Pour ce problème, une analyse est proposée à l adresse :

Transcription

1 Pour ce problème, une analyse est proposée à l adresse : 1 La règle du jeu Un drecteur de casno se propose d nstaller le jeu suvant : le joueur mse un euro ; une machne smule cnq lancers d une pèce ben équlbrée ; le joueur lance cnq fos de sute une pèce de monnae ben équlbrée ; s le joueur a obtenu le même nombre de ple que la machne, l reçot 4 euros, snon ren. Le drecteur du casno souhate savor s le jeu lu rapportera de l argent... 2 Et en trchant? S la machne obtent ple avec une probablté de p sur un lancer et le joueur avec une probablté p...

2 3 Corrgé Tros versons. a. La premère verson est une feulle de calcul très smple à construre (la plus naturelle?). b. La deuxème verson est une feulle de calcul un peu délcate à fare construre par les élèves mas qu est ntéressante en so (tests logques, un peu d arthmétque élémentare). On pourrat magner des questons ntermédares pour amener l élève à cette constructon. c. La trosème feulle de calcul est une varante de la premère mas qu a l avantage de pouvor mener à une généralsaton (cas d une pèce déséqulbrée). On y utlse une smulaton de la lo bnomale, qu peut avor été explquée auparavant aux élèves ou à cette occason. La feulle de calcul est facle à construre. Les compétences tce sont alors plus cblées sur les connassances d une lo classque que sur l art de construre une feulle complexe, ce qu peut apparaître plus appropré aux objectfs de la termnale. 3.1 La feulle la plus smple Feulle tableur : Les cellules ### (de la lgne 5 à la lgne 50004, sot partes) contennent l nstructon : =ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1)+ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1)+ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1)+ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1)+ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) qu smule cnq lancers de pèces ndépendants. S l on décde que 1=ple, le résultat est le nombre de ples. Rappel : comment coper une formule sur une longue colonne. Pour coper une même formule de A6 à A50004 par exemple, la méthode la plus effcace est la suvante :

3 1. Écrre la formule en A6. Et "coper". 2. Placer le curseur dans la pette case en haut à gauche où l adresse de la cellule est répertorée. 3. Complèter alors de façon à avor dans cette case : A6 :A Valder (touche entrée du claver), la zone de cellules est alors sélectonnée (en nor). Placer le ponteur de sours dans cette plage de cellules et "coller". 3.2 Une feulle complexe Dans la feulle c-dessous, la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) est copée dans les cellules de la plage B5 :B50004, sot partes.

4

5 3.3 Feulle tableur en utlsant une smulaton de lo bnomale On rappelle que la lo de Bernoull de paramètre p est smulée par la seule nstructon =ENT(ALEA()+p) Explcaton. ALEA()+p smule une lo unforme sur [p; p + 1[. La parte entère est de 0 (échec) pour des résultats dans [p; 1[ (pods 1 p) et est de 1 (réusste) pour des résultats dans [1; 1 + p[ (pods p ) ). La lo bnomale de paramètres n et p est alors smulée par la somme de n nstructons ENT(ALEA()+p). D où la feulle tableur :

6 Les cases ### contennent : =ENT(ALEA()+0,5)+ENT(ALEA()+0,5)+ENT(ALEA()+0,5)+ENT(ALEA()+0,5)+ENT(ALEA()+0,5) Les formules sont copées jusqu à la lgne (sot partes). L avantage de cette méthode est de pouvor être généralsée rapdement avec une pèce déséqulbrée. S par exemple la machne lance une pèce telle que la probablté d un ple est p et que la pèce du joueur est telle que la probablté d un ple est p, on utlsera une somme de ENT(ALEA()+p) dans la colonne de la machne et de ENT(ALEA()+p ) dans la colonne du joueur. 3.4 Les calculs avec des pèces équlbrées On jette cnq fos de sute une pèce, jetés ndépendants. La probablté d avor ples : P (X = ) = On fat deux fos cette expérence, de façon ndépendante : La probablté d un gan est donc : ( ) ( ) 5 P (X = et Y = ) = P (X = )P (Y = ) = 5 P (X = j et Y = j) = [ 5 (5 j ) ( 1 2 [ (5 ) ( ) ] ) 5 ] 2 = Et l espérance est : Sot E = 3 63 ( ( 1) 1 63 ) 256 E = 1 64

7 3.5 Les calculs avec trucage On jette cnq fos de sute une pèce, jetés ndépendants, la probablté d un ple étant p. La probablté d avor ples : ( ) 5 P (X = ) = p (1 p) 5 On jette cnq fos de sute une pèce, jetés ndépendants, la probablté d un ple étant p. La probablté d avor ples : ( ) 5 P (Y = ) = p (1 p ) 5 D où : P (X = et Y = ) = P (X = )P (Y = ) = ( 5 )( 5 ) (pp ) ((1 p) (1 p )) 5 La probablté d un gan est donc : G = 5 P (X = j et Y = j) = 5 [( )( ) ] 5 5 (pp ) j ((1 p) (1 p )) 5 j j j Et l espérance pour une mse de m euros et un gan de g euros pour une parte gagnée (après décompte mse) est : E = g G + ( m) (1 G)