EXTRAITS DU B.O. SPECIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 XTRITS U.O. SPIL N 6 U 28 OÛT 2008 onnaissances apacités ommentaires 3. Géométrie Propriétés des quadrilatères usuels. onnaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour le rectangle, le carré et le losange. *La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en évidence certaines propriétés. Propriétés et construction des triangles usuels. onnaître les propriétés relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures simples. onstruire une figure simple à l aide d un logiciel de géométrie dynamique. On travaillera à la fois les constructions sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions sur écran à l aide d un logiciel de géométrie. onstructions géométriques. Reproduction, construction de figures complexes. es situations nécessitent de reconnaître des figures simples dans une figure complexe et demandent un travail d analyse utile aux apprentissages ultérieurs. Note : les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d un astérisque l item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. ire que l exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée bien au contraire! mais que les élèves pourront bénéficier de plus de temps pour la maîtriser. L étude des triangles et quadrilatères particuliers est abordée dans deux chapitres : le chapitre 11 dans lequel sont abordées les définitions et les premières propriétés. le chapitre 14 dans lequel sont abordées les propriétés utilisant la symétrie axiale. Je révise 1. : 2. : 3. : 4. : 5. : 6. : 7. : 8. : ctivités 4. a. Faux. n effet, un triangle rectangle possède un côté qui est plus grand que les deux autres, donc il ne peut pas être équilatéral. b. Vrai. Le sommet de l angle droit est alors le sommet principal. c. Vrai. n effet, un triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets. Objectif Reprendre et préciser les notions de triangle rectangle, isocèle ou équilatéral déjà abordées en M b. 2. a. 3. c. 2. OUMNT À PHOTOOPIR (NNX 1) Objectif Préciser la définition d un losange. 1. On peut aussi utiliser le compas. 2. a. On ne peut pas utiliser la règle graduée seule pour construire un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur. Il faut utiliser le compas. b. Un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur est un losange. 3. a. Le triangle est isocèle en. Le triangle F est rectangle en. Le triangle GHI est équilatéral. 78 Objectif Préciser la définition d un rectangle. 1. On utilise la règle et l équerre. 2. b. Le quatrième angle semble être aussi un angle droit. c. Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle. Éditions elin, 2009.

2 Objectif Identifier un carré comme un rectangle particulier ou comme un losange particulier. 1. a. Un carré a quatre angles droits. b. Un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle. c. Un carré est donc un rectangle. 2. a. Un carré a ses quatre côtés de même longueur. b. Un quadrilatère ayant ses quatre côtés de même longueur est un losange. c. Un carré est donc un losange. xercices 4 d. e. R T I J K S 2. OUMNT À PHOTOOPIR (NNX 2) Le quadrilatère 1 est un rectangle. Le quadrilatère 2 est un losange. Le quadrilatère 3 est un rectangle. Le quadrilatère 4 est un carré Le triangle est isocèle en. Le triangle est rectangle en. Le triangle est équilatéral. 2. onstruire un triangle rectangle en. onstruire un triangle équilatéral tel que soit du même côté que par rapport à la droite (). onstruire un triangle isocèle en tel que et soient de part et d autre de la droite () a. Le triangle est isocèle en. Le triangle F est rectangle en. Le triangle GHI est équilatéral a. 50 b. F b. N 6 H a. I G J c. M P L K b. M N F 45 P O hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 79 Éditions elin, 2009.

3 c. R 7 cm 35 S 11 Le triangle PQR est rectangle en Q. Le triangle LMN est isocèle en M. 12 a. 7 U T 4, 4, 4, 4, b. 8 Il y a trois triangles rectangles dans cette figure. Le triangle est rectangle en. Le triangle est rectangle en. Le triangle est rectangle en. 7 cm 13 a Le triangle est rectangle en. Le triangle est isocèle en. Le triangle est rectangle et isocèle en. 2. Tracer un triangle rectangle en tel que : = 10 cm et = 7 cm. Tracer un triangle isocèle en tel que et soient de part et d autre de la droite () et tel que = 1. Tracer le triangle rectangle et isocèle en tel que et soient de part et d autre de la droite (). 25 b , 2. et 3. ( ) ( ) 60 O O 14 a Le triangle O est isocèle en O, le triangle O est isocèle en O, le triangle est isocèle en, le triangle O est isocèle en O, le triangle O est isocèle en O. Les triangles OO et OO sont équilatéraux. Remarque : les triangles, O et O sont aussi équilatéraux mais un élève de sixième ne peut pas le prouver. On peut seulement demander de constater que ces triangles semblent être équilatéraux. b. 110 Éditions elin, 2009.

4 15 1. et a O Il y a deux possibilités : O 1 et O Le triangle RST est isocèle en R, donc : RS = RT. Si un point est situé à égale distance de S et de T, alors il appartient à la médiatrice du segment [ST], donc R appartient à la médiatrice de [ST]. 2. S R Le quadrilatère HF est un rectangle non carré. Le quadrilatère GJF est un carré. Le quadrilatère LKG est un losange non carré. 2. onstruire un carré GJF dont les diagonales se coupent en H. onstruire un rectangle HF tel que les points et H soient de part et d autre de la droite (GF). onstruire le losange LKG tel que les points L et H soient de part et d autre de la droite (G). 1. Le quadrilatère O est un carré. Le quadrilatère OF est un losange. Le quadrilatère G est un losange. 2. onstruire un cercle de centre O. Tracer deux rayons [O] et [O] perpendiculaires. onstruire le carré O. Placer le point F à l extérieur du carré O tel que le triangle OF soit équilatéral. Placer le point à l extérieur du carré O tel que le triangle O soit équilatéral. onstruire le losange OF. onstruire le losange G. T b. c. d a. 7 cm 4, b. 9 cm c Voir figures. Le quadrilatère IJKL est un losange. Le quadrilatère FG est un rectangle. 60 hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 81 Éditions elin, 2009.

5 23 d. F 9 cm 30 F Le triangle est isocèle en. Le triangle F est rectangle en. 2. a. Le point est le sommet principal du triangle, isocèle en. b. Le côté [] est la base du triangle, isocèle en. c. Le côté [F] est l hypoténuse du triangle F rectangle en. 1. a. Les segments [] et [] sont deux côtés opposés. b. Le segment [] est une diagonale. c. Les points et sont deux sommets consécutifs. d. Les angles et. sont deux angles opposés. 2. Le quadrilatère peut aussi se nommer,,,,, ou. Le quadrilatère est un losange. Le quadrilatère F est un rectangle. Le quadrilatère GH est un carré. Il y a deux possibilités pour le carré F. 32 Thème de convergence Les panneaux concernant un danger ont la forme d un triangle équilatéral. 2. Les panneaux d indication ont la forme d un carré. 3. Les panneaux d indication «N 89», «75», «11», «MONTPLLIR», «URILL L PUY» ont la forme d un rectangle. Les panneaux «ORUX» et «USSL» ont la forme d un rectangle avec un triangle équilatéral «attaché» à un petit côté pour indiquer la direction. Le panneau «STOP» est un polygone à huit côtés de même longueur (octogone régulier). Le panneau «voie prioritaire» a la forme d un carré. 4. Les panneaux représentés par un disque sont des panneaux d interdiction. À l oral Le triangle est rectangle en, donc le point est un point de la droite passant par et perpendiculaire à la droite (). 2. Le triangle est rectangle en. On constate que le point semble appartenir au cercle de diamètre [] Les sommets du triangle sont les points, et et ses côtés sont les segments [], [] et []. Les sommets du triangle F sont les points, et F et ses côtés sont les segments [], [F] et [F]. 2. Le côté opposé au sommet est le côté []. 3. Le sommet opposé au côté [F] est le sommet. 34 Éditions elin, 2009.

6 35 1. Le triangle est isocèle en, donc =, donc est un point du cercle de centre et de rayon. 2. Le triangle est isocèle en, donc =, donc est un point de la médiatrice du segment []. 3. Le point est un des deux points d intersection du cercle de centre et de rayon et de la droite. Il y a deux possibilités y G y 42 F x 2. G = F, donc le triangle FG est isocèle en. O x x M Le sommet principal peut être le sommet ou le sommet, mais pas le sommet car. Si le sommet principal est, la base est le côté [] (figure 1). Si le sommet principal est, la base est le côté [] (figure 2). 2. Fig. 1 K cm 2. L angle LKM est droit, donc le triangle KLM est rectangle en M L 7 cm Fig cm 7 cm 2. OUMNT À PHOTOOPIR (NNX 3) Le point est le point d intersection de la médiatrice de [] et de la droite. Il n y a qu une seule possibilité. 2. a. La droite () est perpendiculaire à la droite () et passe par le milieu du segment [], donc la droite () est la médiatrice du segment []. b. Le point appartient à la médiatrice de [], donc il est équidistant des points et, donc : =. Le triangle est donc isocèle en. hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 83 Éditions elin, 2009.

7 42 1. F ( 1 ) ( 2 ) G 2. b. Les points et appartiennent au cercle ( 1 ), donc : = =. Le triangle est donc isocèle en. 3. b. Les points et appartiennent au cercle ( 2 ), donc : = =. Le triangle est donc isocèle en. 4. Les points F et G appartiennent au cercle ( 1 ), donc : F = G =. Les points F et G appartiennent au cercle ( 2 ), donc : F = G =. On a donc : = F = F =, donc le triangle F est équilatéral. e même, = G = G =, donc le triangle G est équilatéral Le triangle est isocèle en, donc : =. Le point est le milieu du segment [], donc : =. On a donc : =. Le triangle est donc isocèle en et Les droites () et () sont perpendiculaires à la même droite (), donc les droites () et () sont parallèles. 2. Les droites () et () sont parallèles d après la question précédente et la droite () est perpendiculaire à la droite (), donc la droite () est aussi perpendiculaire à la droite (). 3. Les droites () et () sont perpendiculaires d après la question précédente, donc : = Le quadrilatère a donc ses quatre angles droits, c est donc un rectangle Les points et appartiennent au cercle de centre et de rayon, donc : = =. e même, les points et appartiennent au cercle de centre et de rayon, donc : = =. On a donc : = = =. Le quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, donc est un losange ( ) ( 2 ) = 1 = 2 = 2 =, donc le quadrilatère 1 2 est un losange. ( 1 ) 2. Soit r le rayon du cercle ( ). On a donc : = = r. Les points et appartiennent au cercle ( 1 ) de centre, donc : = = r. e même, les points et appartiennent au cercle ( 2 ) de centre, donc : = = r. On a donc : = = =. Le quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, donc est un losange. Éditions elin, 2009.

8 rgumenter et débattre Vrai. Le sommet de l angle droit est alors le sommet principal et la base est l hypoténuse. 2. Faux. ans un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur, alors que dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le plus grand côté du triangle. 3. Vrai. Si le triangle avait deux angles droits, le triangle aurait deux côtés parallèles, ce qui n est pas possible. 4. Vrai car les quatre côtés d un losange ont la même longueur. 5. Faux. ontre-exemple : Vrai car tous les angles d un rectangle sont droits. 7. Faux. P ontre-exemple : N M Le poème illustre un triangle rectangle. Q b. L angle reste toujours égal à 90. c. est un rectangle car il a quatre angles droits. 2. b. Les quatre côtés du quadrilatère ont toujours la même longueur. c. est un losange car il a ses quatre côtés de même longueur. hapitre 11 Triangles et quadrilatères particuliers 85 Éditions elin, 2009.

9 2 nnexe 1 4 nnexe nnexe 3 86 Éditions elin, 2009.