g f et et ce sot des edomorphsmes de E Lesemble LE est doc mu due deuème lo de composto tere, l lo Dprès les proprétés de l composto des pplctos léres vues u prgrphe précédet, l lo possède ds LE les proprétés 3 et 4 suvtes d- L lo est dstrbutve pr rpport à lddto Cest-à-dre : f g+h = f g + f h et g+h f = g f + h f e- L lo vérfe : αg f = g αf = αg f f- L lo est ssoctve ds LE g- Lpplcto detque, oté Id E, est élémet eutre pour l lo Cest-à-dre que pout toute f de LE, o : f Id E = Id E f = f : Atteto : l lo est ps e géérl commuttve ds LE II3 APPLICATIONS LINEAIRES ET SOUS ESPACES VECTORIELS IMAGE ET NOYAU II3- THEOREME : STRUCTURE DE LIMAGE DIRECTE ET DE LIMAGE RECIPROQUE Sot f ue pplcto lére du K-espce vectorel E ds le K-espce vectorel F S A est u sous-espce vectorel de E, lors fa est u sous-espce vectorel de F S B est u sous-espce vectorel de F, lors f - B est u sous-espce vectorel de E II3- DEFINITION ET STRUCTURE D EV DE IMF ET KERF Défto

5 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 5 Soet E et F deu K-espces vectorels et f ue pplcto lére de E ds F Lmge de f, otée Imf, est lesemble des mges des élémets de E pr f Le oyu de f, oté Kerf est lesemble des élémets de E dot lmge est O F Théorème Imf est u sous-espce vectorel de F Kerf est u sous-espce vectorel de E CH III ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE BASES III BASES ET DIMENSION FINIE III - FAMILLES GENERARICES Défto Sot E u espce vectorel sur u corps K Sot p u eter supéreur à et p vecteurs de E : u, u,, u p Les vecteurs u, u,, u p egedret E o dt uss que l fmlle u, u,, u p est géértrce ds E s tout élémet de E est combso lére de ces vecteurs, ce qu peut sécrre: p u E, α, α,, α K / u = α u + α u + + α p pu p III - FAMILLES LIBRES Défto Sot E u espce vectorel sur u corps K Sot m u eter supéreur à et m vecteurs de E : u, u,, u m Les vecteurs u, u,, u m sot léremet dépedts o dt uss que l fmlle u, u,, u m est lbre ss l seule combso lére des vecteurs u, u,, u m égle u vecteurs ul est celle dte trvle dot tous les coeffcets sot ul Cel revet à démotrer que s α u + α u + + α mu m = 0 lors forcémet α = 0, α = 0,, α m = 0 Ds le cs cotrre, o dt que l fmlle est lée, ou ecore que les vecteurs u, u,, u m sot léremet dépedts Cel revet à dre qu l este ue CL ulle de u, u,, u m dot u mos u coeffcet est o ul, ou ecore qu u mos u des m vecteurs u, u,, u m est CL des utres vecteurs III -3 BASES ET DIMENSION FINIE Théorème et défto : Sot E u espce vectorel sur u corps K S l este u eter supéreur à et ue fmlle B = u, u,, u de vecteurs à l fo géértrce ET lbre, lors B s ppelle ue bse de E et E est u espce vectorel de dmeso fe Ds ce cs : Tout vecteur u de E s écrt de mère uque comme CL des vecteurs de B : p u E!,,, K / u = u + u + + u Les sclres,,, u,,, u,,, vy, y,, y u = v = y, = y,, = y s ppellet les compostes de u ds l bse B et o ote B S B et B, lors 3 Toute utre bse de E possède églemet ectemet vecteurs Eemples fodmetu : K, +, est toujours u ev de dmeso fe égle à Ds l espce vectorel K, +,, l bse l plus smple, ppelée bse coque, est : B = e, e,, e vec e =, 0, 0,, 0 ; e = 0,, 0, 0,, 0 ; etc ; e = 0, 0,, 0,, où est l élémet eutre de l multplcto ds K As, s K = R et =, l bse coque de R, +, est B = e, e vec e =, 0 et e = 0, S K = R et = 3, l bse coque de R 3, +, est B = e, e, e 3 vec e =, 0, 0 ; e = 0, 0, et e 3 =0, 0, Théorème fodmetl : Ds u espce vectorel de dmeso fe, ue fmlle de vecteurs est ue bse ss elle est lbre OU géértrce cr ds ce cs, l ue des deu proprétés mplque l utre pour l fmlle e questo E prtque, l est souvet plus sé de démotrer qu elle est lbre Remrque :

6 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 6 Ue bse d u espce vectorel E de dmeso fe étt coue, coître u vecteur revet à coître le -uplet de ses coordoées ds cette bse Cel revet flemet à se plcer ds le K-ev des -uplets de sclres, à svor K, et doc à trvller ds s bse coque As, trvller ds l espce à deu dmesos hbtuel E mu de s bse coque B =, j revet à trvller ds R, +, et s bse coque B = e, e Trvller ds l espce à tros dmesos hbtuel E 3 mu de s bse coque B =, j, k revet à trvller ds R 3, +, et s bse coque B = e, e, e 3 III PREMIER APERÇU SUR LES MATRICES III - MATRICE DE CHANGEMENT DE BASE S E est u espce vectorel de dmeso fe, mu d ue bse B = u, u,, u et d ue bse B = u, u,, u O ppelle mtrce de pssge de B à B, que l o ote P ou P B,B le tbleu à lges et coloes composé de l mère suvte : l j ème coloe de P est composée des compostes de u j ds l bse B O revedr sur cette mtrce ds le ch IV Eemple :Ds l espce à 3 dmesos clssque mu de l bse B =, j,k, cosdéros l fmlle = j + k B =, j,k vec Il est fcle de démotrer que B est uss ue bse de E et l mtrce P j = j + 3k k = + j k vut lors : P = 3 III - MATRICE D UNE APPLICATION LINEAIRE RELATIVEMENT A UNE BASE DE L EV DE DEPART ET UNE BASE DE L EV D ARRIVEE S E est u K-espce vectorel de dmeso fe, mu d ue bse B = u, u,, u, et F est u K-espce vectorel de dmeso fe m, mu d ue bse C = v, v,, v m, S f est ue pplcto lére de E ds F, l mtrce A = Mtf,B,C de f reltvemet u bses B et C est le tbleu à m lges et coloes composé de l mère suvte : l j ème coloe de A est composée des m compostes de fu j ds l bse C O revedr sur cette mtrce ds le ch IV Ds le cs où E = F edomorphsmes, A est ue mtrce crrée m = Eemple : 3 R R f :, y,z = 3y + z,y = 5 + 4y + 3z B mtrce coque de R 3 : B = e, e, e 3 vec e =,0,0, e = 0,,0, e 3 = 0,0, C mtrce coque de R : B = f, f vec f =,0, f = 0, O vot que fe =, -5, fe = -3, 4, et fe 3 =, 3 Doc 3 A = O remrque que l o retrouve e coloes les coeffcets de, y et z ds l défto de f S l o covet du produt lge pr coloe etre l mtrce A et l mtrce coloe d ue vecteur u =, y, z, o obtet drectemet l mtrce coloe du vecteur fu : 3 3y + z y = = y + 3z Y z Cel ous doe déjà l dée de l défto du produt d ue mtrce à coloes pr ue mtrce à lges

7 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 7 CH IV MATRICES, DETERMINANTS & SYSTEMES LINEAIRES IV - DEFINITIONS Ue mtrce m est u tbleu de ombres à lges et m coloes : et m sot les dmesos de l mtrce O ote j lélémet stué à ltersecto de l lge et de l coloe j,,, j,m,,, j,m A =,,,,, j, j,m,m S m =, l mtrce est ppelée vecteur-coloe : elle représete e effet l coloe des compostes d u vecteur u d u espce vectorel de dmeso ds ue bse de cet espce S =, m quelcoque, l mtrce est ppelée vecteur-lge : =,, ;, m S = m, l mtrce est ppelée mtrce crrée IV - QUELQUES MATRICES CARREES PARTICULIERES IV DEFINITIONS ET CAS PARTICULIERS O ote A = Quelques mtrces crrées prtculères Eemples vec = 4, j j m l mtrce délémet géérl j Mtrce uté Prfos otée I est l dmeso de l mtrce sot I 4 ds cet eemple Mtrce dgole otée dgd Mtrce trgulre supéreure Mtrce trgulre féreure Ue mtrce crrée A est dte symétrque s pour tout dfféret de j: j = j

8 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 8 IV OPERATIONS SUR LES MATRICES IV - ADDITION - SOUSTRACTION Lddto et l soustrcto des mtrces se fot terme à terme Les mtrces dovet vor les mêmes dmesos IV- MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE Chque terme de l mtrce est multplé pr le ombre IV-3 TRANSPOSITION L trsposée A T due mtrce A est l mtrce obteue e échget les lges et les coloes de A L trsposée du vecteur-coloe est u vecteur-lge : IV-4 MULTIPLICATION DES MATRICES Défssos tout dbord le produt du vecteur-lge u pr u vecteur-coloe v de même dmeso: y y = =,,, = y + y + + y y = y Ce produt est ppelé produt sclre des vecteurs et y, oté y Le produt mtrcel se dédut : le produt de l mtrce A m pr l mtrce B m p est l mtrce C p telle que lélémet C j est égl u produt sclre de l lge de l mtrce A pr l coloe j de l mtrce B Eemple : = Proprétés : Le produt mtrcel est : o ssoctf : ABC = ABC = ABC o dstrbutf pr rpport à lddto : AB + C = AB + AC o o commuttf : AB est ps égl à BA e géérl L mtrce uté I est élémet eutre pour l multplcto : AI m = I A = A, s l mtrce A est de dmesos m Trsposée du produt : AB T = B T A T Atteto u chgemet dordre! U produt prtculer : est u vecteurs-lge Crré sclre S rce crrée T ½ est ppelée orme du vecteur otée

9 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 9 IV3 INVERSION DES MATRICE CARREES / DETERMINANTS IV3- INVERSION DES MATRICES CARREES Défto Ue mtrce crrée A est dte versble ou régulère sl este ue mtrce crrée A - ppelée mtrce verse telle que : A A - = A - A = I S A - este ps, l mtrce A est dte sgulère Proprétés : A - - = A A T - = A - T AB - = B - A - Atteto u chgemet dordre! [dgd ] - = dg/d L mtrce A est dte orthogole s A - = A T IV3- DETERMINANT DUNE MATRICE CARREE Mtrce Pour ue mtrce, o motre que l mtrce verse est doée pr : b d b A = A = c d d bc c Le ombre d - bc est ppelé détermt de l mtrce A, oté : b det A = = d bc c d L mtrce verse A - este doc que s det A est dfféret de zéro L mtrce A est sgulère s det A = 0, régulère ds le cs cotrre Ce résultt se géérlse à ue mtrce de dmeso quelcoque Mtrce M ue mtrce crrée quelcoque lges, coloes Développemet du détermt pr rpport à l -ème lge Sot A =,j ue mtrce crrée dordre Il est évdet que s lo supprme ue lge et ue coloe ds A, l mtrce obteue est à lges et coloes O ote A,j l mtrce obteue e supprmt l -ème lge et l j-ème coloe L formule det A =, det A, +, det A, + +, det A, est ppelée le développemet du détermt de A pr rpport à l -ème lge O peut clculer u détermt e le développt suvt mporte quelle lge ou mporte quelle coloe As, suvt l j ème coloe : det A = j+, j det A, j + j+ m, j det A, j + + j+, j det A + j Le sclre C, j = det A est ppelé le cofcteur de, j,j Le sclre det A, j est ppelé le meur de,j As : Sot A=,j ue mtrce dordre, C,j ses cofcteurs Alors o : développemet pr rpport à l -ème lge : det A =, jc, j développemet pr rpport à l j-ème coloe : det A =, jc, j L comtrce due mtrce crrée A, otée coma, est l mtrce des cofcteurs de A : coma = c,j Proprétés des détermts : deta T = deta j= =, j

10 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours 0 detab = deta detb Le détermt due mtrce trgulre ou dgole est égl u produt des élémets dgou E prtculer, deti = s I est l mtrce uté S A est versble, deta - = / deta O peut smplfer u détermt e fst pprître u mmum de zéros sur ue lge ou sur ue coloe vor TD IV3-3 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Théorème fodmetl : A est versble ss det A 0 Ds ce cs : A = det A ComA T IV4 SYSTEMES D EQUATIONS LINEAIRES IV4- FORMULATION MATRICIELLE U système de équtos léres à coues est de l forme : = b = b = b où les j sot les coeffcets du système, les les coues et les b les termes costts U tel système peut sécrre sous forme mtrcelle : A = b vec : b A =,,,,,,,,, et = et b b = b IV4- CAS DUNE MATRICE REGULIERE S l mtrce A est régulère, o, e multplt à guche pr A - : A - A = A - b Sot : = A - b IV4-3 CAS DUNE MATRICE SINGULIERE Lorsque l mtrce est sgulère, deu cs sot à evsger : Système détermé Sl est possble deprmer p équtos e focto des utres, le système dmet ue fté de solutos O peut reter le vecteur qu l plus fble orme Lesemble des solutos forme u sous-espce de dmeso r = - p ds lespce de dmeso Le ombre r est le rg de l mtrce Eemple : + = 3 + = 6 Le détermt vut : - = 0 L mtrce est be sgulère L deuème équto est égle à l premère multplée pr Il y e ft quue seule équto : + = 3 Cest léquto due drote espce de dmeso ds le pl espce de dmeso L mtrce est de rg Système mpossble S les équtos e peuvet ps être eprmées les ues e focto des utres, le système dmet ucue soluto O peut cepedt clculer u vecteur tel que l orme du vecteur A - b sot mmle be que o ulle Ce vecteur costtue l melleure ppromto de l soluto u ses des modres crrés Eemple : + = 3 + = 8

11 GMP / Mthémtques / S3 / C GERINI / Cours L deuème équto dvsée pr doert + = 4, ce qu est comptble vec l premère équto Le système ps de soluto V Pour u vecteur ds deu bses d ue même espce : E, +, est u K-ev de dmeso fe mu d ue cee bse B et d ue ouvelle bse B O ote P l mtrce de pssge de B à B S u,,, B et u,,, B lors : = P et = P V Pour l mtrce d ue AL d u espce ds u utre vec chgemets de bses ds les deu espces : E est u K-ev de dmeso p mu de deu bses B et B F est u K-ev de dmeso mu de deu bses C et C F est ue AL de E ds F, dot l mtrce reltvemet à B et C est A ue,p mtrce et l mtrce reltvemet à B et C est A ue,p mtrce C B p C B p u f A u P et P u f A u F E f,,,,,, Q et Q,,,,,,,,, : Alors : AP Q A = Ds le cs où E = F et B = B et C = C, l formule devet AP P A = V3 Eemple récptultf Ft e trvu drgés CH V / MATRICES & CHANGEMENTS DE BASE