Mathématiques. Un ensemble est une collection d objets nommés éléments ou membres de l ensemble.

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1 ENSEMBLE DE NOMBRES I. Rappels sur les ensembles 1. Définitions Un ensemble est une collection d objets nommés éléments ou membres de l ensemble. Il est décrit : - par la liste de ces éléments (il est décrit en extension) ; - ou à l aide d une règle qui détermine ses éléments (il est décrit en compréhension). On utilise les accolades ({ }) pour délimiter les éléments d un ensemble. Exemples : L ensemble A = {1, 3, 5, 7} est décrit en extension et contient 4 éléments. L ensemble B = {les nombres pairs de 1 à 10} est décrit en compréhension et contient 5 éléments. Un ensemble peut être fini ou infini. On appelle cardinal le nombre d éléments d un ensemble. Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé ensemble vide, noté. Une variable est un symbole qui représente un élément quelconque provenant d un ensemble de référence. Le symbole signifie «appartient à» ou «est un élément de». Le symbole signifie «tel que». Il est utilisé lorsqu on veut décrire un ensemble en compréhension. Exemple : Avec l ensemble A de l exemple précédent, l expression «x A» signifie que la variable x peut prendre l une des quatre valeurs de A. 2. Les sous-ensembles Si chaque élément de A est aussi élément de l ensemble B, on dit que A est un sous-ensemble de B, ou que A est inclus dans B, noté A B. Exemple : Si B = {0, 1, 2, 3, 4} alors A = {x x B et x 1 > 0} désigne l ensemble des valeurs de B qui satisfont la condition x 1 > 0, ce qui revient à l ensemble A = {2, 3, 4}. Ici, A B, donc A est un sous-ensemble de B. Ensemble de nombres 1 / 12

2 3. Les opérations sur les ensembles Soit U un ensemble de référence (appelé également référentiel). Soit A et B deux sous-ensembles de U. L union de A et B est l ensemble noté A B défini par : A B = {x x A ou x B} L intersection de A et B est l ensemble noté A B défini par : A B = {x x A et x B} Le complément de A est l ensemble noté Exemple : U = {1, 2, 3,, 10} C A = {x x U et x A} Soit A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} et B = {4, 6, 8} A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {4, 6} C A = {1, 8, 9, 10} et C B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 10} C A défini par : II. L ensemble V des entiers naturels 1. Définition Les entiers naturels sont l'outil privilégié pour le dénombrement et l'expression des quantités discrètes 1. Ils appartiennent à l'ensemble {0, 1, 2,..., n, n + 1, } noté V. Les nombres entiers naturels sont utilisés pour : - dénombrer les éléments d un ensemble fini (aspect cardinal) ; - repérer une position dans une série (aspect ordinal). L ensemble des entiers naturels différents de 0 est noté V*. 2. Propriétés dans V V est un ensemble infini. Chaque nombre naturel n à un successeur unique n + 1. Le nombre zéro n est le successeur d aucun nombre naturel. 1 On appelle «quantité discrète» une quantité composée d éléments «séparés». Ensemble de nombres 2 / 12

3 L ensemble V est totalement ordonné : on peut toujours comparer des nombres naturels. L ensemble V est ordonné par une relation qui permet de comparer les nombres : a b si et seulement s il existe c appartenant à V tel que b = a + c. Cet ordre est compatible avec l'addition et la multiplication par un naturel non nul : - si a b alors a + c b + c - si a b et si c 0 alors a x c b x c 3. Ecriture chiffrée des nombres entiers naturels Notre système de numération chiffrée est un système décimal de position : on utilise 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; chaque chiffre représente une valeur différente selon la position qu il occupe. Exemple : représente 2 groupements de groupements de groupements de groupements de = = 2 x x x = 2 x 10³ + 8 x 10² + 3 x Si m, c, d et u sont quatre chiffres, le nombre mcdu peut s écrire : mcdu = m x c x d x 10 + u x 1 mcdu = m x 10³ + c x 10² + d x 10 + u x mcdu = 1 000m + 100d + 10d +u u est appelé chiffre des unités, d chiffre des dizaines, c chiffre des centaines et m chiffre des unités de mille. Tableau de numération 0 10 Classe des milliers Classe des unités centaines de mille dizaines de mille unités de mille centaines dizaines unités m c d u Ensemble de nombres 3 / 12

4 III. L ensemble W des nombres relatifs 1. Définition L'ensemble des nombres entiers relatifs complète l'ensemble des nombres entiers naturels. Cet ensemble noté W est composé des naturels et de leurs opposés : W = {, -n,, -2, -1, 0, 1, 2,, n, } Le nombre zéro est à la fois négatif et positif. L ensemble des entiers relatifs différents de 0 est noté W*. L ensemble des nombres relatifs positifs est noté W+ ; l ensemble des nombres relatifs négatifs est noté W-. 2. Propriétés dans W Tous les entiers naturels appartiennent à W : V W L ordre de W prolonge celui de V. - Si c > 0 et a b, alors a x c b x c. - Si c < 0 et a b, alors a x c b x c. Comparaison de nombres relatifs : l ensemble des nombres relatifs est muni d un ordre total (tous les nombres relatifs peuvent être comparés deux à deux). - Si 2 nombres relatifs sont de signe opposé, le nombre positif est plus grand. Exemple : 3 > Si les 2 nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue. Exemple : -1 > Si les 2 nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue. Exemple : 6 > 4. Addition de nombres relatifs - Si les deux nombres ont le même signe, la somme est un nombre : - dont le signe est le signe commun ; - dont la valeur absolue est la somme des valeurs absolues. Ensemble de nombres 4 / 12

5 Exemples : (+2) + (+4) = +6 1,7 + 6,8 = 8,5 (-4) + (-1) = (-5) - Si les deux nombres sont de signe contraire, la somme est un nombre : - dont le signe est celui du nombre qui a la plus grande valeur absolue ; - dont la valeur absolue est la différence des valeurs absolues. Exemple : (+2) + (-4) = (-2) Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemple : (+2) (-4) = (+2) + (+4) = (+6) = 6 Multiplication et division de nombres relatifs - Si les deux nombres ont le même signe, le produit (ou le quotient) est un nombre positif dont la valeur absolue est le produit (ou le quotient) des valeurs absolues. Exemples : (+2) x (+4) = (+8) (-5) x (-3) = (-15) - Si les deux nombres sont de signe contraire, le produit (ou le quotient) est un nombre négatif dont la valeur absolue est le produit (ou le quotient) des valeurs absolues. Exemple : (+2) x (-6) = (-12) Les nombres relatifs peuvent être représentés sur une droite numérique, et deux nombres relatifs opposés sont symétriques par rapport à l'origine Ensemble de nombres 5 / 12

6 IV. L ensemble X des nombres rationnels 1. Définition Un rationnel est un nombre x qui est solution d'une équation b x = a, avec a et b entiers et b 0. Ce nombre x peut s'écrire sous la forme d'une fraction b a, le nombre a étant le numérateur de la fraction, le nombre b le dénominateur et b a le quotient de a par b. 2. Propriétés dans X Tous les nombres relatifs peuvent s exprimer sous la forme d une fraction. Tous les nombres relatifs sont des rationnels : V W X a c Fractions égales : deux fractions et sont égales si elles b d représentent le même rationnel. On a alors a x d = b x c (on dit qu'on a fait «le produit en croix»). Simplification de fraction : une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un diviseur commun. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, la fraction obtenue est irréductible. Un nombre rationnel peut être représenté par une infinité de fractions égales. Si b a est une fraction irréductible, les autres fractions égales sont de la forme Exemple : k a k b avec k entier relatif différent de = =. La fraction irréductible égale à est. Les fractions (7 k) égales seront de la forme avec k appartenant à W*. (2 k) La décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur peut faciliter la simplification des fractions Exemple : = = = 42 Ensemble de nombres 6 / 12

7 Tout élément non nul a un inverse pour la multiplication. L inverse de b a est a b car b a x a b = 1. L'ensemble des nombres rationnels est totalement ordonné : si a et b sont deux rationnels, on a : a b ou b a. Pour comparer deux fractions, plusieurs méthodes peuvent être utilisées : - Si les dénominateurs sont égaux, on compare les numérateurs : la fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : 3 5 > Si les numérateurs sont égaux, on compare les dénominateurs : la fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Exemple : 2 5 > Mais en général la méthode de comparaison de deux rationnels exprimés par des fractions consiste à réduire les fractions au même dénominateur. La somme et le produit de deux rationnels a et b sont des rationnels, ainsi que leur différence et leur quotient (si le quotient du rationnel par le rationnel b est défini, c'est-à-dire si b est non nul). Pour additionner ou soustraire des fractions : - Si les dénominateurs sont égaux, on additionne les numérateurs : a b a + b + = c c c 5 2 ( 5 2) 3 Exemple : = = Si les dénominateurs sont différents, on cherche d'abord un dénominateur commun. Pour cela, on recherche un multiple commun aux dénominateurs, en général le plus petit commun multiple (on «réduit au même dénominateur»). Exemple : Le plus petit commun multiple de 14 et 16 est ( ) + = + = =. 112 Ensemble de nombres 7 / 12

8 Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie le numérateur par cet entier. Pour multiplier deux fractions entre elles, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. On peut être amené à simplifier la fraction, au cours du calcul ou à son terme. a a a b a b x b = x = c cb c d c d Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l'inverse de la deuxième. a c a d = x b c b d L'intervalle ] a, b [ (ensemble des rationnels q tels que a < q < b) possède une infinité d'éléments. Tout rationnel est «approchable» par un décimal avec une précision aussi grande que l'on veut. Exemple : 7 23 = 3, La valeur approchée par excès à 1/10 ème près de 7 23 est 3,3 ; La valeur approchée par défaut à 1/10 ème près de 7 23 est 3,2 ; on a 3,2 < 7 23 < 3,3. La valeur approchée par excès à approchée par défaut à 3 10 près de 7 23 est 3,286. La valeur 3 10 près de 7 23 est 3,285. V. L ensemble [ des nombres décimaux 1. Définition Un nombre décimal peut s'écrire : - avec une écriture décimale : son écriture comporte alors une partie entière, qui peut être nulle, et une partie décimale dont le nombre de chiffres différents de 0 et situés après la virgule est fini ; - sous forme de fraction décimale : a = b n 10 - comme le produit d'un entier par une puissance de 10 : a = b x n 10. Ensemble de nombres 8 / 12

9 2. Propriétés Tous les nombres relatifs sont des nombres décimaux : W [. Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels : [ X. Comparaison des décimaux Pour comparer deux nombres décimaux, on compare les parties entières, le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière. S ils ont la même partie entière, on compare chaque chiffre des parties décimales, à partir des dixièmes. Entre deux décimaux on peut toujours trouver un nombre décimal ; l'ensemble des nombres décimaux, comme celui des rationnels, est un ensemble dense. VI. L ensemble Y des nombres réels 1. Les nombres irrationnels Il existe des nombres qui ne sont pas le quotient de deux nombres entiers. Ils ne peuvent pas s écrire sous la forme d une fraction. Ces nombres sont appelés nombres irrationnels. Exemples : 2, Π 2. Propriétés de la racine carrée Pour a appartenant Y+, a est le nombre positif dont le carré est égal à a : ( a )² = a Pour a et b appartenant à Y+, a b = a x b. Pour a et b appartenant à Y+, a / b = a / b (avec b 0). Si a 0, Si a 0, ² a = a ² a = -a 3. Définition L'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l ensemble des nombres réels, noté Y. Tous les nombres rationnels sont des nombres réels : X Y. Ensemble de nombres 9 / 12

10 4. Troncature et arrondi d un nombre réel Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, la troncature à près de x est le nombre décimal dont l écriture s obtient en gardant la partie entière de x et les n premiers chiffres après la virgule. Exemple : la troncature du nombre 2, à 2, n 4 10 près est le nombre n Etant donné un nombre réel x et un nombre entier n, l arrondi à 10 près de x est le nombre décimal dont l écriture en gardant la partie entière de x et : - si le (n + 1) ième chiffre de x est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4, l arrondi de x n à 10 n près est égal à la troncature à 10 près ; - si le (n + 1) ième chiffre de x est égal à 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 n au n-ième chiffre de la troncature à 10 près. Exemples : L arrondi du nombre 2, à L arrondi du nombre 3, à 5. Valeur approchée d un nombre réel 4 10 près est le nombre 2, près est le nombre 3,5687. Tout réel peut être approché d'aussi près que l'on veut à l'aide des nombres décimaux. On appelle valeur approchée du réel x à 0,01 près (par exemple) tout décimal a tel que a 0,01 x a + 0,01. Si a < x, a est appelé valeur approchée par défaut à 0,01 près. Si a > x, a est appelé valeur approchée par excès à 0,01 près. Exemples : 3,1 est une valeur approchée de Π par défaut à 0,1 près ; 3,2 est une valeur approchée de Π par excès à 0,1 près. 6. Encadrement d un nombre réel Soit trois nombres a, b et x tels que a < x < b. On dit que a et b encadrent x. Si a et b sont deux nombres décimaux, cet encadrement est décimal. Si a et b sont deux nombres rationnel, cet encadrement est rationnel. Si b a = 1 10, cet encadrement est à 1 10 près. Ensemble de nombres 10 / 12

11 Conclusion : V est inclus dans W ; W est inclus dans [ ; [ est inclus dans X ; X est inclus dans Y. Y X [ W V VII. Ecritures décimales 1. Fraction décimale Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le a dénominateur est une puissance de 10, de la forme appelée fraction n 10 décimale. Un rationnel est un décimal si, parmi toutes les fractions qui le représentent, il y a au moins une fraction décimale. Les seuls rationnels qui sont des décimaux sont donc ceux qui peuvent s'écrire à l'aide d'une fraction irréductible dont le dénominateur est composé par le produit d'une puissance de 2 par une puissance de 5. n est un décimal si q est de la forme q p m 5 2 avec 0 p et 0 m. 2. Ecritures décimales Une écriture décimale peut désigner un entier (3,00), un décimal (3,25), un rationnel non décimal (0, avec une infinité de 3 est égal à 1/3), ou un irrationnel ( 2 = 1,414 ). Il ne faut donc pas confondre «nombre décimal» et «écriture décimale». L'écriture décimale d un nombre x est finie : elle comporte un nombre fini n de chiffres non nuls après la virgule. Le nombre x est un rationnel non décimal : il peut s'écrire sous la forme p/q avec p et q premiers entre eux. Ensemble de nombres 11 / 12

12 Si l écriture décimale d un nombre x est périodique et illimitée, elle est l'écriture d'un nombre rationnel. Exemples : 1/3 = 0,3 = 0,33 = 0, /41 = 1,21951 = 1, Une écriture décimale illimitée mais non périodique sera l'écriture d'un nombre irrationnel, et non pas d'un rationnel. Exemple : le nombre 0, (où l'on a des séquences de «2» de plus en plus longues, donc pas de période) est irrationnel 3. Exemples Exemple Nature du nombre Ecriture à virgule Remarques 2 Nombre rationnel 2 = 0, non décimal 3 Ecriture périodique 6 se répète indéfiniment. 6 est la période 5 Nombre rationnel 5 La période se = 0, non décimal 7 répète indéfiniment. 10 Nombre décimal 4-5 Nombre relatif 10 = 2,5 4 2,5 peut s écrire 2, = peut s écrire 5, Ce ne sont plus que des zéros à partir d un certain rang. On dit que 0 est la période. Partie décimale nulle. On peut écrire des 0 indéfiniment après la virgule. O est la période. 0,999 9 Nombre entier = 0, , naturel 3 3 = 0,999 9 or = 1. Cas particulier d écriture périodique Un tel nombre a deux écritures : 0,999 (de période 9) ou 1,000 (de période 0) 2 Nombre réel non rationnel 2 = 1, Ecriture non périodique et illimitée Pas de période dans la suite des chiffres après la virgule. Ensemble de nombres 12 / 12

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